CC BY
22
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сироткина Н. М. Анализ напряжённо-деформированного состояния полимерной панели при некоторых видах вибрационного воздействия // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 186 - 189.
2. Недорезов П. Ф. Определение тепловог о поля при вибрационном изгибе пологой вязкоупругой оболочки с двумя шарнирно опёрты,ми сторонами // Тр. 7-й межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 28 - 30 мая 1997. Самара, 1997. 4.1. С. 93 -96
3. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 171 -174.
4. Коваленко А. Д., Карнаухов В. Г. Уравнения и решения некоторых задач теории вязкоупругих оболочек // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1967. Вып. 7. С. 11 - 24.
5. Сироткина Н. М. Вибрационный изгиб консольной полимерной панели при заданном угловом смещении // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2003. С. 128 - 132.
УДК 531+629
Ю. Н. Челноков
НОВАЯ КОНЦЕПЦИЯ В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ТВЁРДОГО ТЕЛА, ОСНОВЫВАЮЩАЯСЯ НА ТЕОРЕМАХ ЭЙЛЕРА - ДАЛАМБЕРА
И ШАЛЯ*
В работе [1] рассмотрена в геометрической постановке (с помощью теории конечных перемещений твёрдого тела) устойчивость решений дифференциальных уравнений инерциальной навигации, имеющих форму кинематических уравнений углового движения твёрдого тела в углах Эйлера-Крылова, и кинематических уравнений движения свободного твёрдого тела. Результаты, полученные при этом А.Ю. Ишлинским, отличаются простотой, геометрической наглядностью и красотой. В статье эти идеи А.Ю. Ишлинского используются для новой постановки общей (динамической) задачи об устойчивости движения твёрдого тела, приводящей к формулировке новой концепции изучения устойчивости движения и построения стабилизирующего управления движением твёрдого тела. Эта концепция основывается на фундаментальных теоремах теоретической механики Эйлера - Даламбера и Шаля о конечных перемещениях твёрдого тела и новых дифференциальных уравнениях возмущенного движения тела, построенных с помощью теории конечных перемещений твёрдого тела.
'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 02-01-00988).
216
Рассмотрим, какие новые возможности открывает использование теорем Эйлера - Даламбера и Шаля в теории устойчивости и управления движением твёрдого тела. Традиционно в теории устойчивости и управления угловым движением твёрдого тела (например, космического аппарата или самолёта) в качестве кинематических параметров используются углы Эйлера или Крылова: рыскание у, тангаж 9, крен у, В последнее время стали широко использоваться параметры Эйлера (Родрига - Гамильтона) /„„ (/ = 0,1,2,3) и кватернионы поворотов. Вместе с тем угловое положение твёрдого тела в пространстве в соответствии с теоремой Эйлера — Даламбера может характеризоваться парой (ф, е), где е - единичный вектор эйлеровой оси поворота, ф — эйлеров угол поворота тела вокруг этой оси
Решение задач устойчивости и управления угловым движением твёрдого тела с использованием принципа обратной связи осуществляется на основе дифференциальных уравнений возмущенного движения. В случае использования самолётных углов используются дифференциальные уравнения возмущенного движения в отклонениях бу, 5$, 6у Об устойчивости и о качестве управления угловым движением судят по поведению трёх переменных 5ф, 89, 5у и их первых производных по времени 5ф, 59, 5у. Так, для асимптотической устойчивости установившегося невозмущенного движения в соответствии с теоремой Ляпунова требуется отрицательность вещественных частей шести корней характеристического уравнения, построенного для дифференциальных уравнений первого приближения по неременным 5ф, 59, 5у, 5ф , 59 , 5у .
В случае использования для описания углового движения переменных ф, е дифференциальные уравнения возмущённого движения необходимо записывать в переменных Аф, е^ (|ед| = 1), которые являются для текущего момента времени ? эйлеровым углом и единичным вектором эйлеровой оси конечного поворота твёрдого тела относительно его невозмущенного углового положения. При этом об устойчивости движения и о качестве управления в первую очередь говорит поведение переменной Дф и её первой производной по времени Аф . Так, для асимптотической устойчивости невозмущенного углового движения твёрдого тела необходимо и достаточно выполнение следующих условий для двух скалярных переменных А<р, А<р : чтобы имела место устойчивость движения по переменным Л(р, Аср , и чтобы эти переменные стремились к нулю (при ! —» со), вместо выполнения аналогичных условий для шести переменных дуг, 33, Зу, Зу/, <5,9, 5у
Теорема Эйлера - Даламбера: твёрдое тело может быть переведено из его начального углового положения в конечное положение одним поворотом на угол <р вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку тела (или его выбранный полюс) и задаваемой единичным вектором е.
Аналогичное имеет место в общем случае устойчивости и управления пространственным движением свободного твёрдого тела по принципу обратной связи, когда для изучения устойчивости движения и качества управляемого, движения вместо изучения поведения двенадцати переменных 8у, 59, 5у, бу , 59 , 5у, 8х, 5у, 8г, 8х, 8у, бг, характеризующих возмущенные угловое и поступательное движения твёрдого тела, достаточно изучить в соответствии с теоремой Шаля поведение четырёх переменных Дф, Дф , Дф°, Дф°, характеризующих это же возмущённое движение свободного твёрдого тела с точки зрения его винтового описания (здесь .х, у, г
- декартовы координаты выбранной точки твёрдого тела (полюса), у, 9, у
- углы Эйлера - Крылова, характеризующие ориентацию твёрдого тела; ф и ф° — угол поворота и величина поступательного перемещения твёрдого тела вдоль его оси винтового конечного перемещения).
Отметим следующие особенности предлагаемого подхода к изучению устойчивости и управления движением твёрдого тела:
1. Возмущения (отклонения) 8у, 89, 6у, 5х, 8у, ог и 5у , 69 , 5у , 5.x , 8у , 8г по переменным у, 9, у, х, у, 2 и у , 9 , у , х , у , г вводятся обычно в соответствии с концепцией Ляпунова невозмущённого и возмущённого движений аддитивно, т. е. в виде разностей возмущённых и невозмущённых значений этих переменных для текущего момента времени /, в то время как величины Дф, еА (ДФ, £д) нами вводятся через возмущённые и невозмущённые значения переменных ф, е (Ф, Е) по формулам теории конечных перемещений твердого тела.
2. Использование теорем Эйлера - Даламбера и Шаля в теории устойчивости и управления движением тесно связано с использованием в этой теории кватернионов Гамильтона и бикватернионов Клиффорда, так как одна из компонент кватерниона поворота к (бикватерниона перемещения А) явным образом связана с эйлеровым углом поворота ф (дуальным углом поворота Ф = ф + вф0, б2 = 0): Х^ = соз(ф/2) (Ас = соз(Ф/2)), а три другие компоненты кватерниона X (бикватерниона Л) характеризуют направление единичного вектора е эйлеровой оси поворота (положение единичного винта Е винтового конечного перемещения) твёрдого тела в пространстве: X = Б1п(ф/2)е, (Л = 8т(Ф/2)£). При этом дифференциальные уравнения возмущенного движения твёрдого тела в переменных Дф, еА или ДФ, Еа наиболее просто получаются из кватернионных и бикватернионных дифференциальных уравнений возмущённого движения твёрдого тела, имеющих компактную и симметричную структуру.
3. С формальной точки зрения, изучение устойчивости движения твёрдого тела по переменным Дф, Дф или ДФ, ДФ сводится к изучению устойчивости движения по части переменных, однако обеспечение устойчивости движения по этим переменным гарантирует устойчивость движения по любой выбранной программной (невозмущенной) траектории с
требуемыми угловой или угловой и линейной скоростями, т.е. гарантирует устойчивость движения по всем переменным, характеризующим возмущенное движение (например, устойчивость движения по углам Эйлера -Крылова или параметрам Эйлера).
4. В соответствии с развиваемой концепцией для решения задач стабилизации углового движения твёрдого тела новые законы стабилизирующего управления строятся на основе дифференциальных уравнений возмущённого углового движения в переменных "эйлеров угол поворота -параметры ориентации эйлеровой оси поворота" или связанных с ними переменных такими, чтобы имела место асимптотическая устойчивость невозмущенного углового движения твёрдого тела по эйлерову углу поворота тела и его первой производной по времени, и чтобы переходные процессы по этим переменным обладали нужным качеством. Аналогичное делается для решения задач стабилизации движения свободного твёрдого тела, с той лишь разницей, что вещественные величины заменяются на дуальные.
5. Перевод твёрдого тела из одного положения в другое с помощью одного поворота на вещественный или дуальный эйлеров угол поворота является кратчайшим переводом, поэтому построение управлений, минимизирующих функционал {[(Аср(Г))2 + (Дф (г))2]<Л, является оптимальным с энергетической и временной точек зрения.
6. Использование сформулированной концепции устойчивости и управления движением твёрдого тела расширяет возможности в изучении устойчивости движения твёрдого тела, позволяет построить новые эффективные законы управления угловым и орбитальным движениями твёрдого тела.
Среди задач, эффективно решаемых с использованием новой концепции теории устойчивости и управления движением твёрдого тела, отметим задачи переориентации орбиты космического аппарата и задачи построения оптимальных программных и стабилизирующих управлений угловым движением космического аппарата, рассматриваемого как твёрдое тело.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ишлинский А.Ю. Геометрическое рассмотрение устойчивости решения основной задачи инерциальной навигации // Инженер, журн. "Механика твёрдого тела" 1968. №3.
