Математическая модель ТМС на примере пластины в нестационарном неоднородном температурном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 117-125

^ Механика =

УДК 519.87

Математическая модель ТМС на примере пластины в нестационарном неоднородном температурном поле

В. Н. Бедрицкий, В. И. Желтков

Аннотация. В статье рассмотрена математическая модель поведения тонкой ортотропной пластины в температурном поле, при одностороннем нагреве. На основании теории тонких пластин и метода модального разложения получены уравнения состояния тонкой пластинки в неоднородном по толщине и нестационарном температурном поле с учетом влияния мембранных сил на состояние изгиба. Задача исследования, таким образом, сведена к последовательности трех подзадач: о распределении температуры по толщине пластинки, о плоском напряженном состоянии и температурном изгибе. Предлагается использовать описываемый эффект для построения термомеханической системы.

Ключевые слова-, математическая модель, термомеханическая система, метод модального разложения, распределение температуры, плоское напряженное состояние, температурный изгиб.

Задачи поведения пластин в температурном поле (при тепловом воздействии) представляют особый интерес для многих областей новой техники, а вкупе с использованием их в термомеханических системах (ТМС) недостаточно изучены. Несмотря на то, что написано много работ, проведена масса исследований поведения пластин при различных, в том числе и температурных, воздействиях, описаны влияния вязкоупругих свойств материалов, возникает вопрос: возможно ли использовать те или иные воздействия, свойства материалов для получения новых функциональных возможностей конструкций?

Например, интересно рассмотреть температурные деформации пластинки, но с позиции умышленного, контролируемого ее деформирования от дозированного температурного воздействия, то есть построить математическую модель ТМС. Тут возникает ряд задач, которые необходимо решать совместно:

— материал пластинки, если он обладает нелинейными характеристиками, то есть необходимость учёта вязкоупругих и термовязкоупругих его свойств;

— техническая возможность обеспечения температурного режима, но строго контролируемая по параметрам: площадь, температура, а также возможно определённый закон ее изменения.

Постановку задачи сформулируем для тонкой пластинки, геометрические характеристики которой описываются соотношением:

10 ^ 1т^/ь ^ 100. (1)

При этом соотношения прогибов выберем для гибкой пластинки:

ытях/Ь ^ 0,2. (2)

Примем также, что пластинка изготовлена из линейно-вязкоупругого материала, и ее свойства описываются наследственными соотношениями Больцмана: (

^ = С- Ет(*) - [ Г(* — г) •• ЕТ{т)ёт, (3)

./о

где Э — тензор напряжений; Еу — тензор деформаций; С — тензор мгновенных постоянных упругости; Г (¿) — тензор ядер релаксации.

В первом приближении будем считать, что реологические свойства ма-

териала не зависят от температуры даже в смысле температурно-временной аналогии [5, 6], а температурные эффекты определяются только тепловым расширением, так что

Ет = Е- ЛАТ, (4)

где Е — кинематический тензор деформаций, определяемый только градиентами перемещений; А — тензор коэффициентов температурного расширения; АТ — изменение температуры — скалярная функция времени и координат.

Предположим, что пластинка однородна по толщине. Тогда за поверхность приведения удобно выбрать срединную плоскость.

Будем считать пластинку тонкой, так что справедливы кинематическая и статическая гипотезы Кирхгоффа [9, 11, 12]:

/ \ / \ дгю(х,у) дгю(х,у)

и{х,у,г) = и{х,у) - г--—---, ь{х, у, г) = у{х, у) - г-—--, (5)

ги(х ,у,г) = У)(х,у),

Оу = 0, •/../ = х.у.:.. (6)

Здесь и (ж, у, г), V (ж, у, г), из (ж, у, г) — перемещения произвольной точки пластинки, и (ж, у), V (ж, у), го (ж, у) — перемещения точки срединной плоскости, плоскость ж О у декартовой системы координат совпадает со срединной плоскостью, координата г отсчитывается по нормали к срединной плоскости. Углы поворота нормального волокна отождествляются с первыми частными производными от поперечного перемещения по ж и у:

Й - дт • О - дт т

вх(7)

При вычислении компонент тензора деформаций используем формулы Коши—Г рина:

9_____дщ_ дщ_ dus_ dus_ , ,

6ÔXj ÔXi dxi ÔXj ’

в которых сохраним только те нелинейные слагаемые, которые соответствуют квадратам углов поворота нормального волокна:

_ du(x,y,z) 2. _ dv(x,y,z) 2.

е-хх — ти,0(7у, Суу — -t-U,üt7œ,

п с ,'du(x,y,z) , dv{x,y,z) , _ оу оху 1

(9)

Подставляя в (9) выражения перемещений через перемещения срединной поверхности (5) и углы поворота (7), получим:

ди(х,у) _<92ад(ж,у) , п сЛ2 .... ,пт2.

ежж — z ~ 0,5ву — и^х яК'хх + 0,56^,

дх ~ дх2 ' "ч* ' -’-У»

dv(x,y) d2w(x, у) сл2 ,пт2

—¡fy-----*—Q^2— + °-50ш = v’y ~ZKvy + °>5^;

ди(х, у) dv(x,y)\ d2w(x, у)

(10)

ежз/-0,Ч ду + дх ) г дхду +вУвх-

= 0,5 (и,у ~\~Т)IX*) ^КХу ~Ь @х@у

Видно, что при вычислении компонент тензора деформации можно выделить линейную часть, соответствующую наложению плоского напряженного состояния и изгиба, и нелинейную, обуславливающую их взаимное влияние. Для упрощения примем, что вклад нелинейной составляющей в компоненты тензора напряжений мал по сравнению с вкладом линейной части. Тогда в Е

Вместо уравнений равновесия используем вариационное уравнение Лагранжа, в котором в число массовых сил включим силы инерции Д’Аламбера. При этом будем учитывать только инерцию поступательных

перемещений, что для тонких пластин дает погрешность порядка {^/а^ > гДе а — наименьший характерный размер пластинки в плане.

Выражение вариационного уравнения Лагранжа после ряда операций примет вид:

+ ¿Л? - ¿Л* + ¿П* + ¿Пп + ¿Л* = 0. (11)

Отметим, что первые три слагаемых в (11) зависят только от перемещений и нагрузок точек срединной плоскости и средней по толщине температуры, последние три — от перемещения ад и через матрицу N от перемещений и, V. Тогда задачу можно разделить на две взаимосвязанные подзадачи: первая —

о плоском напряженном состоянии (ПНС) пластинки под действием внешних нагрузок и средней по толщине температуры; вторая — об изгибе пластинки

под действием «температурного момента» с учетом наличия мембранных сил, определенных из задачи о пне пластинки. Такое разделение оказалось возможным благодаря предположению об однородности пластинки по толщине, пренебрежению тепловыделением в процессе деформирования и выбором плоскости приведения посередине толщины.

Так как определяющим является зависимость поля температуры от координат и времени необходимо решение нестационарного уравнения теплопроводности. Поэтому для изучения движения пластинки в нестационарном неоднородном температурном требуется решить следующие задачи:

— нестационарное уравнение теплопроводности при заданных краевых и начальных условиях;

— о плоском напряженном состоянии пластинки при заданных краевых и начальных условиях;

— об изгибе пластинки с учетом влияния мембранных сил.

Далее произведём модальное разложение поведения пластинки в динамической постановке через такое «сопряженное» линейно-упругое тело, которое отличается от исходного вязкоупругого только отсутствием реологических свойств (то есть тензор Г тождественно равен нулю).

Используем следующее предположение: для сопряженного тела решена задача о свободных колебаниях и найдено счетное множество частот свободных колебаний Шок и соответствующих им векторных полей — форм свободных колебаний Ь&, к = 1, 2,... , N. Как показано в [10], формы свободных колебаний ортогональны в смысле:

I Р0Ьк ' $кт,1 (1^)

Jv

гДе ¿ктп — символ Кронекера. В этом случае выполняется и другое условие:

[ <М (Ък) -С •• <М {Ът)с1У = Шок5кт, к, т = 1,2,..., N. (13)

Jv

Представим поле перемещений вязкоупругого тела разложением по модам — формам свободных колебаний сопряженного тела [3, 4, 7]:

N

и(г^) = ^2 /¿(*)Мг) = н(гЖ*)> (14)

к=1

назовем матрицу Н матрицей мод, а вектор £ — вектором модальных коэффициентов. Подставляя (14) в вариационное уравнение Лагранжа, получим систему обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений относительно модальных коэффициентов:

£ + С£ - Г Г(* - тЩт)йт = Р. (15)

./о

Решается (15) с использованием интегрального преобразования Фурье:

Р(ш) = ’^*(ш) [Р*(ш) - К-И], (!6)

где введена матрица модальных передаточных функций (МПФ)

УГ(ы) = [С2 - I - Г*(ш)]_1 (17)

Используя теорему о свертке, получим

у(г,г)= [ WxY(г,г - т)Х(т)(1т. ¿0

Находим оригиналы первых двух составляющих WxY(í) — матрицы импульсно-переходных характеристик тела (МИПХ) по перемещениям и деформациям:

£(*)=/ W(t - т)Р(т)ёт - (0) - \¥^)£(0) (18)

J о

и вычисляем оригинал тензора напряжений ст(г,£). А рассматривая (18) как линейную зависимость между обобщенным перемещением и обобщенной силой, для МИПХ можно определить физический смысл, как для матрицы обобщенной податливости вязкоупругого тела.

Таким образом, выражениям изображений компонент НДС придан общий вид линейного преобразования внешнего воздействия в отклик системы.

Особенностью применения модального разложения к поставленной задаче является то, что правая часть модального уравнения (15) определяется не только силовыми условиями, но даже в плоской задаче — распределением температуры. Это следует из представления элементарной работы внутренних сил.

Таким образом, на основании модального разложения удается построить математическую модель динамики тонких пластин, учитывающую взаимное влияние пне и изгиба. Для ее реализации необходимо определение поля температуры по толщине и плану пластинки как функции времени.

Для определения температурного поля используем классическое уравнение нестационарной теплопроводности [8]:

^ = ^2Т. (19)

от рс

Здесь А, р. с — теплопроводность, плотность, теплоемкость материала, V2 — оператор Лапласа.

Принимая, что поверхность пластинки равномерно окрашена (что достигается специальными технологическими мероприятиями), можно считать, что температурное поле однородно по плану пластинки. При этом мы пренебрегаем краевыми эффектами, возникающими за счет теплоотдачи с торцевых поверхностей пластинки.

В рамках данной работы ограничимся рассмотрением простейшего случая, на котором был экспериментально обнаружен эффект термоэлектрического управления [1, 2], то есть тонкой пластинки из электроизолирующего материала — стеклотекстолита, на одну сторону которого нанесен слой электропроводной краски. Было установлено, что при пропускании по электропроводному слою импульсного тока пластинка начинает совершать колебания, похожие на гармонические. Особенностью объекта исследования явля-

лось то, что электропроводный слой имеет малую толщину (~ 10... 20 мкм) и незначительную жесткость. В силу этого его влиянием на процесс механического движения можно пренебречь. Более того, тепловая инерционность слоя также мала, так что можно считать, что температура поверхности, на которой нанесен электропроводный слой, изменяется по тому же временному закону, что и управляющий ток. В данной постановке задачи

= (20)

84 рс 8г2 ’ '

то есть переходим к одномерной нестационарной задаче.

Материал пластинки считается однородным по толщине. Будем считать, что начало координат расположено на ненагретой поверхности пластинки, что позволит упростить формулировку краевых условий. Перейдем к безразмерной координате:

Тогда из (20) получим

где

а2

2 _ рс/г2

1 Г', (22)

а£=!-—. (23)

Л

Сформулируем краевые и начальные условия. На плоскости £ = 0 поставим условие теплообмена с окружающей средой, полагая ее температуру равной нулю:

Т'(0,*) = ЛаТ(0,*). (24)

Здесь а — коэффициент теплоотдачи. На поверхности £ = 1 — условие управления:

т(1,*) = Т!ф(г), \ф(г)\ ^ 1 ш, (25)

где Т\ — амплитуда температуры электропроводного слоя, определяемая предельной величиной тока, протекающего по нему. Начальное условие примем однородным:

Т(£,0) = 0. (26)

Для решения (22) при условиях (24), (25), (26), используем интегральное преобразование Фурье:

[Т*(£,си)]"-йиа2Т*(£,ц;) = 0. (27)

После ряда вычислений получаем аналитическое выражение, завершающее математическую модель движений пластинки в нестационарном неоднородном температурном поле:

1 — ск/г£

T(£,í) = 2Т\

1 + ah

lim ф(в) — ф(0) + (28)

0-Ю+О

°° / в2 \ Гв(а1 \ I

+ 2^Лт(а/г, в^)ехр у ех^{в)ф йв\, вк = аИцк.

Задача исследования, таким образом, сведена к последовательности трех подзадач: о распределении температуры по толщине пластинки, о плоском напряженном состоянии и температурном изгибе.

На основании теории тонких пластин и метода модального разложения получены уравнения состояния тонкой пластинки в неоднородном по толщине и нестационарном температурном поле с учетом влияния мембранных сил на состояние изгиба.

Сформулирован метод последовательных приближений в физическом времени с доказательством его сходимости для геометрически нелинейной задачи динамического изгиба пластинки. Соотношения позволяют находить приближенные аналитические решения, если моды колебаний, мембранные силы и температура определены в аналитической форме как функции координат и времени.

Одномерное уравнение теплопроводности решено аналитически. Оно описывает распределение температуры по толщине пластинки в случае, когда электропроводный слой нанесен равномерно на ее поверхность, что технически осуществимо, и теплообменом через боковую поверхность можно пренебречь. Форма решения удобна для его использования в моделях, построенных на методе модального разложения.

На основании полученных соотношений стало возможным организовать эффективные алгоритмы исследования движений пластинки, что, в свою очередь, является предпосылкой для организации экспериментов по созданию ТМС.

Список литературы

1. Андреев А.И., Желтков В.И., Стреляев С.И. Возможности управления элек-тротермомеханическими системами // XII Международная зимняя школа по механике сплошной среды: тез. докл. Пермь, 1997. С. 214-215.

2. Гурьянов A.B., Стреляев С.И., Хурхулу Ю.С. Термоэлектрическое управление формой тонких тел // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: аннотац. докл. / УрО РАН. Екатеринбург, 2001. С. 219.

3. Желтков В.И., Комолое Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупругих систем // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1995. Т. 1. Вып. 2. С. 58-69.

4. Желтков В.И., Толоконников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупругих тел // ДАН. Сер. Механика. 1993. Т. 329, № 6. С. 718-719.

5. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 270 с.

6. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. 277 с.

7. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная задача теории вязкоупругости // Механика эластомеров. 1977. Т. 1. С. 36-46.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1977. 836 с.

9. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластинки. М.: Наука, 1965. 711 с.

10. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

11. Тимошенко С.П., В ой/i юв ский- Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.

12. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

Поступило 15.09.2009

Бедрицкий Вадим Николаевич ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Желтков Владимир Иванович ([email protected]), д. ф.-м. н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Mathematical model of thermo-mechanical system on a plate example in non-stationary not-homogeneous a temperature field

V. N. Bedritsky, V. I. Zheltkov

Abstract. In article the mathematical model of behavior thin orthotropic plates in a temperature field is considered, at unilateral heating. On the basis of the theory of thin plates and a method of modal decomposition the equations of a condition of a thin plate in non-uniform after a thickness and a non-stationary temperature field taking into account influence membrane forces on a bend condition are received. The research problem, thus, is shown to sequence of three subtasks: about temperature distribution on a thickness of a plate, about a flat tension

and a temperature bend. It is offered to use described effect for construction of thermo-mechanical system.

Keywords: mathematical model, thermo-mechanical system, method of modal decomposition, temperature distribution, condition of flat tension, temperature bend.

Bedritsky Vadim ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Zheltkov Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.