Устойчивость опертых на ребра произвольных в плане пластин при нестационарном неравномерном нагреве Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XVI 1985

№ 2

УДК 629.735.33.015.4-977

УСТОЙЧИВОСТЬ ОПЕРТЫХ НА РЕБРА ПРОИЗВОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ ПЛАСТИН ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ НЕРАВНОМЕРНОМ

НАГРЕВЕ

С. Н. Иванов, О. В. Муратов

Решена задача устойчивости произвольных в плане пластин переменной толщины, опертых на ребра, при нестационарном неравномерном нагреве. Определение температурных полей, расчет напряженно-деформированного состояния панели и оценка ее устойчивости проводятся на основе метода конечных элементов.

При нестационарном нагревании опертой на ребра пластины возникает неравномерное температурное поле в ее плоскости. Кроме того, ребра обычно имеют температуру, отличную от температуры краев пластины. Температурное распределение зависит от размеров и теплофизических характеристик пластины и ребер, от условий нагрева и меняется со временем. С изменением температур меняются механические свойства материалов, а также температурные напряжения, возникающие в плоскости пластины. Эти напряжения неоднородны; складываясь с напряжениями от внешних нагрузок, в некоторый момент времени г* (то<т*сттах) они могут вызвать потерю устойчивости пластины.

Рассмотрим задачу определения температурных полей, напряженно-деформированного состояния и устойчивости произвольной в плане пластины, опертой по краям на ребра.

Будем предполагать, что перепады температур по толщине пластины малы и ими можно пренебречь, следовательно, состояние пластины до потери устойчивости является плоским; докритическое напряженное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости и можно не учитывать изменения размеров и формы пластины. При решении задачи устойчивости введем основные гипотезы, принятые в теории устойчивости тонких, упругих пластин.

Решение будем вести методом конечного элемента, для чего применим треугольный (симплексный) элемент с неизвестными величинами в его узлах. При определении температурного поля — это будут температуры Т, плоского напряженного состояния—перемещения и и и в плоскости пластины. Для решения задачи устойчивости в каждом узле

введем три неизвестных: прогиб ю и повороты нормали ф и 1|) относительно осей координат х и у соответственно

_ дт ^___ дни

* “ ду ' ‘ ~ дх '

Для определения матриц жесткости каждой из задач используем естественную систему координат ^1, и, Ьз.

Для учета работ подкрепляющих ребер используем одномерный симплекс-элемент, работающий на растяжение — сжатие, в каждом узле которого две обобщенные координаты — перемещения и и и в плоскости пластины.

При определении температурных полей в пластине переменной толщины в момент времени т используется МКЭ [1, 2]. Считается, что нагревание ее происходит по поверхностям посредством излучения и теплоотдачи от среды с температурами Теи Те2 и коэффициентами теплоотдачи (XI и СС2. Эти величины являются функциями координат и времени Т.

Температурное поле в пластине определяется решением уравнения теплопроводности:

с?8Ч~= г+ т-т- + а>(Тех - Т) + а2(:Те2 - Т) + (?л

01 дх ох ду ду

дт

с начальными Т(х, у, 0)=Г0 (х, у) и граничными условиями—— = #,

дп т

либо 7'(т=7т(х), где с — теплоемкость материала, р —плотность, 8 — толщина пластины, J — граница области, X'—коэффициент теплопроводности, г —степень черноты, С}л = с0 е (Т* — Т^) — лучистый

поток; с0 = 5,67-КГ8 Дж—- .

’ и ’ м2-с-град4

Для получения пространственных аппроксимаций используем метод Бубнова — Галеркина. Поток (2Л, коэффициенты теплоотдачи а4 и аг для простоты будем считать постоянными в пределах каждого конечного элемента.

Внутри элементов температуры аппроксимируются линейными соотношениями: Т=Ьг Т1 + 12 Т2 — для элемента стержня; Т=

= 7\ + 12Тг + Т3 — для треугольного элемента, где Тг, Т2, Т3—

температуры в узлах элемента.

В любой момент времени приближенное решение будем представлять в виде

N

Т(х, у, Т) = £ 7'й(т)Фл(/.1, Ц, Ьъ),

к—-1

где N — число узлов в рассматриваемой области.

В качестве базисных функций ^ выберем кусочно-линейные функции, задаваемые на каждом треугольном элементе соотношениями

% = Ц, !,)=( 1 Ч----------^-----1---^-----------Н-------------—

V Уп Ут хт хп ) О \уп ут Хщ“хп/ @

Уз_____, _*2_\ Ьъ /___Уз _______*з___\ ^3

+ *2 \ Ь. — / Уз + *3

Хщ хп) О \ уп ут хт хп

Уп Ут хт хп I @ \ Уп Ут хт хп I @

где О = 1 — ~к ~ Ут-—Хк~Хп- ; к, т, п — номера узлов.

Уп Ут хт хп

Согласно методу Бубнова — Галеркина функция 7\(т) определяется из условия

|Л( х)ф*<Ш=0, (1)

В случае плоскости в качестве выступает элемент площади йз, в случае стержня — элемент длины йц, где для пластины

А (т) = §ср —----— ЗХ —----— 8Х — + (а: + а,) Т — <3;

' ^ дх дх дх ду ду к 1 2/ ^

<3 = ес0 (Т4 — 71,) -|- я, Те 1 + а2 Те 2.

Проинтегрировав (1), получим систему дифференциальных уравнений в матричном виде:

в¥- + {А + 0)Т = /, 0<х<хшах, Г(0) = Т1

Матрицы А, В и И отличаются от аналогичных матриц работы [1] наличием большого числа ненулевых диагоналей.

На отрезке Остсттах введем равномерную сетку с шагом Дт

: = {*/ == 1^1, 7=0, 1 . . . /о, Дх

ишах 1

Уо /

и будем рассматривать функции у{х), г(х) дискретного аргумента т=у'Дх со значениями в пространстве непрерывных функций Яи, соответствующие Т (х), /(х) так, что у(х)б/?я для всех х=уДхбшг.

Заменив дифференциальные операторы конечно-разностными, получим двухслойную схему

Ву, 4- (А + />) (оу + (1 - а)у) = г, у (0) =у>, где у — вектор, соответствующий вектору температур Т в момент пАх,

А у — у

у — его значение при х= (п+1)(Ат; У-.= ,_д™_ ;(т — параметр, удовлетворяющий условию 0<а<1.

Алгоритм нахождения т* строится следующим образом. Для момента времени X] определяется температурное поле Т(х, у, Хз), далее по известным температурам находятся жесткости пластины и ребер, тензор деформаций и напряжений в каждом конечном элементе. В случае плоского напряженного состояния функционал /ч свободной энергии записывается в виде [3]

= — Г (-Ё- Я-)2 + (—? + Ъ ^ ^ +

2 ] и - ^ \\дх) \ду) дхду

ди\2 . \2] . .дuдv\ ЕаАТ (ди , ду\\ . . ,

+ Ы + -гг: тг + тг)\йхйу +

ду дх ) 1 — ч \дх ду 1)

тЕД—-^ +—2—)*).

где Л/ —число подкрепляющих ребер, Е—модуль Юнга, Р, — площадь поперечного сечения ребра, г\— координата вдоль ребра,

аДГ —температурная деформация, •——•деформация ребра.

Минимизируя функционал свободной энергии по узловым перемещениям, получим систему линейных алгебраических уравнений. Решая ее, найдем перемещения м, и и, в каждом узле.

Компоненты тензора напряжений ох, оу, %Ху в каждом элементе определяем по формуле [4]

х

°У

а. > = [Д]{[Д] и-аАТ} , (2)

где [О] — тензор упругости, [В] — матрица производных от функции форм симплекс-элемента, и —• вектор узловых перемещений в элементе.

Для решения задачи устойчивости пластины рассмотрим ее энергию при изгибе

Р2 = Г - № 2v ^ + (д-^]2+ 2(1 — V) / йх Лу _

24 (1 — V2) |д дх2) дх2 ду2 \ ду2 / \дх ду } }

1 Г ( /дт\2 /дт\2 , п дт дт \ ,, , /оч

~Т.| Нд + 3’Ы +2Т"Л ^)/,А’агу- (3)

где Е = Е(х, у, Т) — модуль Юнга, Л = Л(л:, у) — толщина пластины,

V — коэффициент Пуассона, Т0 = '№{х, у) — прогиб.

Прогиб любой точки треугольного элемента с девятью степенями свободы связан с перемещениями его узлов соотношениями

чю = [Ф] (4)

где = [ЗУ, <?! 0)11Ю2 <Р2 ф2 И)ъ <Рз фз]т, [ф] — матрица форм.

Подставив (4) в (3), запишем условие стационарности функционала (3) в виде системы алгебраических уравнений

д!**

^ = 0, *=1,2,...,*,

где — узловая неизвестная, /^д— квадратичная форма, соответствующая функционалу (3), или [Лд]?=/, щ },/— вектор правых частей, [Лд] — матрица линейных коэффициентов.

Состояние, описываемое функционалом энергии (3), устойчиво, если собственные числа матрицы Ад положительны. Если при возрастающей нагрузке хотя бы одно собственное число Я обратится в ноль, то наступает потеря устойчивости.

Матрица А\ может быть преобразована в матрицу, на главной диагонали которой будут стоять собственные числа. Произведение их дает определитель, который в случае устойчивости будет больше 0. В работе оценивается потеря устойчивости по знаку определителя.

В качестве примера расчета температурного поля приведем расчет температур в теплоизолированной прямоугольной полубесконечной пластине (рис. 1), один край которой мгновенно нагревается до температуры 7’2 = 400°С, и эта температура поддерживается в дальнейшем. Начальная температура плостины 0°С. Остальные края пластины поддерживаются при температуре Т1 = 0°С. Установившееся температурное поле может быть найдено аналитически [6]

Т = Т1 + ^ зш Ц. + ± е~ 5Ш ^ + ...) , (5>

где а — ширина пластины.

В расчете по МКЭ принималось р = 80000 Н/м3, с= 1000 Дж/м • град, 6 = 0,001 м, Х = 80 Вт/м-град, а = 0,04 м, 6 = 0,12 м. Пластина разбива-

лась на 256 элементов. Часть пластины ближе к краю с температурой 72=400°С разбивалась на более мелкие элементы. Расчет проводился при о=1 (неявная схема).

При шаге счета Дт= 1 с процесс установления температур показан на рис. 1. Через 63 с температуры в узлах отличались от полученных

по формуле (5) на 0,8%. Сплошной линией показано распределение

температуры вдоль оси х при у = О [формула (5)].

Для проверки эффективности работы алгоритма расчета устойчивости бралась шарнирно опертая тонкая пластина с температурным полем, имеющим градиент в направлении х [7] (рис. 2).

Это широко распространенный на практике случай, когда за счет стоков тепла на краях пластины ее средняя зона более нагрета. Точное решение, при котором пластина теряет устойчивость,

^ Л2 1 1 Крит Крит 6 (| — а •

В качестве хорошего приближения можно считать /(1 = 3,848, что

соответствует случаю т = = 2.

При этом граничные условия, накладываемые на перемещения и в направлении х и перемещения и в направлении у, таковы, что обеспечивают прямолинейность кромок пластины

5 х,см

И (0, у) = о, и. (Ь, У) = аГо Ь,

v(x, 0) = О, V (х, а) = а.Тйа.

Рис. 2

В расчете принималось: коэффициент Пуассона v = 0)32, коэффициент линейного расширения а=1Ы0~6 1/град, модуль Юнга — £=10х109 Н/м2, толщина пластины /г = 0,001 м, размеры пластины а = 0,12 м, 6 = 0,06 м, 70 = 300°С.

На рис. 2 показана зависимость коэффициента Кі от числа элементов А^эл, на которые делилась пластина. Чем больше число элементов,

а.иДм/мгсград

Рис. 3

тем ближе величина к значению, полученному в работе [7]. При 576 элементах погрешность была 3%. При этом перепад температур между центром и краем пластины достигал величины 366 град. Распределение температур при /С1 = 3,96 показано на рис. 2. Сплошной линией показана зависимость коэффициента К1 от А^д, когда напряжения в элементах вычисляются непосредственно, тем самым вносится погрешность в решение. Штрихпунктирная линия получена, когда выражения для тензора напряжений (2) учитываются в функционале (3), а сами напряжения не определяются.

Решена также задача о потере устойчивости при нагревании пластины, опертой по краям на жесткие на изгиб ребра. Пластина, изготовленная из материала ВНС-2, представляет собой в плане прямоугольную трапецию с длинами верхнего и нижнего оснований 0,3 и 0,68 м соответственно, высота трапеции 0,18 м (рис. 3). Толщина пластины 0,002 м. Площади поперечных сечений подкрепляющих ребер по стороне ОА—

150 мм2, АО—240 мм2, ОС—150 мм2, ОС—

160 мм2. Пластина закреплена таким образом, что узлы стороны ОА могут свободно перемещаться в направлении у и закреплены в направлении х. Узлы стороны ОС свободно перемещаются в направлении х и закреплены в направлении у. По всем сторонам пластина защемлена.

Нагрев происходит таким образом, что температура восстановления и коэффициент теплоотдачи сн на поверхности пластины меняются со временем по закону, показанному на рис. 3.

Пластина делилась на 576 элементов. Решение, полученное описанным в работе методом при шаге счета в 10 с, при начальной температуре пластины ГВач = 293 К, 7» = 250 К, привело к потере устойчивости при т* = 150 с. При повторном пересчете с шагом Лт=1 с потеря устойчивости наступила при т* = 154 с. Распределение температур при т=154 с в пластине показано на рис. 3.

Распределение напряжений ах и ау в этот момент показано на рис. 4. Изменение температур точек А и В во времени дано на рис. 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Замула Г. Н., Иванов С. Н., Т е с л е н к о С. Ф. Применение метода конечных элементов для расчета нестационарных температур в сечении тонкостенных конструкций. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 1.

2. Замула Г. Н., Иванов С. Н., Тесленко С. Ф. О формулировке метода конечного элемента в задачах теплопроводности авиаконструкций.— Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 3.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965.

4. Се г е р л и н д Л. Применение метода конечных элементов. — М.:

Мир, 1979.

5. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, т. 3. — М.: Машиностроение, 1968.

6. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

7. Огибалов П. М., Грибанов В. Д. Термоустойчивость пластин и оболочек.—Изд.-во МГУ, 1968.

Рукопись поступила Ю/УШ 1983 г.