Геометрически нерегулярные пластинки под действием быстропеременных по временной координате силовых и температурных воздействий Текст научной статьи по специальности «Физика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

НАУЧНЫЙ

ОТДЕЛ

МЕХАНИКА

УДК 539.3

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛАСТИНКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ПО ВРЕМЕННОЙ КООРДИНАТЕ СИЛОВЫХ И ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Г. Н. Белосточный1, О. А. Мыльцина2

1 Белосточный Григорий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры математической теории упругости и биомеханики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

2 Мыльцина Ольга Анатольевна, ассистент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

На основе несвязной термоупругости исследуется динамическое поведение геометрически нерегулярных пластин под действием быстропеременных по временной координате температурных и силовых воздействий на основные поверхности. Предлагается подход, позволяющий получить аналитическое решение термоупругой динамической задачи для пластинки при неоднородных граничных условиях на всех четырех краях. Проводится количественный анализ влияния геометрических и термомеханических параметров упругой системы на изменение величины прогиба и характер колебаний точек срединной поверхности.

Ключевые слова: пластинка, геометрическая нерегулярность, демпфирование, динамика, термоупругость, обобщенные функции, конвективный теплообмен, сосредоточенная сила, температура.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-4-442-451

Рассмотрим геометрически нерегулярную [1] изотропную пластину в условиях конвективного теплообмена через основные поверхности с окружающей средой. В некоторый момент времени t1 в точке с координатами (x1 ,y1) прикладывается сосредоточенная сила q, действие которой продолжается до момента t2. На этом же временном интервале |t2 — t11 происходит скачкообразное изменение температуры окружающей среды на постоянную величину T+. Предполагается, что пластинка испытывает линейное демпфирование. Ввиду отсутствия внутренних источников тепла температурное поле принимается линейным по толщине h и высоте hi подкрепляющих ребер, расположенных симметрично относительно срединной плоскости пластинки ©(x,y, z) = 00(x,y) + f 01 (x,y,). Решение несвязной термодинамической задачи сводится к интегрированию сингулярного дифференциального уравнения [1,2]:

Yh ..

д . _2_2 в d4w _

w + Dw + v v w + Y1 s(x — xi)

© Белосточный Г. Н, Мыльцина О. А., 2015

Г. Н. Белосточный, О. А. Мыльцина. Геометрически нерегулярные пластинки

fa д 3w 1 D дхду2

d8_

_ dx

+ E

T^a,

gD

w‘(x

qoai bi D

‘(x

xi,y - yi) (H(t - ti) - H(t - ^2))

x,) =

1 + v h

aV2 6i,

(1)

где S(x — xi) — дельта-функции Дирака, H(t — tl) (l = 1, 2) — функции Хевисайда неопределенные и ограниченные в точках tl временной оси , д — коэффициент демпфирования, D = Фзг (h) a,,

D- = 2(1 — v)D, D = i2E-3v2), Фзг = 1 + 3h- + 3 (/.) , 6i(x,y) — температурная функция, которая является интегралом дифференциальных уравнений [3-8]

60 •< —V260 + Ai60 + 2Ai61 + E

в 1 Ah

1 hi K+

4 h A

hi , hi „ 1 hi к

—j (6°,i ),i — x60« v + 5 x AiVi6i

+

+

_1 «i 16 A

i i 60 + ^ H2,6i —

1 hi 4 h

0 + — -;-H2i6i — t— 1 T+—^ + T i

‘ = 1T * Kh+T- £

(2)

16i * —V26i + f h2+3 aJ) 6i—6 A-60+e

в

hi

12

h2 Ah

*hi

Ф3, (6i ,i Vi) ,i —

ho k~

hi

— i) *3-^-6i'22 M J2 + 3Ah.[i) JvA +6XAh^0 + 6f Гм — T Ah Vi

+

+ E<3H2i f 60 + 4Нз, £6i — 4H2, (t + K* — T- Kl

= Ai (t+K+ — T-K-). (3)

3

h

i

h

3

2

*

Здесь обозначено: в — коэффициент температуропроводности, A — коэффициент теплопроводности, hi/h — относительная высота ребер и h,/h ^ 5 [2], к± — коэффициенты теплоотдачи с основных плоскостей пластинки и торцов ребер, T± — температуры окружающей среды со стороны основных поверхностей, v,(x, ж,, ai) = H (х — (X, — О-)) — H (x — (xri + О-)), lim j£± ^ ‘(x — x,), ai — ширина

\ \ 2 j j \ \ 2 j j a.^0a-

i-го ребра, Hi, = (1 + h-) — 1 (l = 1, 2), = —‘ (x — (X, — ai)) + ‘ (x — (X, + a.)), Ф*, = 1 + 2h-,

Ф3, = 12 + 6hh + 3 ^/h) , = к+ ± к-, к± = к* ± к,-, n — число ребер.

Совокупность уравнений (1)-(3) образует основную систему несвязной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки в рамках модели типа Лява и теории теплопроводности Фурье. Следует отметить, что: 1) если коэффициенты теплопроводности одинаковы, то система сингулярных дифференциальных уравнений (2), (3) распадается на два самостоятельных уравнения относительно температурных функций 6p(x, у) (р = 0,1); 2) во многих технических приложениях относительная ширина подкрепляющих элементов мала: a,/a ^ 0.01. По этой причине в уравнениях системы (2), (3) на основании гипотезы «сжатых ребер», отсутствия внутренних источников тепла и симметричного расположения ребер относительно срединной плоскости пластинки слагаемые, содержащие ‘-функции, можно опустить [1,3]. Тогда, при определении температурной функции 6i(x,y,t) для пластинки, со стороны внешней плоскости которой происходит скачкообразное изменение температуры окружающей среды на малом временном интервале |t2 — ti | ^ 1, следует исходить из уравнения

16i ,t —V26i +

Р

12 к .

+6 Ai 1 6i

6 Ai (T* + t+ [h (t — ti) — h (t —t2)] — T"}

(4)

2. Решение несвязной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки при однородных краевых условиях (шарнирное опирание)

х = 0, х = a : w = 0, Mii =0, 6i = 0,

(5)

y = 0, y = b : w = 0, M22 =0, 6i = 0;

Механика

443

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

будем разыскивать в виде двойных тригонометрических рядов с переменными по временной координате коэффициентами

w

(x, У, t) =^2 Wkm(t) sin

km,

knx ---Sin

a

mny

~b~

O1 (x,y,t) =^2 $km(t) km

knx

Sin----Sin

a

mny

~b~

где $km (t) на основании стандартных процедур метода двойных тригонометрических рядов являются интегралами дифференциальных уравнений [2,9]:

в кв кв

$ km + ^2 Skm $km = 6^-ATkm + 6~J- T+ 6km [H (t - ti) - H (t - t2 )]

a2 Ah An

и запишутся в виде

$km — E.

1 e-

km

l3Sk

..m + „о

^ * + E2

km

+ E

3

km

1 — e-

eSkm(t-t l)

a2

)h(t - ti)

eSkm(t-t 2) ----------

)h (t - t2)) ,

(6)

а коэффициенты wkm (t) на основании процедуры Галеркина являются интегралами дифференциальных уравнений:

4 qog ai bi

Yh Hi ab

d2 wk

m + eg 1 dwkr

+

gD Hi

dt2 Yh Hi dt Yha4 H,

wkm =

knx1

Sin

Sin

mny1 ~b~

{H(t - ti) - H(t - t2)> +

1 + v gD 1

h Yha2 Ht

Lkmkm,(t)

a

(7)

Здесь обозначено

т- /, \2 (mna\2

Lkm — (kn) + ^ b J

гг л . 0h'i ai .2 knxi

Hi — 1 + 2--------Sin -------

h a a

3

~ ~ zmna\ * / hH\ ai 2 knxi

Hi — Lkm + 2(—) ФзЛ у) - Sin2 ■

2 (mna\2

ai 2

Si^-----+ 4 (knr ( —

a a b

Ka a 1 \ 4 _ _2 „ Ka a ATkm,

+ 4(kn) [ (1 - v)

3

hi ai

- V) Фз?, — COS

knx,i

Elm = 1 - ATkm, E2m = 6— ^

6km

A h Skm

4(1 - coskn) (1 - cosmn)

A h S;

h a a

m3 _ aKaaekmrr+

Ekm = 6~~-

km

-T+

km

A h Skm

kmn2

При выполнении неравенства

,, ,2 (mna\2 Ka a (a\2

skm = ikn) + ( — ) +6-h + 12{ h)

gD HHi

4-4—г >

eg

Yha4 Hi ' \YhHi

фундаментальная система функций для соответствующего (7) однородного дифференциального урав-

нения запишется

здесь

Pkm (t) = 6 H * Sin(Kkm t), Yhm (t) = 6 H * COS(Kkmt),

H =

eg

kkm

1 gD HH

4H - 12(1 - v2)££(?) _L

2YhHx 2]l Yha4 V Hi 1 yE \h) H2

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7) запишется в виде

2

2

(t) = (Ckm Sin(Kkmt) + Clm COS(Kkmt)) 6 ^ + Akm + Bkm6 * +

wkm

+ Z Dm 1 Sin(Kkmt) + D’km2 COS(Kkmt) + w’km) H(t - tl) + l=1 2

+ ^ (Fkm1 Sin(Kkmt) + Fkm2 COS(Kkmt) + W km) H (t - tl )■ l=1

444

Научный отдел

Г. Н. Белосточный, О. А. Мыльцина. Геометрически нерегулярные пластинки

Постоянные Dlkm1, Dlkm2, Fkm1, Flkm2 являются решениями алгебраических систем [9,10]

sin(Kkmti)e ^tlDlkml +cos(Kkmti)e ^tlD^2 = (-1)lw >s(Kkmti)e-/ltl - sin(Kkmti)e-/ltl^) Dkmi +

km)

K

+ ( - sin(Kkmtl)e ^tl - cos(Kkmti )e MtO Dkm2 = 0,

K

km

t=tl

sin(Kkmtl )e Mtl Fkml +COs(Kkmtl )e Mtl Fkm2 = -w'km (Kkmtl )e-^tl - -^ sin(Kkmtl Fkml +

Kkm /

-f,tl - -JL-cos(Kfcmtl)e-f,t6 Fkm2 = (-wL)'

+ - sin(Kkmtl)e f~'1 - —— cos(Kkm

K

km

l =(-1)l+i4qoa!_1sin sin mnyi wl = A + Bl e-^(t-tl)

km = ( 1) 4 n 7 ~ sin sin i , w km = Akm + Bkme “ ,

D ab H a b

A =

km

(-l)l + 1 (1 + v )Lkm aE3ma2

(-l)

l 1 + v gD Lfcm y-,3

h 7ha2 H

km

A3 =

km

hHi

1 + v a2LkmaElm

B l _________

km = / eSkm У2 Mg eSkm , gD Hi

+

h

Hi

B3 = Bkm =

eSkr

a2 У YhHi a2 7ha4 H

1 + v gD Lkm j^l

h 7ha2~HTaEkm ^

Mg eSk m , gD H

+

a2 У 7hHi a2 7ha4 H-

Постоянные интегрирования Ckm (l = 1, 2) определяются из начальных условий. При 0 ^ t < t1 пластина находилась в покое w = 0, w,t = 0.

3. Задача значительно усложняется в случае неоднородных краевых условий. Предположим, что на краях гладкой пластинки поддерживается постоянный по толщине перепад температуры 6ь тогда краевые условия (5) перепишутся через функцию прогиба в виде

при x = 0, x = a : w = 0, 1 + v 2Г w,11 = , a61, h 61 = 61, (8)

при e II o' II w = 0, 1 + v 2T w,22 = , a61, h 61 = £. (9)

Температурная функция 61 в этом случае запишется

/7 / \ п / \ • knx . mny ~

61 (x, У, t) = у Vkm(t) sin- sin --+ 61,

b

km

где Vkm (t) определяется формулой (6), в которой предварительно E^m следует взять в виде

„2 _ ftKaa ATkm ( naa f a\2\ ekm 7

Ekm=- +1211)) Skm61 ■

Определить функцию f(x,y), тождественно удовлетворяющую всем условиям (8), (9), и искать решение термодинамической задачи в виде

w(x

, . , . . knx . mny . .

(x, У,t) = 2_^ wkm(t) sin sin —^ + f (x, y)

km

не представляется возможным. По этой причине решение запишем в виде, тождественно удовлетво ряющем только условиям (8)

knx . kny

w(x

, , г , , . K7(x кП y г , , , knx 1 + V ~ 1 / 2 \

(x,y,t)=> wkm (t) sin---sm —— + > fk (y) sin--------— «61- (x - ax), (10)

a b ^ a h 2 v 7

km k

где fk (y) = £ yl.

3

£

l=0

t=t

Механика

445

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

Подстановка (10) в краевые условия (9) приводит к равенствам: при y = 0

EAk

knx sin---

a

1 + v h

aQ1 -(x2 1 2V

ax),

EAk sin

k

knx

a

1 + v 2 h

a01;

(11)

при у = b

Y.Y.Ak ь1

knx sin---

a

1 + v h

a0\ -(x2 1 2 v

ax),

E(Ak +3Ak b)

knx sin---

a

1 + v 2h

a01.

(12)

k 1=0 k

Раскладывая правые части равенств (11), (12) в тригонометрические ряды, получим неоднородную алгебраическую систему для коэффициентов Ak

где

Ak = b2

A0 = bk,

Ak = _ bk 2 2

2A2k

+ 6Ak = _bk ,

EAk = bk,

1=0

b

2

k=

b0

bk

(kn)2 ’

b0k =

2(1 + v)a6»i (1

h

cos(kn))

kn

Структуру функции w(x, y,t) по пространственным переменным можно считать известной, что дает возможность при определении дифференциальных уравнений для коэффициентов wkm(t) в аппроксимации (10) исходить при отсутствии ребер из метода двойных тригонометрических рядов либо, в случае дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами (1), обращаться к процедуре Галеркина. 4

4. На рис. 1-7 приводятся изображения поверхностей прогибов термоупругой системы и графики движения точек срединной плоскости во времени при различных значениях относительной высоты ребер a/b, их числа n, величины температурного скачка 91, числа Bio и при фиксированных значениях параметров: д = 0.00007, q0 = 10, T+ = T- = 20, t1 = 1 с, t2 = 1.005 с, h/a = 0.005.

На рис. 1-3 изображены при a/b = 1, Bio = 0.5, T+ = 100 поверхности прогиба гладкой (n = 0) и ребристой (n = 3, hi/h = 2) пластин в различные моменты времени, Близких к верхней границе интервала температурно-силовых воздействий.

a б

Рис. 1. Графики движения точек срединной плоскости w(a/2,b/2,t) гладкой (a) и ребристой (б) пластин

446

Научный отдел

Г. Н. Белосточный, О. А. Мыльцина. Геометрически нерегулярные пластинки

a

Рис. 2. Поверхность прогиба w(x,y,t) гладкой пластины: a — при t = 1.0025; б — при t = 1.0053

a б

Рис. 3. Поверхность прогиба w(x,y,t) ребристой пластины: a — при t = 1.0025; б — при t = 1.0053

Количественный анализ полученных решений выявил следующие закономерности в отклике термоупругой системы на изменения перечисленных параметров.

1. С увеличением числа ребер (как и их жесткости на изгиб и кручение) размахи колебаний уменьшаются, частота значительно возрастает (рис. 4). Следует отметить, что в термостатической постановке задачи увеличение изгибной жесткости ребер, как и их числа, ведет к росту прогиба, а увеличение жесткости на кручение — к уменьшению прогиба, при прочих равных условиях [11].

a

Рис. 4. Графики движения точек серединной плоскости w(a/2,b/2,t) ребристой пластины с различным числом

ребер n, Bio = 100, hi/h = 5: a — n = 0; б — n =1

Механика

447

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

в

Окончание рис. 4. в — n = 10

2. Существенное влияние на частоту и размахи колебаний ребристой пластинки оказывает параметр a/b (рис. 5), с уменьшением которого размахи колебаний возрастают, при этом частота колебаний существенно уменьшается. Этот факт объясняется изменением длины подкрепляющих элементов.

Рис. 5. Графики зависимости движения точек плоскости w(a/3,b/3,t) ребристой пластины от параметра a/b при Bio = 50, 61 = 100, n = 3: а — a/b =1; б — a/b = 1/2

3. При малых значениях параметра Bio затухающие колебания геометрически нерегулярной пластинки происходят около прямой, практически совпадающей с временной осью (рис. 6).

Рис. 6. Графики зависимости движения точек плоскости w(a/3,b/3,t) ребристой пластины от параметра Bio при a/b = 1, 61 = 100, n = 9: а — Bio = 50; б — Bio = 1

4. При наличии на краях пластинки перепада температуры по толщине асимметричные затухающие колебания происходят около прямой параллельной временной оси. Расстояние между этими прямыми зависит от величины перепада (рис. 7).

448

Научный отдел

Г. Н. Белосточный, О. А. Мыльцина. Геометрически нерегулярные пластинки

a

Рис. 7. Графики зависимости движения точек плоскости w(a/3,b/3,t) ребристой пластины от величины перепада температуры в\ при Bio = 1: a — 6h =0; б — в\ =20; в — в\ = 100

Отмеченные закономерности термоупругого поведения геометрически нерегулярной пластинки происходят на временном промежутке, значительно большем (более чем в 38 раз) временного интервала температурно-силового воздействия. В целом картина нестационарного термоупругого поведения геометрически нерегулярной пластины чрезвычайно сложная. Алгоритмизация полученных аналитических решений не представляет трудности, что весьма важно для инженерной практики в целях предварительного количественного и качественного анализов поведения геометрически нерегулярной пластины под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий, предусмотренных условиями эксплуатации конструкции.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00644а).

Библиографический список

1. Белосточный Г. Н. Геометрически нерегулярные оболочки и пластинки под действием температурных факторов : дис. ... д-ра техн. наук. М. : МАИ, 1992. 593 с.

2. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Термоупругость подкрепленной пластинки под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе // Вестн. МАИ. 2014. Т. 21, № 2. С. 169-174.

3. Белосточный Г. Н, Гущин Б. А. Уравнения теплопроводности оболочек со ступенчато изменяющейся толщиной / Сарат. политех. ин-т. Саратов, 1990. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 14.06.90, № 3434-В90.

4. Белосточный Г. Н, Рассудов В. М. Нестационарное уравнение теплопроводности подкреплен-

ных оболочек и некоторое решение задачи термоупругости ребристых пластин и пологих оболочек с учетом связности полей температуры и деформаций / Сарат. политех. ин-т. Саратов, 1984. 49 с. Деп. в ВИНИТИ 6.04.84, № 2080-84.

5. Проблемы высоких температур в авиационных конструкциях / под ред. Г. В. Ужика М. : Изд-во иностр. лит., 1961. 595 с.

6. Чернуха Ю. А. Дискретно-континуальная модель температурных полей оребренных оболочек // Матем. методы и физ.-мех. поля. 1978. Т. 7. С. 43-47. URL: http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/ index.php/MMPMF/artiele/view/688/734 (дата обращения 10.09.15).

7. Иодстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость

449

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

тонких оболочек, Киев : Наук. думка, 1978. 343 с.

8. Расчет элементов конструкций летательных аппаратов / под ред. В. В. Кабанова. М. : Машиностроение, 1982. 136 с.

9. Белосчточный Г. Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Академии военных наук. 1999. № 1. С. 14-26.

10. Белосточный Г. Н., Гущин Б. А. Эффективный

метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений // Прикладные задачи напряженного состояния упругих тел : межвуз. науч. сб. Саратов : Изд-во СПИ, 1987. С. 54-58.

11. Белосточный Г. Н., Зелепукин Ю. В. Некоторые решения задач несвязной термоупругости изотропных систем «пластинка-ребра» на базах континуальной и дискретной моделей / Сарат. политех. ин-т. Саратов, 1982. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 7.01.82, № 521-82.

The Geometrical Irregular Plates under the Influence of the Quick Changed on the Time Coordinate Forces and Temperature Effects

G. N. Belostochny, O. A. Myltcina

Belostochny Grigory Nikolaevich, Myltcina Olga Anatolevna, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected], [email protected]

On the basis of incoherent thermoelasticity, the dynamic behaviour of geometrically irregular plates under the influence of quick changed, on the time coordinate, forces and temperature effects on surfaces is considered. An approach allowing to obtain the analytical solution of the thermoelasticity dynamic problem for the plate under inhomogeneous boundary conditions at all four edges is suggested. Quantitative analysis of the influence of the geometrical and thermomechanical parameters of elastic system on the change of bending and the character of oscillation of the points of medial surface is carried out.

Key words: plate, geometrical irregularity, damping, динамика dynamics, thermoelasticity, generalized functions, convective heat exchange, concentrated force , temperature.

This work was supported by the Russian Foundation

References

1. Belostochny G. N. Geometrioheski nereguliarnye oboloohki i plastinki pod deistviem temper-aturnykh faktorov. Diss. dokt. tekh. nauk [Geometrically irregular shells and plates under the influence of temperature factors : Dr. techn. sci. diss.]. Moscow, MAI, 1992, 593 p. (in Russian).

2. Myltcina O. A., Belostochny G. N. Thermoelasticity of the reinforced plate under influence of quick change for coordinate of thermal and force factors on the boundary. Vestnik Moskovskogo avi-atsionnogo instituta, 2014, vol. 21, iss. 2, pp. 169174 (in Russian).

3. Belostochny G. N., Gushchin B. A. Uravneniia teploprovodnosti oboloohek so stupenohato izme-niaiushoheisia tolshohinoi [Equations of thermoelasticity of shells with step variation in thickness] / Saratov Polytechnic Institute, Saratov, 1990, 11 p. Dep. in VINITI 14.06.90, no. 3434-B90 (in Russian).

4. Belostochny G. N., Rassudov V. M. Nestat-sionarnoe uravnenie teploprovodnosti podkreplen-nykh oboloohek i nekotoroe reshenie zadaohe

for Basic Research (project no. 14-08-00644a).

termouprugosti rebristykh plastin i pologikh oboloohek s uohetom sviaznosti polei temperatury i deformatsii [Nonstationary equation of thermal conductivity of supported shells, and some solution of the problem of the thermo elasticity of ribbed plats and shallow shells with account of the coherence of temperature and deformation fields] / Saratov Polytechnic Institute, Saratov, 1984, 49 p. Dep. in VINITI 6.04.84, no. 2080-84 (in Russian).

5. Problemy vysokikh temperatur v aviastroitel’nykh konstruktsiiakh [Problems of high temperatures in the aerostructures] / ed. by G. V. Uzhik. Moscow, Izd-vo inostr. lit., 1961, 595 p. (in Russian).

6. Chernukha Yu. A. Diskretno-kontinual’naia model’ temperaturnykh polei orebrennykh obolochek [The discrete - continuum model of the temperature fields of ribbed shells]. Mat. metody i fiz.-mekh. polia, 1978, vol. 7, pp. 43-47 (in Russian). Available at: http://journals.iapmm.lviv.ua/ojs/ in-dex.php/MMPMF/article/view/688/734 (accessed 10, September, 2015).

7. Podstrigach Ia. S., Shvets R. N. Termoupru-

450

Научный отдел

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев. Модели микрополярных термоупругих континуумов

gost’ tonkikh abolachek [Thermoelasticity of thin shells], Kiev, Naukova Dumka, 1978, 343 p. (in Russian).

8. Raschet elementov konstruktsii letatel’nykh appa-ratov [Calculation of the components of the aircraft structure] / ed. by V. V. Kabanova. Moscow, Mashinostroenie, 1982, 136 p. (in Russian).

9. Beloschtochny G. N. Analiticheskie metody oprede-leniia zamknutykh integralov singuliarnykh differ-entsial’nykh uravnenii termouprugosti geometrich-eski nereguliarnykh obolochek [Analytical methods for definition of the closed integrals of singular differential equations of thermoelasticity of geometrically irregular shells]. Doklady Akademii voen-nykh nauk, 1999, no. 1, pp. 14-26 (in Russian).

10. Belostochny G. N., Gushchin B. A. Effektivnyi metod resheniia lineinykh neodnorodnykh differ-

УДК 539.374

entsial’nykh uravnenii [The effective method for solution of linear inhomogeneous differential equations]. Prikladnye zadachi napriazhennogo sos-toianiia uprugikh tel : Mezhvuzovsk. nauchn. sb. [Applications strained condition of elastic bodies : Interuniversity scientific collection]. Saratov, Publ. Saratov Pedagogical Institute, 1987, pp. 54-58 (in Russian).

11. Belostochnyi G. N., Zelepukin Iu. V. Nekoto-rye resheniia zadach nesviaznoi termouprugosti izotropnykh sistem «plastinka - rebra» na bazakh kontinual’noi i diskretnoi modelei [Some solutions of the problems of incoherent thermoelasticity of the isotopic systems «plate - ribs» on the basis of the continuum and discrete models] / Saratov Polytechnic Institute. Saratov, 1982, 12 p. Dep. in VINITI 7.01.82, no. 521-82 (in Russian).

МОДЕЛИ МИКРОПОЛЯРНЫХ ТЕРМОУПРУГИХ КОНТИНУУМОВ СО СВЯЗАННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ МИКРОСТРУКТУРЫ

В. А. Ковалев1, Ю. Н. Радаев2

1 Ковалев Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры финансового менеджмента, Московский городской университет управления Правительства Москвы, [email protected] 2Радаев Юрий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, Москва, [email protected], [email protected]

Предложена новая теоретико-полевая модель термоупругого континумма с микрополярной структурой, определяемой микроструктурными d-векторами и d-тензорами, ранг которых может быть произвольно высоким. Микроструктурные векторные и тензорные экстраполевые переменные подчиняются уравнениям связей (ограничениям), конечным (голоном-ным) или дифференциальным (неголономным). Исследование выполнено на основе лагранжева полевого формализма в стиле 4-ковариантных физических теорий поля. Наличие конечных или дифференциальных связей, накладываемых, в частности, на микроструктурные параметры, подразумевает формулировку проблемы как связанной задачи вариационного исчисления, точнее, как вариационной задачи Лагранжа для многомерного интегрального функционала. Правило множителей Лагранжа применяется для вывода дифференциальныхуравнений поля при наличии связей между микроструктурными переменными. Связи могут быть конечными и дифференциальными, в каждом их этих случаев получены уравнения поля. В качестве примера рассматривается микрополярный континуум с жестким репером директоров, определяющих его микроструктуру.

Ключевые слова: термоупругость, микроструктура, микрополярный континуум, поле, действие, d-тензор, связь, множитель Лагранжа.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-4-451 -461

1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Содержание механики континуума как науки и современный подход к математическому представлению деформаций и напряжений, выводу уравнений динамики и термодинамики, формулировке определяющих уравнений сложились в результате довольно длительного исторического развития. Механика континуума продолжает бурно развиваться, и прогресс этой науки в значительной мере связан

© Ковалев В. А., Радаев Ю. Н., 2015