CC BY
23
УДК 539;3
Г.Н. Белосточный, О.А. Мыльцина
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗНОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТОНКОСТЕННОЙ КОНСТРУКЦИИ В ВИДЕ ГЛАДКО СОПРЯЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
На базе модели типа Лява рассматриваются гладко сопряженные оболочки вращения под действием температурных факторов. Предполагается, что толщина термоупругой системы чувствительна к нагреву. Уравнение срединной поверхности композиции записывается в векторной форме, что позволяет предельно стандартизировать процедуры определения сингулярных геометрических параметров конструкции.
Динамические уравнения термоустойчивой системы выводятся из интегрального вариационного принципа Гамильтона и записываются в компонентах поля перемещений.
Приводится конкретизация коэффициентов сингулярной системы дифференциальных уравнений термоупругости на случай трех элементов.
Гладко сопряженные оболочки вращения, динамические уравнения термоупругости
G.N. Belostochny, O.A. Myltcina
DYNAMIC EQUATIONS OF INCOHERENT AXISYMMETRICAL THERMOELASTICITY OF THE THIN-WALLED CONSTRUCTION AS SMOOTHLY ATTENDED
SHELLS OF ROTATION
On the base of model of type of Lyava the smoothly attended shells of rotation under the action of temperature factors are examined. It is assumed that the thickness of the termoelastic system is sensible to heating. Equation of middle surface of composition is written down in a vectorial form, that allows maximum to standardize procedures of determination of singular geometrical parameters of construction.
Dynamic equations of the termoelastic system hatch from integral variation principle of Hamilton and written down in components of the field of moving.
A specification over of coefficients of the singular system of differential equations of thermoelasticity is brought in case of three elements.
Рассмотрим композицию из трех оболочек вращения (конус-сфера-цилиндр), гладко сопряженных между собой, уравнение срединной поверхности которой запишется в виде /1/
где ^ ®^1 +^2 ®%2- проектор, , e - единичные взаимно ортогональные векторы в меридиональной
плоскости. В предположении отсутствия внутренних источников тепла и малой толщины оболочек температурное поле в(д, р, z) будем считать линейным по толщине композиции
Везде, где повторяются индексы в одной части равенства, подразумевается суммирование по ним в указанных пределах.
Закон изменения поля перемещений по толщине термоупругой системы на основании предположения /1/ ^,3 = ав(д,р,z,0 запишется после ряда преобразований в виде
Smoothly attended shells rotation, dynamic equations of thermoelasticity
(1)
(2)
где в0, в1 - температурные функции в разложении (2), Gii - компоненты метрического тензора срединной поверхности композиции, ^ (г = 1,2) главные кривизны срединной поверхности композиции. Функция Лагранжа
L = -
2 ш (a"e+ри ¿уgn 822d^d^dz ,
где о - тензор Эйлера, е - тензор малых деформаций, - компоненты метрического тензора лю-
бой поверхности, параллельной срединной, после ряда преобразований и интегрирования по г в пределах [- ^2, ^2 ] перепишется в виде
1 І і ^ _____ / ___\ (IG )2
L = "Т і і \ h C1U — u,j +2^(¡22 {cnk1 + Cj2k2 )wu,1 +2(V(>22 />1 (k2C11 + k1C12 )uW + C11 /
2 \ L v—її v—ii—2
2
u +
+ 2^12 I — UU,1 +д/ —11—22 ktf + ¿2 ) + 2^12^1 ¿2 ]w2 - 2(cn + 6*12)^ —22ав0и,1
УІ—її
2(c11 + C12 )V—11 — 22 a—^ (k1 + k2)w 2(C11 + C12 )(V— 22 ),| ——0і
nu, —
12
C11J (- k12,1 u 2 — 2ß0uw,11 +2ß3uw,1 +c11
w,121 +2ß2 W,1 W,11 +ß1w,12 —
2ß5——0w,11 +2ß6——0w,1 2(C11 + C12 )д/—22 (k1’1 +k2 ’1 )— ,
u —
—11 h
h
dqd& +
(4)
12
V—22 • 2 2k2y—22 • • , —--------w,,------J-----uw,, +
—11 1 —11 1
V—11—22 —1 + 2yl —11—22(^1 + ¿2—-h
dßdf.
Здесь обозначено
2(1 — v) — 2v — — = £
C11 = _—:— — , C12 = “—”— — , — =
1 — 2v
1 — 2v
2(1 + v)
ß0 = „ (c11k1’1 +c12k2,1 ) ’
—11
ß1 = C11
V—2(V—1),?.+_ ^V—22),i2
Vd —nV——
— 2c1
^V—22),1 11),1
—и
ß2 = —C1
V—2W—1),1. ^V—22),1
+C12 —„тС*
—121
ß3 = C11
V—2(V—1),1, ^V—22),1,
—uV—1 — —и
+ cr
(V—2),1; , V—2(V—1),1, -------k1,1 + ... f— - k2,1
Єн
ß4 =■
—22W —11),1 W —22),1
—11
i —
ß5 = J -—2(C11k1 + C12k2),
V —11
ß. (C1А + c^)—Ь§Ь.(сА + c„i-1).
—11 V—11
Обращаясь к интегральному вариационному принципу Гамильтона
(5)
+
3
h
+
3
h
+
+
Ч
5 J Ldt = 0.
(6)
получим сингулярную систему дифференциальных уравнений несвязной термоупругости композиции из оболочек вращения
тК И.11 +^2
^ + — ¿2
V с11 У
\ (
JG11;
Ь11 у
w — ß7u —
G22 к 2 u ß0 w + ß3 w
——¿1 n u-------w,11 +-----wn
1 + |V G22a@0’1— 1 + c1^ ^VG22(k1’1 +¿2,1 )12 a<^1 + \gGL u’« —p
p \G2:
h_ k2G
12 Cu Gn
w,
,____( с 1 ,_______( с 1 /____ ( с 1
yG22 ¿1 +-12 ¿2 u,1 +д/ G11G22 ¿1 + ¿2 + 2“^2 ¿1k! W + (^ G22 ),1 ¿2 +--12 ¿1 u +
у V
1 — (ß2 W,11 +ßw,1 +ß3u ).
V C11 У
2
11 у
+ -
12
( 1 ^ -7=,\-Gr w,n +ß2 w,1 —ß0u
y/G11 \ Gn
( с ^
1+^
V с11 у
_________ h2 h2
■y/G11G22 (¿1 + ¿2)aOo + a(ß5@0 )’11 + Y2 ß6a^0 —
— ff — |l + 121 с
>11 +1 ß4 в ln
-—JGG
w,„ —
ph
VG22 w , VG22 u VG11G22 а( в1’й , ^r, , h в
——w41«—li2—— мчи ;;-а -т- + + ¿2)6,0
G11 Gn 2 V h
W G22),:
(7)
(8)
где ß' = ß , ß7 = ЦМ1 — —12 с11 yiGnG22 cn
Сингулярные коэффициенты в системе дифференциальных уравнений (7), (8) для рассматриваемой оболочки имеют вид
— vcos^sin^sin3(^ + ö) ^ тт х 1 с 1 с
ß0 =------------.Г., ■ ----(1 — Я1) + -2 cos ^51 — — 52,
R (1 — v)sin#
ß[ = -Л-(^П (у+в) [ 4cos2(^ + ö)sin2 в + sin2 у — -4Vcos(^ + в)sin в sinу I + R M sine V 1 — v
( cos2 в sin3(y + e) sine sine
4 cos2 (у + в) sin2 в + sin2 у —4v cos(y + в) sin в sin у
1 — v
Л
H1 +
— 2 sin 2в —
cos2 в^ sin в
я 2 ,
ß,= 1 ^oiуш у(vsin2(у + в)sin2в + 1I +
R\ sin2 в V1 — v
(0 — осуш^(vsin:(у + в)sin: в +1 sin2 в V1 — v
нЛ +
ß4 = ((2cos(у + в) sin в — sin у) + (— cos в — ^cos^ + в) sin в — sin у))н1 + (— sin 2в — (— cos в))н2),
/ 2 i \ 1 /vcosуsin (у + в) sinв vcosуsin (у + в) 1 i vsin (п — в) sinв'
R
V
1 —v
1 —v
1 —v
н1 +
1 —v 1 —v
н2 ,
1 (sinвcosуsin(2у + 2в) cosуsinуsin(у + в) 1 ( cos в
ß6 = R
1 —v
sin в
+ I —-
1 —v
t
2
+
+
—
sin6cosYsin(2Y+ 26) cosYsinYsin(Y+6) ]] ( sin26 cos6]
— I H-i +1 sin26-------+-----\H2
1-v
sin6
в =
sin Y
(cos2 6 vsin6
7 \ 2
sin 6 sin (Y + 6)
sin 6 1 -v sin 6 sin (y + 6)
Hi +
1-v 1-v ( (cos2 6 vsin611
0 -
sin6
1 -v
H
yj
Температурные функции вр (р = 0,1), входящие в правые части уравнений системы (7), (8),
предварительно определяются путем интегрирования сингулярной системы дифференциальных уравнений [2].
+ -К+ К
C-f6„„ -60,1, +i\ + (f-1 V. - f H 2 60„ + -„
60 +h H - H 2 6.,, 6R
3R2
(H1 - H 2 )61,1
+ — К -к
2Лк
61 -Г
^ 1 + ( 2 - 1 V - — H2\61 = —(к+Т + + КТ■),
- +
h \ xtg Y v R xtg Y
R
Ah
—(H1 - H2 60,11 - —gr(H1 - H2)6o,1 +3
Cpp
R
Ah 60 + a 6,i 61,11+
6 + — 6 = —(k+T + -kT-).
h
Ah
Здесь обозначены: Т+, Т - температуры сред, омывающих внешнюю и внутреннюю поверхности композиции, к+, кГ - коэффициенты теплоотдачи основных поверхностей, р - плотность, Л - коэффициент теплопроводности, Ср - теплоемкость при постоянном напряжении,
п п
д1 =д(в-вг), Нг = И(в-вг) (г = 1,2) и в1 = — -у , 02 = — . При этом следует отметить, что все вычисления коэффициентов в уравнениях носят стандартный характер и легко проверяются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белосточный Г.Н. Основные уравнения термоупругости из оболочек, гладко сопряженных между собой / Г.Н. Белосточный. Вестник Нижнегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4. Ч. 5. С. 2013-2016.
2. Ульянова О. Динамические уравнения термоупругости композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной / О. Ульянова, Г. Белосточный // Математические проблемы механики неоднородных структур / под общ. ред. И.А. Луковского, Г.С. Кита, Р.М. Кушнира. Львов: Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача, 2010. С. 198-201.
Белосточный Григорий Николаевич-
доктор технических наук, профессор кафедры «Математическая теория упругости и биомеханики» Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
Grigory N. Belostochny -
Dr. Sc., Professor,
Department of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics Chernyshevsky Saratov State University
Мыльцина Ольга Анатольевна -
магистрант механико-математического факультета Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
Olga A. Myltcina -
Graduate,
Mechanics and Mathematics faculty Chernyshevsky Saratov State University
Статья поступила в редакцию 15.11.11, принята к опубликованию 01.12.11
+
