Устойчивость нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Мыльцина О.А., Белосточный Г.Н. Устойчивость нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 4. - С. 109-120. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.4.08

Myltcina O.A., Belostochny G.N. Stability of heated orthotropic geometrically irregular plate in a supersonic gas flow. PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no.4, pp. 109-120. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.4.08

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 4,2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http ://vestnik.pstu. ru/mechanics/ab out/inf/

001 10.15593/регш.шесЬ/2017.4.08 УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ НАГРЕТОЙ ОРТОТРОПНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ПЛАСТИНКИ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

О.А. Мыльцина, Г.Н. Белосточный

Саратовский национальный исследовательский университет имени Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия

АННОТАЦИЯ

На основании линейной термоупругости рассматриваются тонкостенные геометрически нерегулярные объекты в виде ортотропных прямоугольных пластин, которые подкреплены симметричными относительно срединной плоскости ребрами жесткости и стандартным образом отнесены к декартовым координатам. Подкрепляющие ребра параллельны двум противоположным сторонам пластинки, расположенным в направлении набегающего газового потока. За основу взята континуальная модель термоупругой системы «пластинка-ребра». Сингулярные дифференциальные уравнения термоупругости системы «пластинка-ребра» содержат тангенциальные усилия и поперечную нагрузку. Тангенциальные усилия возникают при нагреве пластинки. Поперечная нагрузка, вызванная малым прогибом пластинки, определяется стандартным образом по «поршневой» теории. Тангенциальные усилия предварительно определяются путем решения сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки с учетом краевых условий.

Решение сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости пластинки в сверхзвуковом потоке газа в квазистатической и динамической постановках задач разыскивается в виде сумм двойных тригонометрических рядов соответственно, с постоянными и переменными по временной координате коэффициентами. Коэффициенты, аппроксимирующие функцию прогиба рядов, определяются методом Галеркина, как решения однородных алгебраических систем или однородных систем дифференциальных уравнений второго порядка в случае динамической постановки задачи с последующим сведением к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка и обращению к критерию Гурвица. Решения приводятся во втором приближении, что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении. На основании стандартных методов анализа статической и динамической устойчивости тонкостенных конструкций определяются критические значения скорости газового потока.

Количественные результаты представлены в виде таблиц, иллюстрирующих влияние геометрических параметров термоупругой системы «пластинка-ребра»: относительной высоты ребер, числа ребер, величины отношения длин сторон пластинки, температуры, анизотропии материала на устойчивость геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

© ПНИПУ

© Мыльцина Ольга Анатольевна - кандидат физико-математических наук, ассистент, e-mail: omyltcina@yandex.ru Белосточный Григорий Николаевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: belostochny@mail.ru

Olga A. Myltcina - CSc in Physics and Mathematics, Assistant, e-mail: omyltcina@yandex.ru Grigory N. Belostochny - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: belostochny@mail.ru

О СТАТЬЕ

Получена: 29 октября 2017 г. Принята: 23 ноября 2017 г. Опубликована: 29 декабря 2017 г.

Ключевые слова:

квазистатика, динамика, обобщенные функции, сингулярный, ортотропный, сверхзвук, пластинка, ребра жесткости, безмоментное состояние, температура, устойчивость.

STABILITY OF HEATED ORTHOTROPIC GEOMETRICALLY IRREGULAR PLATE IN A SUPERSONIC GAS FLOW

O.A. Myltcina, G.N. Belostochny

Saratov State University, Saratov, Russian Federation

ARTICLE INFO ABSTRACT

Thin-walled geometrically irregular objects in the form of orthotropic rectangular plates are considered on the basis of the linear thermoelasticity, they are supported by the ribs symmetric with respect to middle plane. The location of the ribs coincides with the direction of the supersonic gas flow. The continuum model of the thermoelastic system "plate- ribs" was chosen. Singular differential equations of quasi-static and dynamic state of the elastic system contain tangential efforts and transverse force. Tangential efforts occur during heating of the plate. The transverse force caused by a small deflection plates is determined in the standard way via the "forcer" theory. The tangential effort is pre-determined by the solutions of singular differential equations of thermoelasticity for a geometrically irregular plate with given boundary conditions.

The solution of the singular differential equations of thermoelasticity of the plate in a supersonic gas flow in quasi-static and dynamic formulation of the objectives sought in the form of sums of double trigonometric series, respectively, with the constant and variable along the time coordinate coefficients. The coefficients - approximating the function of trough - of the ranks are determined using Galerkin method as a solution of the homogeneous algebraic systems or homogeneous systems of differential equations of the second order in the case of a dynamic formulation of the problem. The solution is given in the second approximation. The critical values of the gas flow rate are determined on the basis of the standard methods of analysis of static and dynamic stability of thin-walled structures.

Quantitative results are presented in tables illustrating the influence of the geometrical parameters of the "plate-ribs" thermoelastic system, the relative height of the ribs, number of ribs, the ratio of the sides of the plate, temperature, the material anisotropy on the stability of the geometrically irregular plate over the sound of the gas flow.

© PNRPU

Геометрически нерегулярные тонкостенные упругие системы, обширный класс которых составляют ребристые оболочки и пластинки, являются элементами различных современных аппаратов специального назначения. Условия эксплуатации таких систем предусматривают совместное воздействие нагрева и высокоскоростного газового потока. Исследованию упругого поведения гладких пластин и оболочек на основе атермической теории посвящено большое число работ, полный перечень которых содержал бы десятки наименований. Ограничимся некоторыми из них [1, 2, 3, 4, 5]. Значительно меньше работ содержат исследования совместного воздействия температуры и сверхзвукового потока на гладкие пластинки и оболочки. Важные для практики результаты в этой области приводятся в работах [6, 7, 8].

Работы, в которых анализируется влияние подкрепляющих пластину или оболочку ребер под действием сверхзвукового потока на базе термической теории в открытой научной литературе отсутствуют. Это связано не с маловажностью проблемы, а прежде всего с чрезвычайной математической сложностью таких задач, решаемых на основе дискретной модели «оболочка-ребра».

Разработка континуальных моделей с использованием элементов теории обобщенных функций, основные положения которых содержится в работах [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], позволила сводить решения задач статической и динамической термоупругости ребристых пластин и оболочек к интегрированию систем сингулярных дифференциальных уравнений точными и приближенными методами высшего анализа [19, 20, 21].

Received: 29 October 2017 Accepted: 23 November 2017 Published: 29 December 2017

Keywords:

quasistatic, dynamics, generalized functions, singular, orthotropic, supersonic, plate, ribs, membrane condition, temperature, stability.

1. В квазистатической постановке задачи сингулярное уравнение термоупругого равновесия ортотропной геометрически нерегулярной пластинки на основе континуальной модели запишется как

(

м,1ш +2

Р К I 2 » т т

-—м,„ —— ^ -—^ 5(X- х) = 0

д

л

V 2 + 2

2 д

V М

Е.,

Е ( Л,.

м

,1122 + Е М,2222 +Е Е V7Г) Ф3, а,М,2222 5(Х - ^ ) +

т

11

2т

т2

т2

(1)

д

д

д

д

-1 Д1

где Мм,2 - относительная интенсивность поперечной нагрузки, вызванная прогибом

Д1

пластинки, стандартным образом определяется по «поршневой» теории [22, 23]; V

М =— - число Маха [6]; уу - невозмущенная скорость набегающего газового потока;

с0 - скорость звука; м - функция прогиба; — - относительная высота ,-го ребра; а, -

ЕЛ

ширина ,-го ребра; Д1 =

Л

ОН3 Л (Л V

А = (7 = 1,2), Ф 3, = 1 + 3 Л + Л ; 5( х - х,) -

Л VЛ)

12(1 * 12

обобщенная 5-функция Дирака [24, 25, 26]; Т1 - тангенциальные усилия, вызванные нагревом пластинки до постоянной температуры 00, определяются на основании решения системы сингулярных дифференциальных уравнений

О12 Л

и,ц + — и,22 +

В

1

V2 +

С

Vl +-

О12 Л

О12 Л

В1 )

О,-

Л

+ТМ1 - V1V2 ~~Г~ (и,2 ),2 5(Х - X ) = 0

Е ,=1 Л

В,

и,12 +^22 +"

О12 Л

Л,.

2 )

в2

11 +^~Га, (У,2 +Vu,1 ),2 5(Х - X ) =

,=1

Л

(2)

При неоднородных краевых условиях

и,2 +уз1 = 0, из1 +v2vз2 = (а1 + V2а2)00 при х = 0, х = а, и,2 +уз1 = 0, V = 0 при у = 0, у = Ь

усилия запишутся в виде

т11 = Т22 = 0, Т22 = -Е2Ла20о, Тг22 = -ЕЛ, а200.

(3)

В уравнениях (2) В1 =

ЕЛ

1

(I = 1,2).

Решение уравнения (1), предварительно преобразованного к виду

С

м,1ш +2

д

л

V 2 +2^

2 д

V М)

Е.

Е ^ ( Л,

кМ

М,1122 М,2222 ^Т2 7" I Ф3,а,М,2222 5(х - х, ) + Р — М,2 +

Е

е1 ,=1v л

д

В " Е Л а

+ ТТ а2(1 - V1V 2 ) 00 м,22 +12 а 2(1 - V1V 2 ) 00 ^7^7^ 22 5( х - ^ ) = 0,

д1 1=1 Е Л Л

(4)

с

0

тождественно удовлетворяющего условиям шарнирного закрепления всех четырех сторон термоупругой системы «пластинка-ребра», зададим в виде двойного тригонометрического ряда с постоянными коэффициентами

w(X y) = z Akm sin sin

km

k

b •

(5)

Коэффициенты ряда (5) на основании процедуры Галеркина [27, 28, 29] определяются как решения однородной алгебраической системы. Из равенства нулю определителя этой системы следуют соотношения для критических значений скоростей. В случае двучленной аппроксимации [6, 7]

w(x,y) = Au sin — sinУ + A„ sin—sin-2^y.

ii ь 12 a b

a

(6)

что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении, получим

16(1 ~У1У2) P0kM a | £j = H

TZ

E b V h

f

60

V

- 2

V6kp J

Л

11 " kp j

1 + H1L 60

H„ 6

(7)

где Hjj = 1 + 2

v 2 + 2 D 2 D

V M J

2

a i E2 f a

+ 2

_ b J E1 V b J E1 V b J г=! V h

E2 f a Л f h Л ^ a,. . 2 j x

21 1 4 1 i 1 Ф 3isin2—i

a

a

H"=3 V a J4 E'

h

1+ 2^1 -h I Ф3rasi^-

i=1 V h J a a

j x,.

3

4

a 26kp =

H

12(1 -V1V2) E.

1 v2) e2 I a \ (ax4

n

E, \ b)

h a . 2 j x. V-—sin2—L ha a

„ h a

1 + 2/ -1—- sin

¿—thn

В случае изотропной гладкой пластинки равенство (7) принимает вид, приведенный в работе [30], в случае ребристой - в работе [31].

Введем в рассмотрение безразмерный параметр д* = 12(1 2)

p0 kM f a

j4 E V h

— I , тогда

q* = 3 ^H 4 4 bHn\

^L -1 V6kp J

V 0-0 Q ^

1 + H11 60

H11 6kp J

и предельное значение этого параметра запишется как 3 Ь

q* =__ H0

Упо г, 11 •

a1

(8)

Результаты расчетов для различных ортотропных материалов и значений геометрических параметров приводятся в табл. 1-3.

2. Анализ устойчивости относительного равновесия термоупругой системы «пластинка-ребра» сводится к интегрированию дифференциального уравнения

w,1111 +2

f D Л v2 + 2 D D

V М J

E E Л f h Л

W,1122 + E W,2222 + E ^ Vj^aW,2222 5 (X - X ) +

++ 72 а 200 ( - ^2 )',22 +а 2 0° I1 - ^2 ) 7Т''22 аг 5 (Х " X ) +

Ц 7 г=1 71 (9)

у И -А у аД _ / ч д _ +^ГТ''« 5( - X ) + -Ц'п = °

g 71 г=1 ^ 71 71

где у - удельный вес; g - интенсивность поля тяжести; д - параметр демпфирования.

Таблица 1

Значения q * в случае пластинки без ребер ( n = 0 )

Table 1

Values of q * for the plate without ribs (n = 0)

a АГ-4С СВАМ 0 (II)

b q * (0/0* ) * q * {ЧК ) * q* [ЧК) * q * (0/0* ) *

1/2 0,4553 0,7630 0,4758 0,7593 0,5554 0,6497 2,2500 1,4496

1 0,5759 1,2800 0,4121 1,1574 0,2250 0,7632 22,2188 2,1689

2 6,7165 2,0500 5,4069 1,4738 0,3093 1,3091 179,859 2,4174

Таблица 2

Значения q * в случае пластинки с одним ребром ( n = 1)

Table 2

Values of q * for the plate with one rib (n = 1)

a b h h АГ-4С СВАМ ( 0 (II)

q * (0/0* ) * q * (0/0* ) * q * (0/0*) * q* (0/0* ) *

1/2 1 0,4478 0,7675 0,4697 0,7629 0,5549 0,6502 2,4468 1,4765

3 2,1771 1,5921 1,6539 1,4868 0,3827 0,7893 71,3531 2,3971

5 51,9107 2,4093 41,8892 2,3861 2,8811 1,4671 1376,86 2,4943

1 1 0,6358 1,3083 0,4607 1,1738 0,2210 0,7684 23,7938 2,1863

3 21,6359 2,3470 17,4501 2,2485 1,1570 1,4142 575,044 2,4837

5 419,504 2,4913 339,332 2,4846 27,2672 1,725 1101,1 2,4991

2 1 7,1965 2,0791 5,7952 1,4966 0,3408 1,3269 192,459 2,4225

3 175,197 2,4763 141,71 2,3855 11,3659 1,7219 4602,46 2,4965

5 3358,15 2,4985 2717,77 2,4935 220,247 1,7485 88154,9 2,4998

Таблица 3

Значения q * в случае пластинки с тремя ребрами ( n = 3 )

Table 3

Values of q * for the plate with three ribs (n = 3)

a b h h АГ-4С СВАМ ) (II)

q * (0/0* ) * q * (0/0* ) * q * (0/0* ) * q * (0/0* ) *

1/2 1 0,4403 07720 0,4667 0,7647 0,5544 0,6507 2,6437 1,5021

3 4,8096 1,8854 2,7187 1,6619 0,2099 0,8974 140,456 2,4459

5 104,277 2,4534 63,0717 2,4223 6,3175 1,5876 2751,47 2,4971

1 1 0,6958 1,3309 0,5092 1,1898 0,2171 0,7740 25,3687 2,2019

3 42,6959 2,4183 34,488 2,3613 2,5391 1,5477 1127,87 2,4916

5 838,433 2,4956 678,252 2,4923 54,7594 1,7373 22016 2,4995

2 1 7,6765 2,0984 6,1835 1,5184 0,3723 1,3433 205,059 2,4271

3 343,677 2,4878 278,013 2,4393 22,4224 1,7355 9025,06 2,4982

5 6709,57 2,4993 5428,13 2,4967 440,184 1,7492 176130 2,4999

В этом случае решение зададим в виде двойного тригонометрического ряда с переменными по временной координате коэффициентами

w

(x, y, t ) = (t )sin mf- sin

k ,m

in k

(10)

Коэффициенты ряда (10) во втором приближении определяются как решения системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений

d| Д g d^11 + g_DLfrcj Нц

dt2 h p1y dt у h ^ aJ p1

f

1 -h.

v 6kP J

, - 8 p±KM,^ _ 0

S11 _ , , S12 3 p1 yhb

8 Po KMg d2,1 g d

+ 4

3 p1 yhb

g D1 f л Y Hn f

•,11 +

dt2

h p1y dt

у h V a j p1

1 + H101

H11 e

kp j

-8 p M ,12 _ 0.

3 p1 yhb

(11)

„ а к . 2 жх Здесь р = 1 + 2 V ——- sln2 —-. 1 1=1 а к а

Подстановками

, а) _ 8 p KMg 3 p1 yhb

,12(t) _

dЧ1 , Дg dЛ , gD1 fлУ H11 f ^ л

1 -e»

v e*p J

Л

(12)

dt крху dt у к ^ а ^ р1 система (11) сводится к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка

d ц

d4,n „ d3™ d2™ ■ + 2e1 1 1 - 1

dt4

где e1 _

Д g

hpy

2 gD1 f лУ H11 f e3 _ ef + л 11 1 11

У h V ay

1 dt3 5 + 4

1

V

3 dt2 4 dt

Hi 5 A- ]

H11 ekp у

+ 0,

e4 _ e,

gD1 f яУ нп f

1 у h V a_

A

5 + 4 H11 - 5 ^

Л

H1

e

kp J

e5 _

Г Л 2

8 p0 k Mg v3 p1 Уhb

+ 4

f n / V У f gD1 f Нп

Уh Va.

J

e V 1 -A

v ekp Jv

5 + 4 H11 - 5 e0

H

e

kp J

Характеристическое уравнение

(13)

X4 + 2^X3 + e3X + e4X + e5 _ 0

(14)

в случае отсутствия демпфирования ц = 0 примет вид

X4 + e2

5 + 4 ^L - 5

H

X2 + e5 _ 0.

kp J

(15)

Из условия

-e

f 5 + 4 ^ - 5 00

Ии 0

kp у

Л

f 5 + 4 И11 - 5 0о

И„ 0

-4^5 > 0, (e < 0),

kp у

при котором хотя бы один из четырех корней алгебраического уравнения (15) будет положительным, определим интервал изменения относительной скорости потока газа Уу!е0, при котором прогиб термоупругой системы растет:

V

1 <^<

л4 Ип

h Y b E

c0 16 ( - V1V2 )v a У aPo

9o

-1

V 0kp У

0

1+И11 60

V И11 6 kp У

(17)

60

при —е

6 kp

i И 0\

H

11 у

При учете демпфирования (возникает вопрос об устойчивости системы (11), которая сведена к одному дифференциальному уравнению (13). На основании критерия Гурвица [32]

А 1= 2е1 > 0, А 2 = 2ее3 -е4 > 0, А3 = 2е1 е3 е4 -е_2 -4е2е5 > 0

получим

1 < V.<

Z7 4

E1n

c0 64 (1 - v1v2)) a У a кр.

h Y ЬИ,

И 0

5 + 4 ^ - 5

6 0

И11 6kp у

24 (1 - V1V2 )2 g f a

4

n YEPiHII V Результаты расчетов приведены в табл. 4.

И 0

5 + 4 ^ - 5

Л ^

И11 6kp у

16

-1

V 6kp у

V и 6 Л 1+И11 60

(18)

Иц 6

kp у

Таблица 4

Значения критических скоростей при различных геометрических параметрах

и модулей упругости

Table 4

Critical speed values at different geometrical parameters and Young's modulus

E - 3,05-105, E2 = 1,88-105, v2 = 0,12, E -1,88-105, e2 -3,05-105, v1 - 0,12,

g12 - 0,49 -105 g12 - = 0,49-105

11 j, h, ajb -0, h, ajb

0^ 0kp = 6 h 2 1 1/2 00/0kp - 6 h 2 1 1/2

нет 2354 659 612 нет 258 244 382

n - 1 3 7326 1281 690 n -1 3 7832 1255 509

5 101544 13058 2162 5 160685 20362 2897

n - 5 3 17301 2528 846 n-5 3 24014 3278 762

5 299953 37859 5262 5 482571 60598 7927

Окончание табл. 4

e1 = 3,05-105, e2 = 1,88-105, v2 = 0,12, e1 = 1,88 -105, E2 = 3,05-105, v1 = 0,12,

G12 = 0,49 -105 G12 - = 0,49-105

ц = 50 h a/b ц = 50 h a/b

У Qp = 6 h 2 1 1/2 У Qkp = 6 h 2 1 1/2

нет 2332 644 587 нет 251 228 357

n = 1 3 7313 1258 661 n=1 3 7815 1226 474

5 101529 13027 2109 5 160669 20330 2839

n = 5 3 17287 2502 812 n=5 3 23998 3249 719

5 299939 37831 5208 5 48557 60569 7871

Количественный анализ выявил следующие закономерности влияния геометрических параметров на поведение термоупругой ортотропной системы в потоке газа:

1. Во всех рассмотренных случаях параметр относительной высоты ребра, как и увеличение числа ребер (параметр п), ведут к существенному росту предельной скорости потока:

qkP

qkP

a i h i i

b = 1 h = 3,n = 1

a=1,—=0, n=0

b

h

= 37;

* [ a=i, I -* n=i

* i a=i,|=i,n=i

= 24;

qkP

qkP

a i — i с

b= 1— = 1 n =5

a=i, h=o, n=о

b

h

= 110.

материал АГ-4С

2. С увеличением параметра а/Ь (что ведет к уменьшению относительной длины ребер) величина относительной скорости потока значительно возрастает:

* (a=2.|=3,n=i

a i —i

— = 1, — = 3, n = 1 b h

qkP

'a = 2,h = 3, n = Г

qkp

= 8,097;

b

h

a 1 A

— = — ,— = 3, n = 1 b 2 h

qkP

= 80,047.

материал АГ-4С

Эта тенденция сохраняется и для других ортотропных материалов, а также в случае изотропных [26].

3. Главная ось упругости, для которой модуль упругости наибольший, должна быть параллельна скорости потока, так как при выполнении этого требования существенно повышается устойчивость геометрически нерегулярной пластинки - увеличивается наименьшее значение скорости потока, при которых прогибы термоупругой системы неограниченно возрастают во времени.

4. Влияние параметра ц (учет демпфирования) на величины наименьших скоростей незначительно, и тем меньше, чем больше относительная высота ребер, их число и величина модуля упругости в направлении потока.

5. С увеличением температуры (параметр 0О/) наименьшие скорости потока, при

прочих равных условиях, убывают.

6. Существенное влияние на устойчивость ортотропной пластинки оказывает параметр а/Ь , увеличение которого ведет к значительному росту относительной скорости потока. В случае гладкой пластинки эта закономерность нарушается.

Важно отметить, что перечисленные закономерности выявлены для случая двух полуволн в направлении газового потока и одной полуволны в перпендикулярном направлении.

Благодарности

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России № 9.8570.2017/8.9.

Acknowledgments

The results have been obtained within the State Assignment of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation Nr. 9.8570.2017/8.9.

Библиографический список

1. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

2. Амбарцумян С.А. Багдасарян Ж.Е. Об устойчивости ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение. - 1961. - № 4. -С.91-96.

3. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Выпучивание и установившийся флайтер термически сжатых панелей, находящихся в сверхзвуковом потоке // Инж. журн. - 1961. - № 2. - С. 82-96.

4. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе // Прикладная математика и механика. - 1956. - № 2. - С. 211-222.

5. Дун Мин дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // ДАН СССР. - 1958. - № 4. - С. 726-729.

6. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. - М.: Изд-во МГУ, 1968. - 520 с.

7. Огибалов П.М. Вопросы динамики и устойчивости оболочек. - М.: Изд-во МГУ, 1963. -417 с.

8. Болотин В.В. Температурное выпучивание пластин и пологих оболочек в сверхзвуковом потоке газа // Расчеты на прочность. - М.: Машгиз, 1960. - Вып. 6. - С. 190-216.

9. Жилин П.А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. - 1970. -Вып. 4. - С. 150-166.

10. Белосточный Г.Н., Ульянова О.И. Континуальная модель композиции из оболочек вращения с термочувствительной толщиной // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2011. - № 2. -С. 32-40.

11. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальная модель термочувствительной орто-тропной системы «оболочка-ребра» с учетом влияния больших прогибов // Механика деформируемых сред: сб. ст. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та. - 1983. - Вып. 8. - С. 10-22.

12. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Континуальный подход к термоустойчивости упругих систем «пластинка-ребра» // Прикладная теория упругости: сб. ст. - Саратов: Изд-во Сарат. поли-техн. ин-та, 1980. - С. 94-99.

13. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Секвенциальный подход к построению моделей термоупругих систем в виде пологих оболочек переменной толщины и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости сложного очертания / Сарат. политехн. ин-т. - Саратов, 1982. - 23 с. Деп. В ВИНИТИ 28.12.82. № 6449-82.

14. Жилин П.А. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Изв. АН СССР. МТТ. - 1966. - № 5. - С. 139-142.

15. Жилин П.А. Общая теория ребристых оболочек. Прочность гидротурбин // Тр. ЦКТИ. Вып. 8. - Л., 1968. - С. 46-70.

16. Карпов В.В., Сальников А.Ю. Вариационный метод вывода нелинейных уравнений движения пологих ребристых оболочек // Вестн. гражд. инженеров. - 2008. - № 4 (17). - С. 121-124.

17. Ильин В.П., Карпов В.В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемешениях. -Л.: Стройиздат. Ленингр. отделение, 1986. - 168 с.

18. Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А. Уравнения термоупругости композиций из оболочек вращения // Вестн. Сарат. техн. ун-та. - 2011. - Т. № 4, № 1. - С. 56-64.

19. Онанов Г.Г. Уравнения с сингулярными коэффициентами типа дельта-функции и ее производных // Докл. Акад. наук СССР. - 1970. - Т. 191, № 5. - С. 997-1000.

20. Белосточный Г.Н., Гущин Б.А. Секвенциальный подход к интегрированию линейного дифференциального уравнения // Прикладная теория упругости: межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та. - 1989. - С. 92-99.

21. Белосточный Г.Н. Аналитические методы определения замкнутых интегралов сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости геометрически нерегулярных оболочек // Докл. Акад. воен. наук. - 1999. - № 1. - С. 14-26.

22. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамики больших сверхзвуковых скоростей // ПММ. - 1956. - № 6. - С. 733-755.

23. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. -888 с.

24. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций (Секвенциальный подход). - М.: Мир, 1976. - 311 с.

25. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, гл. ред.я физ.-мат. лит., 1976. - 280 с.

26. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 470 с.

27. Канторович Л.В., Крылов В.И. приближенные методы высшего анализа. - Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1949. - 695 с.

28. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике. - Л., М.: Гос. изд-во техн. теор. лит., 1948. - 400 с.

29. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985. - 589 с.

30. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

31. Белосточный Г.Н., Рассудов В.М. Термоупругие системы типа «пластинка-ребра» в сверхзвуковом потоке газа // Прикл. теория упругости: межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. политехн. ин-та, 1983. - С. 114-121.

32. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования: учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергия, 1967. - 648 с.

References

1. Vol'mir A.S. Obolochki v potoke zhidkosti i gaza. [The shells in flow liquid and gas] Moscow, Nauka, 1979, 320 p.

2. Ambartsumian S.A. Bagdasarian Zh.E. Ob ustoichivosti ortotropnykh plastinok, obtekaemykh sverkhzvu-kovym potokom gaza [Of the stability of orthotopic plates streamlined by a supersonic gas flow]. Izvestia Akade-mii nauk SSSR, OTN., Mekhan. i mashinostroenie, no. 4, 1961, pp. 91-96.

3. Bolotin V.V., Novichkov Iu.N. Vypuchivanie i ustanovivsheisia flaiter termicheski szhatykh panelei, nak-hodiashchikhsia v sverkhzvukovom potoke [Buckling and steady-state flayter thermally compressed panels in supersonic flow]. Inzhenernyi zhurnal 1, no. 2, 1961, pp. 82-96.

4. Movchan A.A. O kolebaniiakh plastinki, dvizhushcheisia v gaze [Oscillations of the plate moving in the gas]. Prikladnaia matematika i mekhanika, 1956, vol. 20, no. 2, pp. 211-222.

5. Dun Min - de. Ob ustoichivosti uprugoi plastinki pri sverkhzvukovom obtekanii [On stability of elastic plate in supersonic flow]. Doklady akademii nauk SSSR, 1958, vol. 120, no. 4, pp. 726-729.

6. Ogibalov P.M., Gribanov V.F. Termoustoichivost' plastin i obolochek. [Thermostability of plates and shells]. Moscow, Moskovskii gosudarstvennyi universitet, 1968, 520 p.

7. Ogibalov P.M. Voprosy dinamiki i ustoichivosti obolochek. [The problems of dynamics and stability of shells. Moscow, Moskovskii gosudarstvennyi universitet, 1963, 417 p.

8. Bolotin V.V. Temperaturnoe vypuchivanie plastin i pologikh obolochek v sverkhzvukovom potoke gaza [Thermal buckling of plates and shallow shells in a supersonic gas flow]. Vkn. «Raschety naprochnost'». Moscow, Mashgiz, 1960, vol. 6, pp. 190-216.

9. Zhilin P.A. Lineinaia teoriia rebristykh obolochek [Linear theory of ribbed shells]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR, Mekhanika tverdogo tela, 1970, vol. 4, pp. 150-166.

10. Belostochny G.N., Ul'yanova O.I Continuum model for a composition of shells of revolution with ther-mosensitive thickness. Mechanics of Solids. 2011, vol. 46, no. 2. pp. 184-191

11. Belostochny G.N., Rassudov V.M. Kontinual'naia model' termochuvstvitel'noi ortotropnoi sistemy «ob-olochka-rebra» s uchetom vliianiia bol'shikh progibov [Continuum model of orthotopic heat-sensitive system «shell-ribs» taking into account the influence of large deflection]. Mekhanika deformiruemykh sred: Sb. statei, Saratov, izd-vo Saratovskogo gosuniversiteta, 1983, vol. 8, pp. 10-22.

12. Belostochny G.N., Rassudov V.M. Kontinual'nyi podkhod k termoustoichivosti uprugikh sistem «plas-tinka-rebra» [Continuum approach to the thermal stability of elastic systems, «plate-ribs»]. Prikladnaia teoriia uprugosti: Sb. statei, - Saratov, izd-vo Sarat. politekhn. in-ta, 1980, pp. 94-99.

13. Belostochny G.N., Rassudov V.M. Sekventsial'nyi podkhod k postroeniiu modelei termouprugikh sistem v vide pologikh obolochek peremennoi tolshchiny i obolochek podkreplennykh rebrami zhestkosti slozhnogo ochertaniia [A sequential approach to constructing models of thermoelastic systems in the form of shallow shells of variable thickness and shells supported with ribs of complex shape]. Saratovsk. politekh. in-t- Saratov, 1982. 23 p. Rukopis' deponirovannaia v VINITI 28.12.82., no. 6449-82.

14. Zhilin P.A. Osesimmetrichnaia deformatsiia tsilindricheskoi obolochki, podkreplennoi shpangoutami [Axisymmetric deformation of a cylindrical shell, supported by frames]. Izvestia Akademii Nauk SSSR. MTT, no. 5, 1966, p. 139-142.

15. Zhilin P.A. Obshchaia teoriia rebristykh obolochek. Prochnost' gidroturbin [General theory of ribbed shells. The strength of turbines]. Tr. TsKTI, 1968, vol. 8, pp. 46-70.

16. Karpov V.V., Sal'nikov A.Iu. Variatsionnyi metod vyvoda nelineinykh uravnenii dvizheniia pologikh rebristykh obolochek [Variational method output nonlinear equations of motion of shallow ribbed shells]. Vestnik grazhdanskikh inzhenerov, 2008, no. 4 (17), pp. 121-124.

17. Il'in V.P., Karpov V.V. Ustoichivost' rebristykh obolochek pri bol'shikh peremesheniiakh. [Stability of ribbed shells under large displacements.]. Leningrad, Stroiizdat. Leningr. otdelenie, 1986,168 p.

18. Belostochny G.N., Myltcina O.A. Uravneniia termouprugosti kompozitsii iz obolochek vrashcheniia [Thermoelasticity equations of shells compositions]. Vestnik Saratovskogo tekhnicheskogo universiteta, g. Saratov, izdatel'stvo Saratovskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet, 2011, vol. 4, no. 1, pp. 56-64.

19. Onanov G.G. Uravneniia s singuliarnymi koeffitsientami tipa del'ta - funktsii i ee proizvodnykh. [Equations with singular coefficients type of Delta - function and its derivatives.] Doklady akademii nauk SSSR, 1970, vol. 191, no. 5. pp. 997-1000.

20. Belostochny G.N., Gushchin B.A. Sekventsial'nyi podkhod k integrirovaniiu lineinogo differentsial'nogo uravneniia [A Sequential approach to the integration of linear differential equations]. Mezhvuz. nauch. sb. «Prikladnaia teorii uprugosti», izd-vo Sarat. polit. Inst, 1989. pp. 92-99.

21. Belostochny G.N. Analiticheskie metody opredeleniia zamknutykh integralov singuliarnykh different-sial'nykh uravnenii termouprugosti geometricheski nereguliarnykh obolochek [Analytical methods for the determination of closed integrals of singular differential equations of thermoelasticity, geometrically irregular shells]. Doklady akademii voennykh nauk. 1999, no. 1. pp. 14-26.

22. Il'iushin A.A. Zakon ploskikh sechenii v aerodinamiki bol'shikh sverkhzvukovykh skorostei [Law of plane sections in aerodynamics of high supersonic velocity]. Prikladnaia matematika i mekhanika, no. 6, 1956, pp. 733-755.

23. Abramovich G.N. Prikladnaia gazovaia dinamika [Applied gas dynamics]. Moscow, Izd-vo «Nauka», Glavn. redaktsiia fiz.-mat. Lit., 1976. 888 p.

24. Antosik P., Mikusinskii Ia., Sikorskii R. Teoriia obobshchennykh funktsii (Sekventsial'nyi podkhod). [Theory of generalized functions (Sequential approach)] M.: Mir, 1976. 311 p.

25. Vladimirov V.S. Obobshchennye funktsii v matematicheskoi fizike. [Generalized functions in mathematical physics]. Moscow, Izd-vo «Nauka», Glavn. redaktsiia fiz.-mat. lit., 1976. 280 p.

26. Gel'fand I.M., Shilov G.E. Obobshchennye funktsii i deistviia nad nimi. [Generalized functions and operations over them]. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1959. 470 p.

27. Kantorovich L.V., Krylov V.I. Priblizhennye metody vysshego analiza [Approximate methods of higher analysis]. Leningrad, Moscow, Gos. izd-vo tekhn. teoretich literatury, 1949. 695 p.

28. Pratusevich Ia.A. Variatsionnye metody v stroitel'noi mekhanike [Variational methods in structural mechanics]. Leningrad, Moscow, OGIZ, Gos. izd-vo tekhn. teoretich literatury, 1948, 400 p.

29. Rektoris K. Variatsionnye metody v matematicheskoi fizike i tekhnike. [Variational methods in mathematical physics and engineering]. Moscow, Mir, 1985. 589 p.

30. Vol'mir A.S. Ustoichivost' deformiruemykh sistem. [Stability of deformable systems]. Moscow, Nauka, 1967, 984 p.

31. Belostochny G.N., Rassudov V.M. Termouprugie sistemy tipa «plastinka-rebra» v sverkhzvukovom po-toke gaza [Thermoelastic system of type "plate-ribs" in a supersonic gas flow]. Prikladnaia teoriia uprugosti. Mezhvuzovskii nauchnyi sbornik. Saratovsk. politekh. in-t., 1983, pp. 114-121.

32. Egorov K.V. Osnovy teorii avtomaticheskogo regulirovaniia. [Fundamentals of the theory of automatic control]. Moscow, Energiia, 1967, 648 p.