CC BY
31
gral Equations. Boca Raton ; London, Chapman and the material parameters of Rivlin's hyperelasticity using Hall/CRC Press, 2008, 1544 p. tension-torsion tests. Acta Mechanica, 2001, vol. 148,
26. Hartman S. Numerical studies on the identification of pp. 129-155.
УДК 539.3
КОЛЕБАНИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ВНЕЗАПНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
О. А. Мыльцина1, Е. Н. Савина2, Г. Н. Белосточный3
1 Ассистент кафедры теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
2Ведущий документовед деканата механико-математического факультета, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
3Доктор технических наук, профессор кафедры математической теории упругости и биомеханики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
На основании замкнутых интегралов начально-краевых задач несвязной термоупругости пологих оболочек проводится количественный анализ влияния параметров, характеризующих геометрию оболочки, на колебания оболочек постоянного кручения и цилиндрической, обусловленные тепловым ударом со стороны одной из основных поверхностей.
Ключевые слова: пологие оболочки, кривизна, кручение, термоупругость, тепловой удар.
В рамках модели типа Лява рассматриваются прямоугольные в плане пологие оболочки (постоянного кручения и цилиндрическая) с основными поверхностями и краями, теплоизолированными до определенного момента времени (t = 0), начиная с которого происходит мгновенное нарушение термоизоляции по всей внешней поверхности оболочки.
На основании замкнутых интегралов нестационарной термоупругости пологих оболочек определяется их динамическая реакция на мгновенное тепловое воздействие в зависимости от параметров, характеризующих геометрию оболочки.
Температурное поле 0(r, t) — при сделанных выше предположениях — будет функцией двух переменных [1-4] — пространственной z и временной t координат. Рассмотрим начально-краевую задачу теплопроводности (в силу пологости оболочек кривизна в уравнениях теплопроводности не учитывается)
ed2© = de
dz2 dt '
de de
t = 0, e = 6>o; z = h/2, A— = q; z = -h/2, — = 0. (2)
dz dz
Решение задачи (1), (2) с помощью преобразований Лапласа либо методом суперпозиции одинарного тригонометрического ряда с переменными коэффициентами и многочлена, учитывающего характер неоднородности начальных и краевых условий (2), запишется в виде
, qh i ßt 1 /z\2 1 z 1 kn e(kn)2t ( kn knz\\ л ...
e(z't) = + 5 (h) + 2 h - 24 - 2£ (/ST ( ' ) ' C04T + —]J + *>■ (3)
Здесь q — тепловой поток постоянной интенсивности, h — толщина, A — коэффициент теплопроводности, в — коэффициент температуропроводности.
Решение несвязной динамической термоупругости пологих оболочек в компонентах поля перемещений U(u, v, w) с учетом структуры температурного поля (3) сводится к интегрированию неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных [5-6]:
1 - V 1 + V Yh
U,11 +--— u,22 +--— V,12 -[(kl + Vk2)w],i -(1 - V)(ki2w),2 = — U,tt ,
2 2 gB
1 + v 1 - v y h
—— U,12 +V,22 +--— V,11 -[(k2 + Vh1)w],2 -(1 - V)(h12w),1 = — V,tt ,
2 2 gB
( Мыльцина О. А., Савина Е. Н., Белосточный Г. Н., 2014
227
12 12
V2V2w + — (kl + 2vkik2 + + 2(1 - v)k22) w - ^ (ki + vk2) u,i - (4)
-h2 (k2 + vki) v,2 -12(^2 v) ki2 (u,2 +v,i) = -a(1 + v)h2(ki + k2)0o(t) - gYzDw,tt,
где v — коэффициент Пуассона, ki, k2, ki2 — соответственно кривизны и кручение оболочки, 7 — удельный вес, g — интенсивность поля тяжести, a — коэффициент линейного расширения материала,
_^ Eh3 „ Eh ^ . , Г2 ^ , ,
D = Щ-г) ■ B = V2, 00(t) = J 2 еммх
1. В случае оболочки постоянного кручения (ki =0, k2 = 0, ki2 = const) будем предполагать, что она бесконечна вдоль координатной прямой Ox, края, расположенные по прямым y = 0, y = b шарнирно закреплены, т. е.
du d2 w < \
— - 2ki2w = 0, w = 0, —T = -Ф(^), (5)
dy dy2
в начальный момент времени (t = 0) термоупругая система находится в покое
U = 0, if? = 0- (6)
Здесь
®(t) = 1+vf (1 + 48 £ ß„e-e(*
V k
Решение системы (4) при сделанных предположениях с помощью подстановки
дФ 1 - ^д2Ф д2Ф
и = (1 - ") дУ; ™ = — ^ - ^В^2 (7)
сведем к интегрированию одного дифференциального уравнения шестого порядка относительно функции перемещений Ф(у,£):
1 - V оЕ д6Ф Е д6Ф 1 - V д4Ф д2Ф 7^ д4Ф
' + о а..2ф2 - 2(1 - V)^12-т - =0. (8)
2 ду6 В ду4д^2 2 ду2д^2 ' ' д£2 уВ д£4 Краевые и начальные условия (5), (6) перепишутся через функцию Ф(у,£) при у = 0, у = Ь в виде
д!Ф = 0 д!Ф = 0 - Yh д4ф = -ф() (9)
9t2 = 0' дУ2 = 0' "dy4 - gBdyw =- (t); (9)
при t = 0 в виде
дФ = д2Ф= 1 - V д2Ф 7^д2Ф= 1 - V д3Ф 7^ д3Ф= (10)
"ду = 0' = 0' 2 ду2-ОВ'дг2 = 0' 2 ду2д^ -= 0' ( )
Решение неоднородной краевой задачи (8), (9) будем разыскивать методом суперпозиции одинарного тригонометрического ряда с переменными по временной координате коэффициентами и многочлена, учитывающего характер неоднородности краевых условий (9):
—- Ф«<У4 - 2ЬУ3 ■ Ь3"
К
Ф(у, t) = £ Фк(t) sin - 12(1 - v) Ф^)(y4 - 2by3 + b3y), (11)
где коэффициенты ряда ФК (£) являются решениями обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений:
ФГ > (.)+ А ФкК'' ^ Т ФК (.) =
228 Научный отдел
1 + Ve „„vJ gB, , 2 a (Ц2в2
k
^2 + ак h (kn)4 ^ (12)
2 Ah4 V 1 - v л V V h2
Здесь введены обозначения
A' = (KT (h)2 + 2(1 - v)(*12»)2 + ^(Kn)2,
1 (Kn)4 /h\2 2 Л 2(1 - cosKn)
A 2 = ак --Г + 4(ki2 b)2 + (Kn)2 , ак =
1 - v 6 \b J Г K (Kn)
Определяя стандартным образом фундаментальную систему функций (t) для однородного дифференциального уравнения, соответствующего (12), запишем его общий интеграл в виде
„ ^ ^ 3 - J ^ 2t
Фк (t) = DK1 cos CKt + DK2 sin CKt + DK3 cos CKt + DK4 sin CKt + AkKh3e Vh/ , (13)
k
где
Ск = у ;gh2 dK' dK =
Ai -,/A' - (1 - v)h2 (Kn)6
2(1 - v2) \ 1 V 1 v ' 6b2
ck v Yh2dK' dK = h
2(1 - v2)
A' ^A1 + (! - v)
Окончательно выражение для функции относительного прогиба Ш(у,£) = эд(у,£)/Ь оболочки, испытывающей термодинамический удар, примет вид
Ш(у,£) = -(Кп)2 Ек1 № (*) + £ Аке-в(*^ ^ I ^^ +
£(Kn)2f¿ DK№ (t) + £ AÍKke-e(*)2t h3) sin Kp
K \l=1 k /
+(1 - v2)h2 E IE DkidKi№(t) - h3a2 E(kn)4AÍKke-e(-)2A sin
к м=1 k /
- V2)Е (^Е Екг^кг(*) - Ьз «* Е(^п^Аккв"^-; "I в1п +
*(') ((у )4 - 2 (у )3+у) - ((у )2 - (14)
где Екг — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (10), предварительно переписанных через функцию Фк(£) (ввиду громоздкости не выписываются);
в / 7 даЬ
а = ** = —,
AKk =
2-í h (kn)4ek BKk
a«kn)8 + T-V2(kn)4a? (i)4 + J—f (f)10 (4—=3)2' BKk = A2 + (kn)4.
2. Уравнения динамической термоупругости (4) цилиндрической оболочки (kT = 0, kT2 = 0, k2 = const) при тех же предположениях преобразуются к виду
32v 3w 7h 32v 34w B 2 Bdv , \BB . . 7h 32w
- k2 ^ = gB, + Dk2w - k2Ddy = "a(1 + v)Dk200(t) - gD (15)
и подстановкой
v = k дФ w = - (16)
dy2 gB dt2
5
h
1
b
1
система (15) сводится к одному неоднородному дифференциальному уравнению в частных производных шестого порядка:
д6 Ф д6 Ф
"ду6 - дВ ду4д^2 + ^ ду2д^2 Б'ь2 уВ д^2 уВ у Я д^4
д4Ф В 2 7Л д2 Ф д4 Ф
тт к
В
= -а(1 + V во (*).
Я
(17)
Краевые и начальные условия перепишутся через функцию перемещений при у = 0, у = Ь в виде д2 Ф д2Ф оВ д4 Ф тЛ д4Ф
= #(1 + -)ав0Ю. ^ = (1 + ->ав- 0Вду5д?2 = (18)
при £ = 0 в виде дФ
д2 ф
ду ' дуд£
д2Ф д2Ф
=0
д3 Ф 7^ д3Ф
= 0.
(19)
ду2 уВ д£2 ' ду2д£ уВ д£3
Решение уравнения (17), тождественно удовлетворяющее всем краевым условиям (18), будем разыскивать в виде
Кпу
Ф(у ,*) = £ Фк(*) В1п - Ф(*)/(у) + #(1 + V)аво(*)/''(у)+
к
+ уВ^2(1 + V)а [
7Л 7о
г / гг
в0(г)^ ^ ,
оо
(20)
где #2 = т", во(£) = V^ + ^о. к2 Л Л2
Функция относительного прогиба термоупругой системы на основании аналогичных преобразований запишется:
Кпу
Ж(у,*) = (Кп)2 £ Ск № (*) + £ ^) М 81п
к
,1 = 1
к
+(1 - V2) Е (Е ¿КСк!№(*) - Л2^ Е(кп)4Якке-в(*В1п
К \!=1 к /
3^ 2\ 7 /7у V 0( у Л3 , у А Ь + ((у л2 у
Ь
Кпу
_Ь-
+
+
(1 - ✓) уЕ адц ^ - Ч ^ + ^ - ю - Ь
(21)
На рис. 1 и рис. 2 приводятся графики функций относительного прогиба (14) и (21) при у = Ь/2 на двух временных интервалах с момента термодинамического удара.
Во всех случаях отмечаются следующие закономерности:
1) параметр кручения к12 существенно влияет на момент времени возникновения наибольшего прогиба (рис. 1, а; кривым 1-6 соответствуют параметры кручения к12, равные 0, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05). При прочих равных условиях наибольший прогиб раньше возникает у пластинки (к12 = 0);
2) в случае цилиндрической оболочки (рис. 1, б; кривым 1-4 соответствуют кривизны к2, равные 0.01, 0.02, 0.03, 0.04.) время наступления наибольшего прогиба менее чувствительно к параметру кривизны к2, а временной интервал максимальных прогибов значительно меньше временного интервала для оболочки постоянного кручения;
0.01
-0.01 -0.02 -0.03
0.04
0.04
-0.005
-0.010
-0.015
а б
Рис. 1. Прогиб Ш(Ь/2, заданный формулой (14): а - для оболочки постоянного кручения, б — для
цилиндрической оболочки
3) с увеличением значений параметров к12 и к2 динамические прогибы оболочек при «замороженном» моменте времени значительно убывают (на рис. 2, а кривым 1-5 соответствуют параметры кручения к12, равные 0, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04; на рис. 2, б кривым 1-5 соответствуют кривизны к2, равные 0.001, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04). Величина максимального прогиба оболочек мало чувствительна к кривизне и кручению на временном отрезке [0; 0.05] при той же тенденции к убыванию;
0.02 0.01
0.01 0.02 0.03
0.10
W 0.005
-0.005
-0.010
-0.015
а б
Рис. 2. Прогиб Ш(Ь/2, заданный формулой (21): а - для оболочки постоянного кручения, б — для
цилиндрической оболочки
4) при прочих равных условиях значение динамического прогиба цилиндрической оболочки во всех случаях практически в два раза меньше прогиба оболочки постоянного кручения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00644-а).
Библиографический список
1. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1968. 520 с.
2. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев : Наук. думка, 1970. 303 с.
3. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Колебания термоупругой изотропной системы пластинка - ребра, подверженной тепловому удару / Саратовский политехнический институт. Деп. в ВИНИТИ № 87-82, 1981. 11 с.
4. Мыльцина О. А., Белосточный Г. Н. Динамика поверхности прогиба ребристой пластинки при мгновен-
ном воздействии температуры со стороны окружающей среды // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред : материалы XIX междунар. симпозиума им. А. Г. Горшкова : в 2 т. М. : ООО «ТР-принт», 2013. Т. 1. С. 167-170.
5. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. Киев : Наук. думка, 1978. 343 с.
6. Рассудов В. М., Красюков В. П., Панкратов Н. Д. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1973. 154 с.
Oscillations of Shallow Shells at abrupt Influence of Thermal Flow
O. A. Myltcina, E. N. Savina, G. N. Belostochny
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected], [email protected], [email protected]
t
On the basis of the closed integrals of the initial and boundary problems for incoherent thermoelastisity of shallow shells the quantitative analysis of influence of the geometrical parameters on the oscillations of constant rotation and cylindrical shells, which are conditioned by the thermal shock to outbound surface of shallow shell are carried out.
Key words: shallow shells, rotation, curvature, thermoelasticity, thermal shock.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-08-00644-a). References
1. Ogibalov P. M., Gribanov V. F. Termoustojchivost' 2. Kovalenko A. D. Osnovy termouprugosti [Fundamen-plastin i obolochek [Thermostability of plates and shells]. tals of thermoelasticity]. Kiev, Naukova Dumka, 1970, Moscow, Moscow Univ. Press, 1968, 520 p. (in Russian). 303 p. (in Russian).
3. Belostochny G. N., Rassudov V. M. Kolebanija ter-mouprugoj izotropnoj sistemy plastinka - rebra, podver-zhennoj teplovomu udaru [Oscillations of the thermo-elastic isotropic system of plate-rib subjected to thermal bump]. Dep. in VINITI. № 87-82, 1981, 11 p. (in Russian)
4. Mylcina O. A., Belostochny G. N. Dinamika poverkhnosti progiba rebristoi plastinki pri mgnovennom vozdeistvii temperatury so storony okruzhaiushchei sredy [Dynamics of the surface of bending of the ribbed plate under instantaneous temperature bump from the environment]. Dinamicheskie i tekhnologicheskie problemy mekhaniki konstruktsii i sploshnykh sred : materialy XIX mezhdunarodnogo simpoziuma
im. A. G. Gorshkova : v 2 t. [Dynamic and technological problems of mechanics of continuum and structures : XX International symposium dedicated to Anatoly G. Gorshkov : in 2 vol.]. Moscow, OOO «TR-print», 2013, vol. 1. pp. 167-170 (in Russian).
5. Podstrigach Ia. S., Shvets R. N. Termouprugost' tonkikh obolochek [Thermoelasticity of thin shells]. Kiev, Naukova Dumka, 1978, 343 p. (in Russian).
6. Rassudov V. M., Krasiukov V. P., Pankratov N. D. Nekotorye zadachi termouprugosti plastinok i pologikh obolochek [Some problems of thermoelasticity of plates and sloping shells]. Saratov, Saratov Univ Press, 1973, 154 p. (in Russian).
