CC BY
27
УДК 539.3
Г.Н. Белосточный, О.А. Мыльцина УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ КОМПОЗИЦИЙ ИЗ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
В рамках модели типа Рейсснера рассматривается сложная оболочка из трех и четырёх элементов: конус, тор или сфера, цилиндр, сфера - гладко сопряженных между собой. Вводится в рассмотрение обобщенный вектор положения любой точки срединной поверхности композиции, что позволяет предельно стандартизировать процедуры определения компонент метрического тензора срединной поверхности композиции и главных кривизн. Уравнения динамической термоупругости при условии чувствительности толщины композиции к нагреву получены из интегрального вариационного принципа Гамильтона. Уравнения для температурных функций записываются для случая конвективного теплообмена композиции с рабочей средой через основные поверхности.
Термоупругость, оболочка, сингулярный
G.N. Belostochny, O.A. Mylcina THERMOELASTICITY EQUATIONS OF SHELL COMPOSITION
The complex shell consisting of three smoothly conjugated parts: cone, torus or sphere, cylinder is considered in terms of the Reissner model. A generalized location vector of any point of the median surface composition is examined. This allows determination of components of covariant metrical tensor of median surface of the composition and main curvatures. Equations of dynamic thermoelasticity assumed that the sensitivity of the thickness of the composition to the heating is derived from the integral variation Hamilton principle. Equations for temperature functions were written for the cases of convectional heat exchange between the composition and the working surface through main surfaces.
'rhermoelasticity, shell, singular
І. Поле перемещений композиции с термочувствительной толщиной.
Рассмотрим нагретую до температуры 0(а а а t) композицию, стандартным образом отнесенную к триортогональным координатам. Раскрывая ковариантные производные в выражении для тензора Грина
e = — (Vu. + V jui +ViukV uk) r ® rj, (1)
2 ] ^ ] k где Vi - ковариантные производные ковариантных и контравариантных компонент поля перемеще-
ний U (u1, u2, u3)
r в r
U = Up ,--------- = Uв ^— , (2)
p I pp 1
'8^ л!8рр зз
8вв, 8рр - компоненты основного и взаимного метрических тензоров, 8зз = 833 = 1, и оставляя только нелинейные члены У;и3У .и3, получим связь между компонентами тензора Грина и полем перемещений. В дальнейшем понадобятся компоненты ец3, (ц = 1, 2, 3), вид которых запишется
_ 1 2
ез3 = и3,3 + 2 и3,3 , (3)
el 3 —
l3 2
U ,3 - ^ + JU3L (1 - U3,3)
(4)
V l мои у
В формулах (4) Я1 - радиусы главных кривизн поверхностей, параллельных срединной поверхности
композиции (СПК), I = 1,2.
Уравнения состояния сплошной среды, с учетом гипотезы Неймана, запишем в виде
= {с1}ккекк - Сав)81] +(1 - 8.. )е1]С,
'20(1 -V) ^ ,
-----------= С,,, при I = 1 = к; /гч
1 - 2у (5)
20у г . .
------= С12, при I = 1 Ф к.
Д - 2v 12
Здесь 5у - символы Кронекера, V - коэффициент Пуассона, а - коэффициент относительного линей-
г 20 г Е
ного расширения материала, С =----------, О
C
i jkk
1 -v 2 (1 + v)
Из соотношений (3) и (4) на основании уравнений состояния (5) и предположений [1, 2, 3]: e33 = а0, 7l3 = f (z) % (otос11) (z = 0) получим
u3 = w(0іа21)-(1 + є)z-e^0dz , (б)
и1 ’3 —= 2тт/(х) -
2 + £ + еав
Я, г,
14
в
в
+
г,
2£ +1
Ж*-
а
]0нйг.
(7)
Здесь w - прогиб СПК, £ - знаковое число, равно «+1» или «-1», в,, - компоненты метрического тен-
г
зора СПК, Я, - радиусы главных кривизн СПК, г, = 1 +----.
Полагая температуру линейной (при отсутствии внутренних источников тепла) по толщине
1 2 (IV Н2 г2
композиции & = 0р (а1а21 )| — I , (р = 0,1), функцию / ( г) возьмем в виде [3] / (г ) =---------,
р IНу 8 2
получим из (7) при
V Я, У
<< 1, выражения для тангенциальных компонент поля перемещений
и1 и01 (а а I) + в
Н1 Н1 2 1 3
—г +--------г —г
4 8Я, 3
12 Я,
+
+
/ / \\ £авл
(2 + £(1 +аво ))г~^2Н~
V
3Я,г у
ад,
+
0,1
24в,
(2£ +1)
3Я,г' у
+
(9)
ад, . /
+ ^_ц (2£ +1)
Тв; бн
3
г --
Отметим, что в случае геометрически линейной модели знаковое число £ следует положить равным «-1» и в формулах (9) убрать слагаемые, содержащие произведения w,, 0р (р = 0,1).
2. Обобщенный вектор положения любой точки СПК, компоненты ковариантного метрического тензора и главные кривизны.
Рассмотрим композицию из трех оболочек, в которой коническая и цилиндрическая радиуса Я гладко сопряжены через элемент в виде тора радиуса г (рис. 1, 2)
Рис. 1
X- X . _
1 1 уЛр 1 ! / \ К 1
О
Рис. 2
1
4
г
1
1
2
2
г
г
1
(11)
Точки системы отсчета {^^’^з^ идентифицируются стандартным образом посредством параметров[4]
а1 = х, а1 = fi, аъ = г, (10)
что позволяет записать обобщенный вектор положения r ( х, fi) любой точки в виде
r (x, fi) = cos fiх sin / + (R - r + r cosx- xsin/H + [R - (R - r + r cosX)]H2)£ +
+ sinfix sin / + (R - r + r cosx- x sin/)H1 + [R - (R - r + r cosX)]H2 )%2 +
+ ( x cos/ + (x1cos/+ r sin/- r sin X- x cos/)H1 + + (x-x2 + x1cos/+ rsin/-x1cos/-rsin/ + rsinX)H2)£3.
( x — x)
Здесь обозначено X = —2------, H = H (x - xl) - обобщенные функции Хевисайда, неопределен-
r
ные, но ограниченные в точках xi,
x1sin/ = R - r + rcos/. (12)
При этом не исключается возможность сопряжения через сферу радиуса цилиндрической оболочки. Для этого достаточно положить r = R.
Отметим, что коэффициенты при функциях Хевисайда в (11) обращаются в ноль вместе со своими первыми производными в точках x = xi.
Обозначим компоненты основного метрического тензора СПК:
G11 = r 1 1 G22 = r,2-Г?2 , G12 = f п-Г,2 = 0,
где индекс «1» соответствует «x», «2» - «fi», тогда
у]022 = xsin/ + (R - r + rcosX- xsin/)H1 + [R -(R - r + rcosx)]H2. (13)
Вектор единичной нормали ез в любой точке к СПК запишется _ r „ X r,
е = ——
е3 “
: - cos fi(cos / + (cos X - cos /)H1 + (1 - cos /)H2 )%1 -
’22
(14)
- sinficos/ + (cosx- cos/)H1 +(1 - cos/)H2)i;2 +
+ (sin / + (sinX - sin /)H1 + (0 - sinx)H2)%3 Главные кривизны k1 и k2 определим, исходя из необходимого и достаточного условия [4]:
de3 = -kdr , (15)
где dr идет по одному из главных направлений, как решение алгебраического уравнения
G22k - (G22 r ,11 + r ,22 )- е3 + (r ,11-е3 )(r ,22-е3 ) = 0 .
Выражения для главных кривизн СПК на основании решения алгебраического уравнения и ряда преобразований примут вид
k1 =~( H1 - H 2 ) , k2 =----+ “-----------------H1 +
r xtg/
R - r + r cosx xtg/) ^ R R - r + r cosx
H2. (16)
)
3. Уравнения термоупругости композиции выведены из интегрального вариационного принципа Гамильтона и в компонентах поля перемещений (и = и01, V = и02, w) запишутся
Вестник СГТУ. 2011. № 4 (59). Выпуск 1
G
и’П +_ \ 9 9
2CU \ x sin2y
1 1 H1 + 1 1
F2 (x) x2 sin2 y R2 F2 (x) J
H2 u ,22 +
+ | —12 + . G
1
C11 2C11 J\xsiny
sin X 1
F (x) x siny
1 1
H1 + R F (x)
hX,„-C2
2/ ’12 C—1\ x cosy
+
F2 (x) x2siny
H1 - T4x) H2/v’2 ^ r (^(x - xl )-^(x - x2 )) +
C-2
Г sinx cosxsinX'
rF (x) F2 (x)
H-
2 x2tgy
)w + (-- ( h- - H 2)+C2-
xtgy
(17)
+
( і I Г і
cos X - 1 H + — - °os X
F (x) xtgy J 1 ^ R F (x)
H
)w,i=а|1+C^ Ieo>i+
к2
+—а 24
©0>.l. + | C-2 +^~
C1— C1— J\ x sin2y
- 2 C-2(
1
C1— \ x sin2y
sin x 1 F5 (x) - x sin2 y
F2 (x) x2sin2y
H— -^XH2 )0,
H1 +
R2 F2 (x)
H2 /Є0>122
F5 (x)"21 on2
P Pk n
+--------u,„------------аЄп.
C
24C
C12 G I G 1
T7" + ^~ lu,21 ^^\_ + C11 2C11 J C11 \x
sin X 1
F (x) x
H— - sinXн^u,2+/—1— +
22
F (x) / \x siny
1
1
F (x) xsiny
H— +
1 1
R F(x)
G
H2 V22 +-(x siny+[F(x) - xsinyjH, +
2C
+ [R - F(x)]H^v,,, +(—^ + | cosX
xtgy V F (x) xtgy
C 1
+ -—2-(H- H 2) )w,2 = а
C—i r
Г C I
1+C^ C
V Cii J
к2
eo,2 + 24 а
1
22 x sin y
R F (x)
1 1
F 2( x) x2sin2y
H— +
R2 F 2( x)
H2 /Є0,222 +
Г Cn+G'
V C—i C—i j
sin X
F (x)
H2 /Є0,12
e -G/—+
e0,112 ^ \ +
C11 \ x |+-^ v,„-Pk- «е0,2й ,
sin X 1
F(x) x
H i+
C
24
C„ 1
- (H, - H 2 ) + -r C—i xtgy
ГcosX - 1 |н + Г.1 - cosXі
F (x) xtgy J 1 I R F (x)
H2 )u>1 +
(18)
cosy
+( 2 ■ 2-----+
\x siny
cos X cosy
Л
H1 -
1 cos X
F2(x) x2sin2y I |R2 F2(x) I C1— rF(x)
H 2 + Cl[ H— - H 2 j) v,2 +
+ ( ~ ( H1 - H 2 ) + ~ ~ +
\r2 x2tg y
cos X 1
H1 +
Г 1 cos2 x'
F2 (x) Xtg y I 1 V R2 F2 (x)
H2 +
+2[H— - H2Л w - AG( w,ii - Y—,1 +
Cii rF(x)
R2 F2(x)
H
12 C,,
1
x siny
22 x sin y
F2 (x) x2sin2y
H1 +
F(x) xsiny I |R F(x)
H
Y2’2 I
=а
Г C I
l + Ь2
C
V C11 J
/-(H— - н2)+—+1cos-X ——IH—+1- - cos-X'
\r xtgy I F(x) xtgy I I R F(x)
H 2 Єо +
q p
kC—i C—i
480C,,
а
ei’11t + \ 2 • 2 \x sin2y
A
1
1
Л
F2 (x) x 2sin2y
H1 +
R2 F2(x)
H2 )ei’22t
1
1
1
1
+
1
1
+
+
1
1
1
1
1
+
+
+
1
1
+
(
(
1
1
1
1
1
1
+
(
1
1
+
Yvn +
G
1
2С1Д x sin /
- +
F2 (x) x2sin2/
+
Q2 G
Л
+
C 2C
V C11 2C11)
1
+
\x sin/
H1 +
H1 +
11
R2 F2 (x)
H2 / Y1,22 +
F(x) xsin/) I R F(x)
11
H 2 / Y2’12
C
12
1
2Cn \x sin/
+
sin x
F2 (x) x2 sin/
H
sin x 5 G
F%x)H V Y2'2 + h2 C1(^ -Y) =
= - 401 6>1,111 +
C -2 C12
Cv + G ^ C11 Cn)
22 x sin /
+
F2 (x) x2 sin2 /
R2 F2 (x)
2/1 ’122
Cn \ x3 sin2 /
+
f
sin x - 1
F3 (x) x3sin2/
H1 -^Д-H2 в
F3 (x)“ 2/ 1
C ^ 1 + C12 C
V C11)
ал P
Тв11+тгУуп-
h Cn
(20)
ha,
C12 G
+ -
C 2C
VCn 2Cn)
+
1
x sin/
Y1,12 -
+
G1
— +
2Cn \ x
sin X 1 F (x) x
F (x)
F (x) x sin/
H1 +
11
R F (x)
H2 / Y2^2 +
G
+ ^\x sin/+ [ F ( x )- x sin/] H1 + [ R - F ( x )] H 2/Y2,11 +
+
2C
A G h c
(w,2-^xsin/ + [F(x)- xsin/]H1 + [R - F(x)]H^ y2 ) =
1
40 \ \ x2 sin2 /
+
F2 (x) x2sin2/
H1 +
R2 F2(x)
H2 /в1,222 +
r Cn+G ^
V C11 C11)
-1+
Cn\x
+ P(xsin/+ [F(x)- xsin/]H1 + [R - F(x)]H2) Y2,tt.
sin x 1 F (x) x
2 1 12
C
1 + C^ C
V C11)
ae +
“T61,2 + h
C
(21)
в -
1,112
_ w,i h
Здесь Yi ^ 5G ^ - обобщенные углы поворота, F (x) = R - r + r cos X.
Температурные функции вр , (p = 0,1) в уравнениях системы (17)-(21) предварительно определяются путем интегрирования системы уравнений, следующих из преобразованного уравнения
теплопроводности, которое при
V Ri)
<< 1 запишется [5]
]■' (1 + 2Л' ) ■+ ( ■М-3 ) С1.°22 + ■С11С22 (*1 + *-'2 )= Ср0н022в„ ,
V )
где к = 1,2 и к Ф I.
На основании стандартных преобразований уравнения для функций 0Р примут вид
(
(
\
1
1
(
(
1
1
1
1
1
1
1
Г
1
1
1
1
1
1
2
СРР
— Ооч _О0П1 +2( _ +
Л
І
чіп X _ 1 ¥ (х) х
я,-¥=х н \ *,+
2 • 2 . X чіП2 у
1 1 1 \
ях + я 2 1
2 • 2 х чіп2 у Я2 ¥2(х)
Л-^^0 + 6-(я, _ я 2 )о„п _ И (я, _ я 2 )о1П +
Ли 6 г 3 г¥ (х)
И / соч у
+ -\ 1---------^т~ +
6 \ X чіп у
соч X сочу
¥3 (X) X чіп3 у
я, +
1 соч X
Я3 ¥3(х)
я2 )0’22
2ЛИ
-о, _
_ 1(—+ И\хХ%у
1 + соч X 1
г ¥ (х) хtgу
я1 +
VГ ¥(х)у
я 2) 0=Л (К'Т '+" ^ •
— (я. _ я2)0.„ -h^nL(я 1 _ я2>3,.. +2*{
г г¥ ( х) '
сочу
3 • 3
х чіп у
соч X сочу
¥3 (х) х3чіп3у
я1 +
1 соч X
Я3 ¥3(х)
' 1
я2 ) О0>22 +2\ _ +
_0 _ °1’11
22
х чіп у
¥2 (х) х2 чіп2 у
чіп X _ 1 ¥ (х) х
я1 +
яx_чn-X я 2 О +6
1 ¥ (х) 2/ 11 2 ЛИ
К_К3о+СЧ_
1
1
Я2 ¥2(х)
я2 )01>22 +3-
00+12 0=
= —(к+Т + -к Т-).
ЛкУ !
Здесь обозначено: Т+, Т- - температуры сред, омывающих внешнюю и внутреннюю поверхности композиции, к+, к- - коэффициенты теплоотдачи основных поверхностей, р - плотность, ■ - коэффициент теплопроводности, Ср - теплоемкость при постоянном напряжении.
Рис. 3
В случае композиции из четырех элементов (конус - сфера - цилиндр - сфера), изображенной на рис. 3, целесообразно изменить параметризацию СПК и рассмотреть г как функцию переменных
О и (р = $, где 0 - угол между векторами (_ £3) и вспомогательным вектором р с началом в центре сферы - второго элемента композиции - и связанным с вектором г(0, р) равенством
Я ___
г (3,р) = ----£ +р(3,р).
чіп у
Обобщенный вектор положения любой точки срединной поверхности композиции из четырёх элементов запишется
1
1
+
2
+
+
х
1
+
R sin в ctgy sin(^ -у-в)
+
R
Siny
R cose
R sine ctgy
sin(^ - у - в)
Hi (e-ei) +
R
Sin у
+ Rctg (п - в)-
R
- R cos в sin у yy
H (в - в2 ) +
+
R
sin у
+ R sin(2e - п) ctg (п - в) -
A
R
sin у
+ Rctg (п - в) IH (в - вз) +
+
R sin в
(
sin(п - у - в)
+
R sin в -
R
sin(п - у - в)
H (в-в1) +
+ (R - R sin в)Н (в - в2 )+(R sin(2в - п) - R )Н (в-в3)) x1 ,
где 0 = ^2-у, 0 и = Хг.[£0£ + £ 0^2] .
Определяя стандартным образом компоненты метрического тензора и главные кривизны СПК, запишем выражения для них
1 Г 1 ^
' Н (0-0) +
Gu - (r ,i )2 = R:
-+
sin (п-у-в) t sin (п-у-в)
+
1
Л
sin4(п-в)
-1
Н (в-в2) +
G22 -(r ,2 )2 = R:
У
sin2 в
4--
1
Л
sin4(п-в)
sin (п-у-в)
+
sin в-
sin в
Н (в-в3)
Л
sin (п-у-в)
Н (в-в1) +
+ (1 - sin2 в)Н(в - в2) + (sin2(2в - п)- 1)н(в-в3)
, G12 - Г1 ■ Г2 = 0-
к = ( R - о J н (в-в1)+^ о - R ун (в-в2)+^ R - о J н (в-вз) k = cos у sin(п - у - в) + Г - cos у sin^ - у - в) ЛН (в-в) +
2 R sin в t R R sin в У 1
+[ R_ R УН (в-в2)+[ R_ R ]Н (в-вз)-
Вопрос алгебраических операций с коэффициентами при обобщенных функциях Хевисайда является самостоятельным и в этой работе не обсуждается.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белосточный Г.Н. Основные уравнения несвязанной термоупругости оболочек с термочувствительной толщиной / Г.Н. Белосточный, И.В. Шкабров // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: избр. докл. 4 Междунар. симпозиума. М.: Изд-во МАИ, 1998. С. 65-69
2. Галфаян П.О. Решение одной смешанной задачи теории упругости для прямоугольника / П.О. Галфаян // Известия АН Арм.ССР. 1964. Т. XVII. № 1. С. 39-61.
3. Амбарцумян С. Л. Теория анизотропных пластин / С. Л. Амбарцумян. М.: Наука, 1967. 266 с.
4. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве / П.А. Жилин. СПб.: Нестор, 2001. 275 с.
5. Коваленко А. Д. Основы термоупругости / А. Д. Коваленко. Киев: Наукова думка, 1970. 303 с.
Белосточный Григорий Николаевич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Математическая теория упругости
Grigory N. Belostochny -
Dr. Sc., Professor
Department of Mathematical Theory
и биомеханика» Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
Мыльцина Ольга Анатольевна -
магистр Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
of Elasticity and Biomechanics,
Yu. Gagarin Saratov State Technical University
Olga A. Mylcina -
Postgraduate
Chernyshevsky Saratov State University
Статья поступила в редакцию 19.10.11, принята к опубликованию 15.11.11
