CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Т о м XX
1989
№ 3
УДК 624.073.042.5
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
С. Н. Иванов, И. Н. Молчанов, А. Ю. Незлина
Предлагается методика расчета упругопластических деформаций плоских элементов конструкций, построенная на основе деформационной теории пластичности, метода конечных элементов и квазиньютоновского метода решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Методика иллюстрируется на примере решения задачи о деформировании неравномерно нагретого элемента конструкции.
Довольно распространенный инженерный подход к численному решению физически нелинейных задач прочности заключается в том, что программно реализуется некоторый метод решения и проводится экспериментальная проверка его сходимости на модельных примерах. Иногда для целей проверки используется метод пробных функций. Затем разработанные программы применяются для решения определенного класса задач. При этом в большинстве случаев отсутствуют теоретические оценки качества разработанных алгоритмов.
В данном случае рассматривается достаточно широкий класс задач — задачи определения плоского напряженного состояния при неоднородном температурном поле с учетом пластических деформаций. Особенность предлагаемого подхода в том, что как постановка, так и процесс решения задачи удовлетворяют условиям теорем, доказанных в работе [1], обеспечивающих существование и единственность решения.
Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния пластины, неравномерно нагретой в своей плоскости, поведение материала которой описывается с помощью деформационной теории пластичности. Пусть пластина переменной толщины б (х, у) (х, у —система координат в ее срединной плоскости) имеет произвольную форму в плане и распределение температур в ней задается функцией
Используем то, что для нелинейно упругого .тела в состоянии равновесия полная энергия
имеет минимальное значение [2], в последней формуле П— потенциал работы деформации, £2 — область, в которой решается задача, А — работа внешних сил, йУ — элементарный объем. Для упрочняющихся материалов потенциал деформации выражается следующим образом:
Нх, у).
(О
о
*
п = г/+|г(Г)мг,
где £/=-^—_3 аЬу _ уПругая энергия объемного сжатия, которую мы будем Ок
полагать равной нулю, что справедливо для несжимаемых материалов, 0 — изменение температуры в точке, Г — интенсивность деформаций сдвига, определяемая формулой Г = 7^2ецец, еу — компоненты девиатора деформации, ^(Г) —функция связи интенсивности деформаций сдвига и интенсивности касательных напряжений Т;
§(Г) = ^-.
В общем' случае функция £(Г) получается путем обработки результатов опыта чистого сдвига, в частности, может быть использована полигональная и сплайновая аппроксимация. Если использовать соотношение
^(Г) = £+^1-|т, (2)
то выражение для полной энергии (1) после интегрирования получается в следующем виде
Э =
причем интенсивность деформаций сдвига для плоского напряженного состояния приводится к выражению
Г — 2|/" з а2 дг — Зав (ел + е22),
где ец — компоненты тензора деформаций.
Принимая, что деформации связаны с перемещениями и, V обычными соотношениями
ди
Еп = аЗс’£22
_ ди „ _ 1 /ди . дь\ ду ’ 12 2 дх] ’
можно записать полную энергию следующим образом;
^1 [ди скЛ3 [ди\2 /ду\2 ди дю
+ + (д1) + (ду) +дхду +3“2 02 -
„ „ ди пду
~дх ду
] 5 (*.
у) йхйу + .
■>т+1
Ст(т + 1)
1 /ди
2 V дУ
ди у /ди)* /дгЛ2 ди ду „ пди
+ д*)+(д;с) +(ау) +5*57 +За 62-3“0д^_3ае х
ду 1^±1 Х ду I 2 ь(х. У) <1хйУ — А-
(3>
Согласно [2] действительная форма равновесия- тела, материал которого описывается с помощью деформационной теории пластичности, отличается от всех возможных форм тем, что сообщает функционалу (3) минимальное значение. Итак, возникла задача нахождения минимума интеграла полной энергии при граничных условиях, накладываемых на перемещения пластинки в определенных точках. При решении ее методом конечного элемента используем элементы прямоугольной формы. В качестве
а 20
базисных выберем кусочно-билинейные функции С неизвестными перемещениями И; , V* в узлах так, что внутри элементов перемещения аппроксимируются соотношениями
и = ах -)- а2 х + а3 у + а4 ху,
V = аъ + я6 .* + а7 у + а8 ху,
где величина а^ выражается через узловые перемещения и1?, Vі?.
В работе [1] показано, что для сформулированной вариационной задачи существует единственное решение, к которому сходится минимизирующая последовательность, построенная по методу конечных элементов. Алгоритм поиска минимума включает построение системы нелинейных алгебраических уравнений с помощью МКЭ относительно неизвестных и*, і/* с симметричной положительно определенной матрицей и решение этой системы, которое может быть получено с помощью квазиньютоновс-кого метода [3]. Идея этого метода состоит в следующем. Пусть система представлена в виде
0(у) = 0,
0г.(;Уь Уг...Уп) = 0, г = 1 п.
Тогда при достаточно хорошем приближении у0 = (у® • • • > у®) строится последо-вательность
у*+1 = у* — £ = 0,1...,
где Мь — некоторая аппроксимадия матрицы Якоби:
дОі дв1 дві
дуі ду2 ' * ~дуп
дві да2
ду! дуг дУп
дОп дО„ дОп
дуі ду2 дУп
Напомним, что в методе Ньютона Мк = 01(ук). Поскольку вычисление О1 (ук) и обращение Ми на каждом шаге итерационного процесса весьма трудоемкая операция, то в квазиньютоновском методе проводится обращение (прямым методом) только Мо некоторого начального приближения к матрице Якоби системы, а на последующих шагах матрица М^1, &= 1, 2... определяется лишь путем модификации Матрица отличается от М^}.\ только на матрицу ранга два; вид формул модификации зависит от того, является ли матрица Якоби положительно определенной или нет. В нашем случае матрица является положительно определенной из условия минимальности функционала энергии в состоянии равновесия. Надо отметить, что Мо необязательно совпадает с О1 (у), М0 может быть матрицей Якоби, вычисленной для некоторого у, отличного от начального приближения г/° [3]. Это дает возможность принимать в качестве начального приближения решение упругой задачи. При необходимости рассмотрения нестационарного процесса на каждом шаге по времени за начальную может приниматься матрица, найденная на предыдущем этапе.
После определения перемещений в узлах каждого элемента и затем деформаций напряжения в элементах определяются по формулам
°п = 2 £ (2 £ц —1— е22 — 3 а0),
°22 — 2 ^ (єц + 2 є22 ~ 3 аб), а12 — 2 й’Єіз-
В качестве примера рассмотрим задачу определения напряженно-деформйрован-ного состояния неравномерно нагретого участка конструкции, представляющего собой две обшивки с продольными элементами, опертые по поперечным краям на ребра, допускающие проскальзывание. Геометрические размеры конструкции показаны на рис. 1, там же даны направления осей координат. Будем считать, что кривая деформирования конструкционного материала может быть представлена с помощью выражения (2), в котором т—0,7, С—50. Она соответствует кривой деформирования материала 12Х18Н10Т при нормальной температуре. Предел пропорциональности материала Оцц=21 даН/мм2, предел текучести Стог = 32,5 даН/мм2. На краях конструкция нагружена растягивающими усилиями N1 = 8,6-104 даН/м в направлении х и N2 = =2,4-М4 даН/м в направлении у'. Условия сопряжения обшивки и полок таковы, что полки воспринимают усилия N1 и Л^2. Тепловое воздействие одинаково сверху и снизу. Выделим повторяющийся участок (заштрихован на рис. 1). Для удобства развернем этот участок в плоскую фигуру, показанную на рис. 2, там же приведено распределение температур по участку. Градиенты температур в направлении у обусловлены наличием продольных элементов, в направлении х — наличием поперечных ребер. На линиях соединения плоских элементов и на границе области должны выполняться следующие условия:
граница СС закреплена от перемещений в направлении у\
%,!сс =
Рис. 2
10 даН/пглг
Рис. 3
У Рис. 4
на границе ЕЕ' задана распределенная по узлам нагрузка 0,5 N2, все узлы имеют одинаковые перемещения по оси у,
граница ABCDE закреплена от перемещений в направлении х:
Ч/ ABCDE = 0\
на границе A'B'C'D'E' задана распределенная по узлам нагрузка, соответствующая Ni, все узлы имеют одинаковые пермещения по оси х\ на линии АА' все узлы имеют одинаковые перемещения по оси у.
Таким образом, для расчета упруго-пластического состояния конструкции необходимо найти минимум функционала (3) на множестве функций, удовлетворяющих перечисленным выше граничным условиям. Решение проводилось на сетке 5x17 элементов на ЭВМ ЕС-1060 с двойным машинным словом. Критерием окончания итерационного процесса служило условие;
V"(uf — И*-1)2 + (vf — V*~~1)3 < S
для всех ». Итерационный процесс оканчивался при е=10~5. Решение данной задачи потребовало 21 итерацию и проводилось 10 минут.
На рис. 3 показано распределение напряжений ау в обшивке, полученное в результате проведенных расчетов. Напряжения положительны во всех точках, это обусловлено значительными деформациями конструкции в результате действия растягивающих внешних нагрузок. Неравномерность по длине объясняется снижением температуры на краях, при этом в обшивке °у/^_о даН/мм2, ayjX=Li2~5 даН/мм2. Таким образом, напряжения ау на краях несколько выше предела пропорциональности. На участке, подкрепленном полкой продольного элемента, напряжения ниже и не превышают 14 даН/мм2. Неравномерность температур в направлении у слабо сказывается на напряжениях ау. Так, отличие напряжений ау в элементах обшивки вблизи линий ЕЕ' и DD' не превышает 5%.
На рис. 4 представлена эпюра напряжений ах в среднем сечении (x=L/2). Здесь также сказывается влияние общего растяжения, вызывающего напряжения «=33 даН/мм2. Неравномерность напряжений определяется перепадом температур в сечении. Стенка продольного элемента менее нагрета и догружается температурными напряжениями так, что суммарная величина напряжений в ней оказывается равной ~37 даН/мм2. В обшивке температурное поле вызывает сжатие, поэтому напряжения в ней значительно ниже ~13 даН/мм2 вблизи линии DD'. Они постепенно растут при приближении к оси СС' и на этой оси оказываются примерно равными 0ПЦ. В стенке ABC напряжения -превышают апц везде и а0г в значительной части сечения. Неравномерность напряжений по оси х для стенки невелика, их разница составляет ~4,5%, для обшивки она равна ~20%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Незлина А. Ю. Сходимость метода конечных элементов при решении нелинейных краевых задач. — ДАН УССР, 1983, № 7.
2. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, Т. 1. — /Под ред. И. А. Биргера, Я. И. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968.
3. Strang G. The quasi-newton method in finite element calculations. — Computational Meahod in nonlinier Mechanics. — North — Holland Publishing Company, 1980.
Рукопись поступила 28jIII 1986 г.
