CC BY
91
УДК 539.3
В.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц., (4872) 39-25-63, katranv@,yandex .щ (Россия, Тула, ТулГУ),
Д.С. Читинский, асп., (4872) 45-70-46, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
А.А. Петров, асп., (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ТОНКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ
Предложена математическая модель расчета изгиба тонких прямоугольных пластин, выполненных изразносооротивляющихся материалов, свойства которых зависят от изменений температуры. Получены разрешающие уравнения и числовой вывод методом упру их решений.
Клюевые слова: изгиб пластин, метод упругих решений, математическое моделирование процесса имиба.
За сорок лет интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность их механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество определяющих соотношений раносопротивляющихся сред, базирующихся на различных технических гипотезах. Однако, несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теории деформирования разносопро-тивляющихся сред, совершенно недостаточно внимания уделено зависимости от вида напряженного состояния такой характеристики материла, как коэффициент линейного температурного расширения, и, вообще, разномодульной теории упругости. Между тем в работах П.Е. Харта [1] было показано, что для некоторых марок графита коэффициенты линейного температурного расширения могут различаться на 100 и более процентов в зависимости от вида реализованного напряженного состояния.
В работе Н.М. Матченко и А.А. Трещева [2] в рамках закона теплопроводности Фурье и классических условий динамического равновесия получены основные дифференциальные уравнения разномодульной теории термоупругости: уравнение теплопроводности, включающее в связанном случае учет влияния вида напряженного состояния, и уравнения динамического равновесия. Также в этой работе решены следующие задачи термоупругости: о плоском деформированном состоянии полого разномодульного цилиндра пи нестационарных термосиловых воздействия, об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии полого разномодульного цилиндра пи стационарных термосиловых воздействия.
С использованием аналогичной методики в данной работе получены разрешающие уравнения для решения связанной задачи о расчете плос-
конапряженного состояния прямоугольных пластин из материалов с усложненными свойствами в условия термомеханического нагружения.
Уравнения состояния термоупругого изотропного рано сопротивляющегося материла представлены формулами
2 г 2,
е] — 2 ¿2^] + 2 ( - ¿2 )5] + 3 Ь 2§у- 0 ° + Тц; Ь = ((п^ + $1 2 )с + ьг111'с +
т--1
И]
3
йТ’
2Ьз^(1 + 0,5ц2) + — (¿4^2 +1,5^2Ё5,) - ¿'5'п3сов3 ф
1
+ -3
£
2 {(4^ + ¿5 ^сов3ф)-(Ьз^2 + ¿4 ц2 )-Ь?5 (з -ц£,2 )собЗ ф + 3 ^2 ¿5ц
1 ^¿(1^] + ] 2 )0° ,
а5;> +
]
<% +
(1)
которые можно получить, применив операции дифференцирования по
аг
] аг,-,- Ь- ат формулам 7 и 07 к термодинамическому потенциалу Гиббса
Г — Г(<5] Т) [2], здесь е] - деформации; а, - напряжения; ¿1, - кон-
станты потенциала [2]; а, - нормированные напряжения; соБЗф - фазовый инвариант; ц и £, - некоторые гармонические функции, которые можно трактовать как нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; Ь - плотность энтропии; Г - потенциал Гиббса; т - температура тела.
Обращая для выражений деформаций (1) линейные члены уравнений, получим
а] = ( + Д2)е] - 3Д2е5] - Д30°5] - Н], (2)
где е — 3(еп + е22 + езз ); а] = (А + Д )] -3^е5 5 - /^0 ° 5;] - Ну;
д =_________±1+_= (^~--~2 ). Щ =_С_= .
1 (-С)( + 2С) Ъ1Ъ2 ’ 2 (-С)( + 2С) 2)^2 ’
°3 — = 2^2/9*,; Н] = ( +02)),-02Т5,,.; Т — Т]51) ;
— 0,5(а+ + а-); В( — 0,5(а+ -а-);а+, а- - коэффициенты линейного теплового расширения в продольном направлении, полученные при растяжении (+ и при сжатии опытных образцов соответственно.
115
аг
Рассматривая плоское напряженное состояние с параметрами а33 — Г13 — а23 =0, из формулы (2) можно выразить деформации е^, е23
и е33:
23
e33 = ~(—33 +0° D3D2—11 + e22)) e13 = ~—e23 = “ „
Di Di +Ü2 Di + D2
(3)
(4)
Таким образом, можно получить математические зависимости для любой поверхности пластины в виде:
а11 = —D1 + D2)e11 ~D2 e11 +e22 +~^~(— 33 + 0 D3 + D2—11 + e22 ))
V D1 У
-D3 -—11;
а22 = —D1 + D2)e22 ~D2 e11 + e22 + (—33 + 0 D3 + D2(e11 + e22))
-£>3 -— 22; а12 = —D1 +D2 )e22 ~—12-Для этой же поверхности имеют место гипотезы: Кирхгофа в форме
eij = S/j' + Х3 Xuj ; ^—', j +uj ,i } X/j =~w>ij • (5)
Учитывая записанное выше, можно перейти к определениям усили в срединной поверхности по формулам
h/2 h/2
Nj = Kj^; Mij = \vijx3dx3- (6)
-h/2 -h/2
Для этих усили имеем уравнения статики (с учетом продольных усилий в срединой плоскости):
N11,1 +N12,2 = 0; N12,1 + N22,2 = 0; M11,11 +2M12,12 +M22,22 =“^ — 1x 2 ) -N 1w ,11 ~N 1w ,12 - 2w ,22- (7) Для температуры: имеется уравнение притока тепа в форме [2]
-C^j -(3A,а,, + B,S,, ) + U = 0- (8)
Это уравнение следует переписать в перемещенях с учетом отсутствия локальных источников тепа U :
а = Si/а,-,-; 5* 3 и и
aij aij
5ij = aij Sijа; 1
5о
2 2 c а i 5
а +1; *=v "=v 50 = VT
y 3 ;
^2 +л2 =1,
где 5 - вектор полного напряжения.
Подставляя уравнение (6) в (7) и учитывая (2) - (5) можно получить замкнутую систему уравнений равновесия пластины прямоугольной формы в перемещения. Полученные уравнения равновесия и уравнение приток тепла образуют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих плосконапряженное состояние прямоугольных пластин в условия термомеханического нагружения.
В связи с громоздкостью получаемых уравнений в общем виде на практике вывод разрешающих уравнений целесообразно осуществлять для конккетной задачи путем использования системы аналитических расчетов MAPLE 11 (Maplesoft, Waterloo Inc., Canada), используя конкретные значения параметров и констант.
Для демонстрации возможностей предлагаемой математической модели решалась следующа задача: дана квадратна пластина толщиной h = 4 мм, со стороной l = 100 мм, материа графит АРВ [2], жестко защемлена по контуру. Пластина нагружаась равномерно распределенной нагрузкой q =10 кПа, также осуществлялся нагрев поверхности пластины
с перепадом температур 40 С. Начальные температурные условия принимались следующие: 0|t=0 =50°C на нижней поверхности пластины;
©|*=0 =10 ° C - на верхней поверхности пластины, начаьна температура
T =0 ° C
пластины 0 “ . Механические характеристики графита: модуль упру-
гости E +=104 МПа; E+/E~ = 0,8; коэффициент Пуассона v+=0,2;
_ 3
v =0,3; плотность р = 1700 кг/м ; коэффициенты линейного теплового
расширения а+ = а_ = 4,0 -10 _6К _; коэффициент теплопроводности
^ = 150 Вт/(м-К); теплоемкость материала при постоянном напряжении
[2] Са = 500 Дж/(кг -К).
После выполненных преобраований с учетом исходных данных, укаанных выше, рарешающая система дифференциаьных уравнений в частных производных приобрела (в левой части выделены линейные компоненты, а в правой нелинейные) следующий вид:
^2 ^2
19,93-106—-«1 (1,—,t) +12,52 -106-----«2 ( ,X ,t) +
dxi 8x18x2
+ 7,404 -106«1 (-1,-2 ,t)= g ( ,- ,- ,t), xx22
а2 ^2
7,404 -106 ——U2 (xl5Х2,t) +12,52 -106------ц (л ,- ,t) +
a2 a1a-2
6 a
+ 19,93-10 — U2(x1,x2,t)= g (- ,-2 ,X ,t),
5x2
a4 / \ a4 / \
26,57 —4w^t,t) + 53,14—2—^w(( t >t) +
a-1 a-1 a-2
a4
+ 26,57 — w(-1,^2,t) + <? =g3 (-1,-2,-3,t),
Xx2
a2 a 2
150—2 0° (x3,t )-0,8424—0 0 (x3 ,t )-841,8 -Ю6^- u1 (x1,x2 ,t )-
a-32 at a-1at
2
-841,8'106adtu2(x1 t’t) = g (-,-2 ,x ,t)•
(10)
где w(-1,-2,t) - функция вертикального прогиба; U1 (-1,-2,t) - перемещения в срединной плоскости вдоль оси -1; U2(-1,x2,t) - перемещения в срединной плоскости вдоль оси x2; 0° (-3,t) - функция температуры; функции gi (-1,-2,-3,t) (i =1.4) - компоненты: разрешающей системы:
уравнений, содержащие в себе нелинейные компоненты:, в частности, функции Hi j(-1,-2,-3,t), подлежащие численному определению.
Рарешающие уравнения (10) с начальными и граничными условиями [2] представлены: в форме, где всенелинейные члены: выписаны: в правых частях. Эта форма удобна для применения метода «упругих решений». Решение системы: дифференциаьных уравнений осуществлялось в математическом пакете MATLAB 7 (MathWorks Inc., USA), с помощью которого на каждой итерации по методу «упругих решений» искаось частное решение системы: (10).
В процессе решения прослеживался процесс влияния температуры: на механические характеристики материаов и напряженного состояния на распределение температуры: по толщине пластинки, рассчитываось распределение температуры: по толщине пластинки, характеристики ее напряженно-деформированного состояния с учетом температурного воздействия.
На рис. 1 приведены: вьиисленные значения температурньк напряжений а0 для тонкой квадратной пластины: вдоль ее диагонаи, соответственно сверху и снизу для связанной и несвязанной задач термоупругости.
Результаты расчета напряжений подтверждают гипотезу о том, что совместный учет взаимовлияния напряженного состояния и коэффициентов линейного температурного расширения является существенным для точности и достоверности результатов численного моделирования задач по определению напряженно-деформированного состояния пластин. Разница между решениями связанной и несвязанной задач достигает 15 %.
Рис. 1. Расгредепениетемператуных напряжений ад вдоль диагонали
пластины I для связанной (кривые а,г - соответственно верхняя и нижняя поверхности) и несвязанной (кривые б,в-соответственно нижняя и верхняя поверхности) задач термоупуугости
На рис. 2 показано распределение прогибов м тонкой пластины вдоль ее диагонали.
к.м 10а
о
•I .2 -3 -4 -5 -6 -7 -*
-9 •10
О 2 4 6 8 10 12 /,иЮ -'
Рис. 2. Результаты расчета вертикальных прогибов пластины м пуиуазичных вида нагрузки вдоль диагонали пластины: а - температурная; б - механическая; в - температурная и механическая
Из графика можно сделать вывод, что учет совместного термосилового нагружения значительно влияет на результаты расчетов, позволяя получить более точное соответствие теории и эксперименту [1, 2]. На рис. 3 показано распределение температуры по толщине пластины.
г.т
45 40
35 30 25 20 15 10
Рис. 3. Распределение температуры T по толщине h в центре плана пластиныг
Проведенные расчеты четко указывают на нелинейных характер деформирования конструкций из материалов с усложненными свойствами, а также подчеркивают важность решения задач термоупругости в связанной постановке, что позволяет добиться более точных и реалистичных результатов моделирования по сравнению с уже известными способами решения подобных задач.
Список литературы
1. Hart P.E. The affect of pre-stressing on the thermal expansion and Young’s modulus of graphite // Carbon. 1972. Vol. 107. P. 233-236.
2. Теория деформирования раносопротивляющихся материаов. Прикладные задачи теории упругости / Н.М. Матченко [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 211 с.
V. Telichko, D. Chiginskiy, A. Petrov
Solving the problem on the bending thick rectangular plates from different resistant materials in a thermo mechanical breakdown
A mathematical model for calculating the bending of thin rectangular plates made of different resistant materials whose properties are for-hang of the changes in temperature in proposed. Obtained the equation and numerical conclusion method of elastic solutions.
Получено 19.01.09
16 24 32 h. к I04
