CC BY
45
ческих анизотропных материалов // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 1. С. 89-95.
2. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.
S.S. Yakovlev, V.I. Platonov
THE POWER CIRCUMSTANCES OF THE REVERSE DRAWING PROCESSING OF AXISYMMETRIC DETAILS WITH FLANGE FROM CRYSTALLINE ANISOTROPIC MATERIALS
The theoretical investigations results of the power circumstances of the axisymmetric details with flange reverse drawing processing from transverse-isotropic materials are provided. The influence of the technological parameters on the material’s flow cinematics, detail’s stressed and deformed states, power circumstances of reverse drawing operation was established.
Key words: reverse drawing, anisotropy, die, punch,force, deformation, stress.
УДК 593.3
A.A. Трещев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, [email protected],
B.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц., (4872) 39-25-63, [email protected],
Н.В. Васильев, асп., (4872) 35-54-58, с 1 [email protected]
(Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГИБКИХ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Рассмотрено моделирование напряженно-деформированного состояния гибких слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов. Получены результаты расчета модельных задач по определению напряженно-деформированного состояния слоистых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов.
Ключевые слова: пластина, анизотропия, напряженно-деформированное состояние, разносопротивляемостъ, большие прогибы
Рассмотрим упругое равновесие прямоугольной трехслойной пластины, отнесенной к декартовой системе координат (рис. 1). Внешние слои пластины одинаковы по своим свойствам, при этом в произвольной точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симметрии параллельна средин-
ной плоскости, а остальные две перпендикулярны к координатным линиям jq = const, х-2 - const. Примем, что пластина нагружена нормально приложенной равномерно распределенной нагрузкой q. Вертикальную ось направим вниз.
При решении поставленной задачи для всего пакета слоев в целом введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы [1]:
1) нормальное к срединной плоскости перемещение не зависит от координаты х3 (ез = 0);
2) нормаль к срединной плоскости после деформации поворачивается на угол \|/1 относительно оси х\ и на \|/2 относительно оси х2 \
3) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений <73 пренебрегаем.
Деформированное состояние пластин определим компонентами перемещений точек срединной поверхности И], и2, Из = и-. Тогда компоненты тензора деформаций выразятся через параметры деформации 8у и кривизны Ха срединной поверхности (/, /' =1,2) согласно общим формулам и
Представления параметров деформации и кривизны зависят от вида ортогональной системы координат и степени геометрической нелинейности задачи.
Рассмотрим геометрически нелинейную задачу изгиба слоистой пластины в декартовой системе координат при величинах максимальных прогибов порядка толщины этой пластины. Таким образом, точность рассматриваемой теории ограничим рамками геометрических соотношений Т. Кармана [1,2]. Применительно к конкретным условиям задачи деформации и кривизны срединной поверхности запишем следующим образом:
Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез представим
в виде
Рис. 1. Схема пластины
eij =£у + хгЦ •
еп - иы+-(w,l)2 - 21 е22 - и2»2*^2)2 - *3У1»2>
712 = иЪ2+и2Л+Л^Л ^2_хз(¥ы+¥2’2)’ У13=^2+н;’Ь 723 = VI + ™»2 •
Проведя испытание стандартных образцов ортотропного материала на одноосное растяжение и сжатие поочередно вдоль материальных осей Х\ , Х-2 , Л'З И под углом 45° к ним, можно получить
Лкккк -(1/Ек *1/Ек )/2; ВШк -(1/Ек -1/Е- V2;
% --(V*/Е+ + V-/Е-)!2хВщ1 - -(V */Е* -V-/Е -)/2;
47,7 - (1/Е* * 1/Е- ) - 0,25[(1/Е* * 1/Е* *
*
*
чч
ч
ч
+1/Е- +1/Е- - 2^* /Е, * V-/Е- )];
В;,-;,- -л/2(1/Е* -1/Е-) - 0,125Т2[(1/Е,* +1/Е* -1/Е- -
1/Е-) -4^*; /Е, -VI; /Е-)],
где Е~} , У/у - модули упругости и коэффициенты поперечной деформации
в направлениях соответствующих главных осей анизотропии; - модули
деформации в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии (в общем случае число независимых констант равно 42).
Для конкретизации структурной анизотропии материала пластин примем ортотропное тело [1]. Общие уравнения упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала примем в виде
0 0 0 0
С\2\2.
Отделяя в физических уравнениях (1) линейную часть от квазилинейной, получаем
е11 спп С1122 0 0
е22 С\\22 С2222 0 0
е13 > = 0 0 С1313 0
е23 0 0 0 С2323
е12. 0 0 0 0
°22
• < т13
т23
^12.
(1)
\\
е22
е13 > =
е23
Л2,
4ш
41122 0
0
0
41122
42222
0
0
0
0
0
41313
0
0
0
0
0
42323
0
0 0 0 0
4212.
°п' ти
°22 Т22
• < *13 >+■ Ъ
т23 Т23
.*12, Тп.
где Ту - параметры, определяемые по следующим формулам:
Тц ВЦЦ* ВИИ Ц ^Ц; О', 7 1’2; ; Ф 7 );
Т,- - Вуу^\[2.иТ,-; (;, у - 1,2; ; ф у ).
Перепишем относительно напряжений для каждого слоя
°(/) - ^) (и,*1(^)2 - *3 Vу>,) + Я#) (иу,у+2(^-)2 - *3 V,>у) - 4^;
-С*) _ п(5)
'/3
7
(^ .
/3 .
Т(/) - ^6б [и, »-+и- », *w’, w’--х3 (¥, „■ +¥->-)]- 4*);
Я» - А, •Г,, * % • ; % - ^66 • Т{/ ; ^,3 - Вкк • Г,3 •
(номер слоя для простоты опущен, у = 1,2,3; к = М-3; г фу).
Уравнения равновесия прямоугольной пластины в ортогональной системе координат представим следующим образом:
ЫИ ч + Му»у - 0;
ч +бу,у + ^ И *Му,у ^у + ^у ^ ,у + ^уу,у ^уу - -(1;
МИ,,+ М у»у -б,' - 0 •
Внутренние силы и моменты определяют традиционным образом, интегрируя выражения для напряжений по толщине пластины:
Л/2 Л/2 Л/2 Л/2
— ',А^// — |^//^’ 0*к ~ ¡^кг^2’ Му —
-Л/2 -Л/2 -Л/2 -Л/2
В результате
М,, = Кй(и,,, + 1(и>„ )2) + К/(и/,/ + !(«-,/ )2)- //-/;
К66 (и,, у *иу,, * ^^ у ) ;
б, - Ккк (V / * ^, ) - /,3 ; МИ - ^11 'V у,, *"V,, / -•Тц ;
Му - р66 (V,>/ +V/ Н ) - Т,у (;, 7 -1,2?3; ^Ф 7).
Тогда, подставляя полученные соотношения в условия равновесия, получаем систему разрешающих дифференциальных уравнений прямоугольных пластин, составленных из материалов, обладающих двоякой анизотропией:
^Ии,’И*(*^66)иу ’у *^66и,’уу w,;; +Ку'№,/ w,;/ +
* ^ 66 w,; ч>,у * ^ 66 w’ / w’ у/- ч * ^гy ’ /;
(2)
^44(w»;; +¥у,,) + ^55(w’уу ,»у ) +
+ ЩП (Ки (и, + w,; ,, ) + (и- ,у + w,_/ )) +
(2)
РиVу,;;+(ру *Р66^^у*Р66Vу’у/ Ккк(у) ч +Лу ’у ^'3.
(7,у = 1,2,3; **у')
Для полноты системы разрешающих уравнений (2) необходимо задать граничные условия [1,2]:
- свободное опирание
Для решения системы разрешающих дифференциальных уравнений (2) предлагается использовать метод сеток с разностной аппроксимацией повышенной точности в сочетании с двухшаговым методом последовательных возмущений параметров В.В. Петрова, для чего данные уравнения (2) подвергались лианеризации путем формального применения метода последовательных нагружений, традиционно используемого для решения геометрически нелинейных задач [4].
Ввиду симметрии внешней нагрузки можно ограничиться рассмотрением четверти пластинки, а сетку, покрывающую ее план, принять регулярной с постоянным шагом по двум осям. Аппроксимируя производные функций перемещений соответствующими конечными разностями и разрешая лианеризованную систему уравнений, для каждой узловой точки можно получить конечно-разностную запись системы. Сходимость вычислительного процесса оценивается погрешностью определения напряжений на предыдущей итерации, которая принимается равной 0,1 %. Для получения надежных результатов предварительно проводилась оценка размеров шага сетки. Окончательно при расчете пластин с защемленными краями принимаем сетку 15x15, а с подвижными краями - 17x17 узловыми точками (с учетом симметрии задачи). По толщине внешних и внутреннего слоев пластина разбивается соответственно на 9 и 15 точек. Соотношение между толщиной и характерным продольным размером принимается а / И = 8.
Для решения задачи разработан пакет прикладных программ на базе системы МАТЬАВ 9.
и - °; РцV+ рV/ = ¿и; w - 0;
(3)
и, - 0; V, - 0; w - 0.
В рассмотренном варианте пластин из структурно-анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния в соотношениях между напряжениями и деформациями, фигурируют по девять неза-
Е22’ ^12’
висимых констант упругости для каждого слоя Еп, Ei 1, Е+
-11, Е11» Е 22'
^13’ ^23’ У12 ’ v12- Введем безразмерные параметры упругости, в резуль-
тате чего
F+ - F+ / F Е2 - f22/ f11
остается +
восемь независимых
+
Е2 - Е22/ Е11-
G12 — G\2 /Е
констант +
+
Е1 — Е11/ Е11 •
12 / Е11»
G1 з — G13 / Е
+
13/ Е11
+
°2Ъ = °2Ъ1Е\\-
При исследовании напряженно-деформированного состояния пластины рассмотрим задачу изгиба под действием равномерно распределенной нагрузки при различных условиях опирания по контуру. При изменении одного из параметров упругости остальные константы фиксируются.
При решении задач изгиба пластин разносопротивляемость во всех направлениях полагается одинаковой. Жесткость внутреннего слоя принимается в 1,5 раза меньше, чем обкладок.
Для апробации разработанной теории рассмотрим задачу изгиба квадратной пластины из графита АТ7-8, обкладки которой выполнены из стеклопластика [1].
В результате проведенных расчетов авторами получены следующие результаты для трехслойной структурно-анизотропной пластины: распределение прогибов и изгибающих моментов Мц,М22-,М\2 вдоль главных осей анизотропии рассматриваемой пластины, графики зависимости перемещений щ,и2от величин нагрузки. Было проведено сравнение полученных результатов с данными классической теории, причем разница по величинам перемещений составляла для различных величин нагрузки от 5 до 23 %. Для силовых факторов, в том числе моментов, разница колебалась в пределах от 2 до 15 %.
Таким образом, проведенные авторами исследования показали, что влиянием разносопротивляемости при расчете многослойных пластин в условиях больших прогибов на поперечный изгиб пренебрегать нельзя, так как это может привести к значительным погрешностям в определении параметров напряженно-деформированного состояния.
Список литературы
1. Матченко Н.М., Трещев A.A. Теория деформирования разносо-противляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. 211 с.
2. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
3. Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопро-тивляющихся материалов. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2007. 160 с.
4. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: СГУ, 1975. 119 с.
A.A. Treschev, N.V. Vasiliev
SIMULATIONSTRESS-STRAINSTATE FOR FLEXIBLE LAMINATED PLATES OF ANISOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRIC NONLINEARITY
Modeling of stress-strain state of flexible laminated plates of anisotropic different resistant materials. The results of the calculation model problems on the definition of the stress-strain state of layered plates of anisotropic different resistant materials are discussed.
Key words: plate, anisotropy, stress-strain state, different resistant, large deflections
УДК 539.3
A.A. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, [email protected],
B.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-54-58, [email protected], Д.С. Чигинский, асп., (8920) 276-86-72, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Рассматривается возможность использования нормированных пространств напряжений для построения уравнения состояния изотропных существенно нелинейных разносопротивляюгцихся материалов, находягцихся в условиях термомеханического нагружения.
Ключевые слова: термоупругость, разносопротивляемость, нелинейные материалы, разносопротивляющиеся материалы, пластины, термомеханический изгиб.
Методика нормированных пространств, предложенная в работе H. М. Матченко и А. А. Трёщева [1], позволяет получить уравнения состояния для изотропных существенно нелинейных разносопротивляющих-ся материалов, находящихся в условиях термомеханического нагружения. Будем считать, что для пропорционального или близкого к нему нагруже-
