Термоупругий изгиб кольцевых пластин средней толщины из ортотропных разносопротивляющихся материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.384.6

Г.И. Самсоненко, асп., 8-953-422-42-86, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ ИЗ ОРТОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

Рассмотрен термоупругий осесимметричный изгиб кольцевых пластин средней толщины, изготовленных из разносопротивляющихся материалов, обладающих цилиндрической анизотропией. Приведены разрешающие уравнения изгиба и результаты исследования напряженно-деформируемого состояния пластин.

Ключевые слова: разносопротивляемость, термоупругость, анизотропия, пластина.

Рассмотрим осесимметричную задачу об изгибе кольцевой пластины средней толщины, выполненной из анизотропного разносопротивляю-щегося материала. Пластина принимается радиусом г и с отверстием радиусом a, толщина пластины h назначается в пределах (1/5-1/8) г . Пластина работает в условиях загружения поперечной равномерно распределенной нагрузкой q, а также в условиях температурного перепада по ее толщине. Рассматривается несвязанная задача термоупругости, поэтому задача распадается на две независимые задачи теории упругости и термодинамики.

Ввиду осевой симметрии задачи для ее решения удобно воспользоваться цилиндрической системой координат г , в, z, при этом функции, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, будут зависеть только от радиальной координаты г . Ось z направлена перпендикулярно плоскости пластины, координатная плоскость z = 0 совмещена со срединной плоскостью пластины в недеформированном состоянии, радиальная ось г , от которой отсчитывается угол в, располагается произвольно и направлена вдоль соответствующей оси анизотропии.

Для пластинки средней толщины применим гипотезы Тимошенко

[1]:

1) нормальное к срединной плоскости пластины перемещение w (прогиб пластины) не зависит от координаты z (вг = 0);

2) нормаль к срединной плоскости после деформации поворачивается на угол щ относительно оси г и щ в относительно оси в;

3) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений (Гг пренебрегаем.

Используя гипотезы Тимошенко и учитывая, что рассматривается геометрически линейные задачи, в общем случае загружения кольцевой пластины произвольной нагрузкой для перемещений и деформаций получим [2]

иг (^ г) = и(г) + Щв(г); и,(r, г) = w(r); (1)

е = иг + г¥в,; ев = и / г + щ в/ г; г„ = w, +¥в.

Связь напряжений и деформаций с учетом влияния температуры следует принять в виде [2]

°г = Ве + ВГв е в - в гТ - Л ; &в = Вгв ег + Вв е в - в вт - Rв;

т = Вв е - R , ( )

гг г в гг гг '

где В = А в / А; В вв= А / А; В в=-Ав/ А; В = 1/А ; А = А Авв- Ав;

гг вв ~ вв гг ~ гв г в ~ гг гг ~ гг вв г в ~

R = ВТ + В в Т в; R в = В Т + В вТ ; R = С Т ;

г гг гг г в в в ~ в в в в в г в гг ~ гг гг гг ~

Тгг = вакг + вв (аг + аК; Твв = в ве®ве° в + вв (аг + аК;

Т = В 42а т ; в Т = В а АТ + В ва в АТ ; в вт = В ва АТ + В вЙа в АТ;

гг гг гг гг ~ гТ гг г г в в ~ вТ г в г вв в ~

аг и ав - коэффициент линейного расширения материала в направлениях г и 0 ; АТ - разность температур между установившейся и начальной

температурами; / ^о2г + о0 + 2т2гг ; Ау, Ву - константы, подлежащие

определению из экспериментов по деформированию образцов материала (/, у = г, в , г).

Константы в уравнениях (2) следует определять через технические константы по формулам [3]

Агг = (1/Е+ +1/Е- )/2; Вгг = (1/Е+ -1/Е- )/2;

Ав = (1/Е++1/Е-)/2 ; Ввв = (1/Е+-1/Е-)/2;

А^ =-(V+в / Е+ + V- / Е-) /2; В* = -(V + / Е+ - V" / Ев-) /2; (3)

А = (1/Е+ +1/Е-) - 0,25[(1/Е+ +1/Е+ +1/Е~ +1/Е') - 2^+ / Е+ + ^ / Е ~)];

г г г г г г г

В = л/2(1/Е+ -1/Е“)-0,125/2[(1/Е+ +1/Е+ -1/Е' -1/Е')-4(v+ /Е+ -V' /Е)];

г г г г г г г

V + /Еу+ /ЕГ; V- /Е~ = v-< /Е~ (/, у = г, в , г),

где Е~, Е* - модули упругости при растяжении и сжатии вдоль главных

осей анизотропии; V*, V*. - коэффициенты поперечной деформаций при

растяжении и сжатии, соответствующие главным осям анизотропии; ЕУ - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии, /, у = г, в , г.

Условия равновесия принимаются с учетом влияния продольных усилий в виде

Ыг ,г + (Ыг - N в)/г = 0; а, + Qr / г = -Ч; М ,г + (МГ - Мв)/г - Qr = 0, (4)

где Nr, N0 - усилия в радиальном и окружном направлениях;

Mr, M0 - изгибающие моменты; Qr - поперечное усилие.

Приведем напряжения (2) к их интегральным характеристикам по

традиционным формулам [1]:

h/2 h/2 h/2 h/2 h/2

Nr = Jardz; N g = dz; Mr = Jarzdz; M e = jag zdz ; Qr = \frdz, (5)

- h/2 - h/2 - h/2 -h/2 - h/2

тогда получим

Nr = K11Ur + KuU / r -£rT - Irr ; No = Kl2U,r + K 22U / r ~£ OT - 1 вв ;

Mr = P11¥0,r + P12¥в / r - XrT - Jrr ; Mв = P12¥в,r + P22¥в / r - Хет - Jвв ; (6)

Q r = K44 (w,r + ¥в ) - 4 ,

h/2 h/2 h/2

где Kj = Djh; P = Dh /12; Ii} = J Ri}dz ; J = J Rjzdz ; = J ^dz ;

-h/2 - h/2 -h/2

h/2

Хт = f ^zdz; /, j = r, в ,z.

-h/2

Подставляя выражения для усилий и моментов в уравнения равновесия, получим систему трех нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций и , w и ¥в:

U,rr + U,r / r - KeeU / (Krrr 2) = Ir ,r / Krr + (Ir - h ) / (Krrr) + (^rT - ^6T ) ^ (КггГ ) ;

w,rr + ¥в,r + w,r / r + ¥в / r = (-4 + 4 / r + Irz,r ) 1 Krz ;

2 (7)

¥ в, rr + ¥ в, r / r - (Рвв ! Prrr + Krz ! Prr )¥ в - Krzw, r ! Prr =

= (Jr, r - Irz ) / Prr + (Jr - J в ) / Prrr + ( Х rT - Xo T ) / Prrr ■

Для определения температурных компонент в уравнениях (7) следует отдельно рассмотреть задачу о передаче тепла через поверхность пластины. Процесс теплопередачи описывается классическим уравнением теплопроводности, которое для одномерного случая можно записать в виде

T (z)^ = aT (z), zz, (8)

где T(z) - температура по толщине пластины; a = az / c - коэффициент

температуропроводности, характеризирующий теплоинерционные свойства тела; с - удельная объемная теплоемкость тела.

В определенный момент времени, когда будет наблюдаться установившееся температурное распределение по толщине пластины, для вычисления перепада температур A T в любой точке по толщине можно воспользоваться линейным законом распределения температуры:

T(z) = (T -T2)• z /h + (T + T2)/2-T„, (9)

где T - температура на нижней поверхности пластины; T2 - температура

на верхней поверхности пластины; T0 - начальная температура пластины.

Для исследования напряженно-деформированного состояние пластины принимаем следующие исходные данные. Радиус пластины г = 1 м, радиус отверстия a = 0,5 м, толщина пластины h = 0,125 м . Пластина находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 5,0 МПа. Внешний контур пластины жестко закреплен, внутренний контур (отверстие) имеет закрепление в виде скользящей заделки. В начальный момент времени пластина имеет температуру Т0 = 0 °C, и нагревается с двух сторон с некоторым перепадом температуры по границам пластинки. Температурные условия: нижняя поверхность пластины - поддерживается постоянная температура 7 =+50 °C, верхняя поверхность пластины - поддерживается постоянная температура Т2 =+10 °C. Материал, из которого изготовлена пластина, - стеклопластик. Механические характеристики материала [3]: модули упругости Е+ = 140 ГПа ,

Е- = 70 ГПа , Е+ = 280 ГПа , Е- = 140 ГПа , Е+ = 140 ГПа ,

Е- = 70 ГПа , Е+ = 70 ГПа , Е— = 35 ГПа ; коэффициенты Пуассона

у+0 = 0,2, уг0 = 0,3, у+2 = 0,1, \Г2 = 0,15; коэффициенты линейного теп-

± —7 —1 ± —7 —1

лового расширения а г = 35 • 10 С , а0 = 70 • 10 С .

На рис. 1 показана расчетная схема кольцевой пластины.

Рис. 1. Расчетная схема кольцевой пластины

241

Разрешающие уравнения изгиба пластин (7) представлены в форме, где все нелинейные и свободные члены выделены в правую часть уравнения. Эта форма удобна для применения метода «упругих решений» А.А. Ильюшина.

Так как рассматриваемые уравнения неоднородны и достаточно сложны, то для их решения необходимо прибегать к численным методам решения, из которых в данном случае наиболее просто реализуется метод конечных разностей.

Для реализации метода конечных разностей проводится разбиение пластины с постоянным шагом А г на п — 1 участков. Разностные аналоги разрешающих дифференциальных уравнений получаются путем замены производных перемещений аналогичными выражениями в конечных разностях.

На рис. 2, 3 приведены некоторые наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния пластины описанной выше, в момент времени, когда установилось распределение температуры. При этом показаны результаты расчета с применением классического и нелинейного (описанного выше) подходов.

Для удобства анализа на графиках, отображающих НДС пластины, введены следующие условные обозначения:

№Т - результаты расчета, полученные с применением определяющих соотношений (2) с учетом влияния температурного перепада (нелинейная задача термоупругости);

№ - результаты расчета, полученные с применением определяющих соотношений (2) без учета влияния температурного перепада (нелинейная задача упругости);

КеТ - результаты расчета, полученные с применением классических физических соотношений анизотропной термоупругости, при осред-ненных модулях упругости и коэффициентах Пуассона, с учетом влияния температурного перепада (классическая линейная задача термоупругости);

Ке - результаты расчета, полученные с применением классических физических соотношений анизотропной упругости, при осредненных модулях упругости и коэффициентах Пуассона, без учета влияния температурного перепада (классическая линейная задача упругости).

На рис. 2 показано изменение значений вертикального прогиба и горизонтальных перемещений по линии радиуса пластины с учетом использования различных моделей расчета. Проанализировав рис. 2, можно прийти к выводу о достаточно существенном влиянии явления разносо-противляемости на величины прогибов пластины. В частности, разница в результатах по максимальным прогибам для моделей ^ и ^Т составляет 6 %, для моделей Ке и КеТ - 5 %, для моделей ^Т и КеТ - 12 %, для моделей ^ и Ке - 12 %. Учет разносопротивляемости и учет температурного перепада приводит как к качественному, так и количественному измене-

нию графиков горизонтальных перемещений. Так, неучет явления разно-сопротивляемости при решении термомеханической задачи приводит к занижению значений максимальных горизонтальных перемещений на 12 %. При этом неучет явления разносопротивляемости приводит к значительным погрешностям в решении как термомеханической, так и механической задач.

Наиболее очевидное влияние явления разносопротивляемости можно заметить на рис. 3.

ИО 'э *10 '5

3.0

2.5

2.0

1.5

"т4 1,0

=8 4

N>4

N \\

0,0

-0.5

■1,5

\

\ ___ N Ке і I I I И *.1 і / /

\ \

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

г/Я г/Я

Рис. 2. Распределение величин вертикального прогиба w и горизонтальных перемещений и вдоль радиуса пластины:

1.5

1,0

0,5

\ 0,0

01 -0.5 _Сг

^ -1,0 Ь" -1,5 -2,0 -2.5

1 Т 1 2 1

...Ш

Ч4* ->

1 1 ^

7 \ч

\Л\ \\

\ч

2.0

1,5

1,0

"м

то- 0,5 0,0

Л?

-с: -0,5

Ь"

-1,0

-1,5

-2,0

.. ! ! ! -с-! 1 „ - - Ч

0,5 0.5 0,7 0,8 0,9 1,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

г/я г/я

Рис. 3. Распределение напряжений ог и вдоль радиуса пластины на верхней и нижней поверхностях:

Из анализа данных графиков следует заключить, что напряжения являются наиболее чувствительными к виду напряженного состояния, так

как разница между напряжениями, полученными при учете и без учета явления разносопротивляемости, весьма ощутима. Так, разница для разносо-противляющегося стеклопластика по максимальным напряжениям Gr при учете влияния температуры составляет 26 %, без учета влияния температуры - 23 %, для напряжений Gq при учете влияния температуры составляет 22 %, без учета влияния температуры - 21 %.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что учет влияния напряженно-деформированного состояния на работу материала и учет температурного воздействия является необходимым, так как позволяет получить значительно более точные результаты по сравнению с использующимися в настоящее время теориями и методиками.

Список литературы

1. Тимошенко С.П., Войнвский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.

2. Трещев А.А., Самсоненко Г.И. Термоупругий изгиб круглых пластин средней толщины, выполненный из анизотропных разносопротив-ляющихся материалов // Вестник отделения строительных наук РААСН. М.; Орел; Курск: РААСН-Госуниверситет-УНПК-ЮЗГУ. 2011. Вып. 15. С. 141 - 144

3. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.

G.I. Samsonenko, А.А. Treshchev

THERMOELASTIC BEND OF RING PLATES OF THE AVERAGE THICKNESS MADE OF DIFFERENT RESISTANT MATERIALS

The thermoelastic axisymmetric bend of ring plates of the average thickness made of different resistant materials, possessing cylindrical anisotropy is considered. The resolving equations of a bend and results of research of an in tense-deformed condition of plates are resulted.

Key words: different resistance, thermoelasticity, anisotropy, plate.

Получено 13.02.12