CC BY
82
УДК 539.384.6
Г.И. Самсоненко, асп., 8-953-422-42-86, slurm@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОМ ЗАГРУЖЕНИИ
Рассмотрен термоупругий изгиб тонких прямоугольных пластин, изготовленных из разносопротивляющихся материалов, обладающих свойством анизотропии. Приведена система разрешающих уравнения изгиба пластин. Представлены результаты исследования напряженно-деформируемого состояния пластин и выполнен их анализ.
Ключевые слова: разносопротивляемость, термоупругость, анизотропия, пластина.
Рассмотрим упругое равновесие прямоугольной тонкой пластины из анизотропного разносопротивляющегося материала, отнесенной к ортогональной системе координат, толщиной h и размерами в плане а х Ь под действием поперечной равномерно-распределенной нагрузки q и разницы температур по границам пластинки АТ. Положение любой точки определим в ортогональной системе координат хк (к = 1, 2, 3). Плоскость, образованную осями х1 и х2, совместим со срединной поверхностью пластинки в недеформируемом состоянии, а ось х3 ориентируем перпендикулярно данной поверхности в направлении прогибов. Примем, что изменение температуры в пластинке происходит как по ее толщине, так и по направлениям х1 и х2, таким образом, разность температур АТ (х1,х2, х3) является функцией всех координат.
Примем пластинку достаточно тонкой, такой, чтобы можно было считать справедливыми гипотезы Кирхгофа-Лява [1]:
1) поперечные сечения, перпендикулярные к срединной плоскости до деформации, остаются прямолинейными и перпендикулярными к искривленной срединной поверхности после деформации;
2) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений <г33 пренебрегаем.
Геометрические соотношения принимаются в форме уравнений, связывающих компоненты деформаций и кривизны срединной поверхности [2]:
% =е„ + X -X,,. (1)
Для рассматриваемой геометрически линейной задачи кривизны средней поверхности пластин можно представить в виде
2 ■£,, =и,., +Хц =-. (2)
Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы, поэтому условия равновесия примем в классическом виде с учетом влияния продольных усилий [2]:
И11,1 + И 12,2 = 0 ; И 12,1 + И22,2 = 0 ; (3) М 11,11 + 2 - М12,12 + М22,22 = — q( Х1, Х2) — И11 ' ^,11 — 2 - И12 - ^,12 — И22 - ^,22 , где N. - продольные усилия в срединной плоскости; М. - изгибающие
моменты.
Для конкретизации структурной анизотропии материала пластины рассмотрим ортотропное тело.
Перепишем уравнения связи деформаций и напряжений, с учетом температурных компонентов для тонкой пластинки исходя из принятых гипотез Кирхгофа-Лява:
а = Се + Се — в — R ■
^11 С11е11 ^ С12е22 и11Т -4'11 ’
а = С е + С е -в - R • (4)
^ 22 ^12 11 ^22 22 22Т 22 ’ \ ^
Т12 = С6бе12 — R12 . где Сц = А2222 / А ; С22 = ^1111 / А ; С12 = — ^1122 / А ; С66 = 1 / А1212 ;
R11 = С11Т11 + С12Т22 ; R22 = С22Т22 + С12Т11 ; R12 = С66Т12 ;
Т11 = В1111^11°11 + В1122(^11 + ®22)а22 ; Т22 = В1122(^11 + ®22)а11 + В2222^22°22 ;
Т12 = В1212^2®12 - Т12 ; А = А1111 ^2222 — ^1122 ; в11Т = С11ацАТ + С12а22АТ ;
в22Т = С12а11АТ + С22а22АТ; а. - коэффициент линейного расширения материала в направлениях главных осей ортотропии; АТ - разность температур между установившейся и начальной температурами;
= О + О2.. + 2т2 ; А...., В.... - константы, подлежащие определению
и и \ ** }} ч .Ц]
из экспериментов по деформированию образцов материала (,,} = 1,2).
Неизвестные параметры а.. и В. (,,. = 1,2) следует определять через технические константы по формулам [3]
4,„ = (1/Е++1/Е- )/2; Вш = (1/Е+ -1/Е- )/2;
=-/ Е++v-/ е- )/2; =-^,+/ е+ -V-;/ е- кг; (5)
+ / 7^+ + / 7^ +
V;/ =v/ЕГ; V-/Е; = у;/Е
где Е, Е± - модули упругости при растяжении и сжатии вдоль главных осей анизотропии; V*, V“. - коэффициенты поперечной деформаций при растяжении и сжатии, соответствующие главным осям анизотропии; Е. -
модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии, ,,. = 1,2.
Приводя напряжения к их интегральным характеристикам, получим
А3 А3
N11 — С1^и1д + С12^2,2 — £11Т — Л1 ; М11 — —С11 77 ^11 — С12 77 ^22 — Х11Т — ^11 ;
12 Д1 1212 ,2
^22 C12hU1,1 + C22hU2,2 ^22Т ^22’ М22 С12 12 ^,11 С22 12 ^22 ^22Т ^22’ (6)
h3
^12 — С66А(М1,2 + и2,1) ^ 2 — 112 ’ М12 — —'С66 12 ^>12 — ^ 12 ’ h/2 h/2 А/2 А/2
где 1г] — | ;Л— | ]^ ; V— | ;2]— | ]дхз •
-А/2 - А/2 -А/2 -А/2
Подставляя выражения для усилий и моментов (6) в уравнения равновесия (3), получим систему трех нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций и1, и2 и w:
С11и1,11 + 0,5С66и1,22 + (С12 + 0,5С66)и2,12 — (111,1 + 112,2) / А + ^11Т,1 / А ’
С22и2,22 + 0,5С66и2,11 + (С12 + 0,5С66)и1,12 — (122,2 + 112,1) / А + ^22Т,2 / А ’
С11^111 + 2(С12 + C66)W,1122 + С22^2222 — 12q / А + (7) +12[(С11и1,1 +С12и2,2 —^11Г / А)^1 + С66(и1,2 ^+и2,1)^^,12 +(С12и1,1 +С22и2,2 — ^221 / А)^2] / А — 12(I11W>11 + 2112^^,12 + I22W,22) / А 12(^11,11 + ^^12,12 + '^22,22) / А — 120/11Т,11 + ^22Т,22) / А •
Для определения температурных компонент в уравнениях (7) следует отдельно рассмотреть задачу о передаче тепла через поверхность пластины. Процесс теплопередачи описывается классическим уравнением теплопроводности, которое для одномерного случая можно записать в виде
Т (х1, х2, х3)( — аТ (х1, х2, х3)33, (8)
где Т(х1, х2, х3) - температура по толщине пластины; а — а2 / с - коэффициент температуропроводности, характеризирующий теплоинерционные свойства тела; с - удельная объемная теплоемкость тела.
В определенный момент времени, когда будет наблюдаться установившееся температурное распределение по толщине пластины, для вычисления перепада температур А Т в любой точке по толщине можно воспользоваться линейным законом распределения температуры:
Т(£) — (Т - Т2) ■ z / А + (71 + Т2) / 2 - Т„ (9)
где Т - температура на нижней поверхности пластины; Т2 - температура на верхней поверхности пластины; Т0 - начальная температура пластины.
Исследуем напряженно-деформированное состояние прямоугольных пластин размерами 3^2 м и толщиной 0,08 м (см. рис. 1). Пластина находится под действием равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q — 0,2 МПа. Пластина шарнирно оперта по всему внешнему контуру.
В начальный момент времени пластина имеет температуру 7 = О °C, и нагревается с двух сторон с некоторым перепадом температуры по границам пластинки (рис. 1). Температурные условия: нижняя поверхность пластины - поддерживается постоянная температура с распределением по поверхности в виде треугольника, в центре температура 71 = +60 °С, верхняя поверхность пластины - поддерживается постоянная температура Т2 =+10 °С. Материал, из которого изготовлена пластина -стеклопластик. Механические характеристики материала [3]: модули упругости Е+ = 140 ГПа , Ец = 70 ГПа , Е+2 = 280 ГПа , Е^2 = 140 ГПа ,
Е12 = 170 ГПа , Е— = 85 ГПа ; коэффициенты Пуассона у+2 = 0,2 ,
V! 2 = 0,3; коэффициенты линейного теплового расширения
а±1 = 35 .10-7 С-1, а±2 = 70 • 10-7 С-1.
На рис. 1 показана расчетная схема тонкой прямоугольной шарнирно опертой пластины, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и перепадом температур по поверхностям пластины.
Рис. 1. Расчетная схема прямоугольной пластины
Для решения системы уравнений (7) воспользуемся методом «упругих решений» А.А. Ильюшина совместно с методом конечных разностей.
На рис. 2, 3 приведены некоторые наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния пластины, описанной выше в момент времени, когда установилось распределение температуры. При этом показаны результаты расчета с применением классического и нелинейного (описанного выше) подхода.
Для удобства анализа на графиках, отображающих НДС пластины, введены следующие условные обозначения:
№Т - результаты расчета, полученные с применением определяющих соотношений (2) с учетом влияния температурного перепада (нелинейная задача термоупругости);
№ - результаты расчета, полученные с применением определяющих соотношений (2) без учета влияния температурного перепада (нелинейная задача упругости);
КеТ - результаты расчета, полученные с применением классических физических соотношений анизотропной термоупругости, при осред-ненных модулях упругости и коэффициентах Пуассона, с учетом влияния температурного перепада (классическая линейная задача термоупругости);
Ке - результаты расчета, полученные с применением классических физических соотношений анизотропной упругости, при осредненных модулях упругости и коэффициентах Пуассона, без учета влияния температурного перепада (классическая линейная задача упругости).
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 10 20 30 40 50 60
х/а Л Т,С°
Рис. 2. Распределение величин относительного вертикального прогиба по длинной стороне пластины и в зависимости от величины перепада
температур: -------- - 1УеТ;---------/\е; -------- КеТ;------- - Ке
На рис. 2 показано изменение значений вертикального прогиба по длинной стороне пластины с учетом использования различных моделей расчета, также приведен график влияния перепада температур на величины прогибов. Изучив рис. 2, следует заключить, что явление разносопротив-ляемости достаточно существенно влияет на величины прогибов. Так, разница в результатах с учетом разносопротивляемости по максимальным прогибам без учета температурного воздействия приводит к разнице в ре-
235
зультатах 16 % относительно максимальной величины прогиба, при учете температурного перепада - 26 %. Увеличение же температурного перепада приводит к увеличению величины вертикальных прогибов.
Наиболее очевидное влияние явления разносопротивляемости можно заметить на рис. 3,4.
0,20
0,15
0,10
с\і 0,05 со
0,0
-с:
Ь= -0,05 -0,10 -0,15 -0,20
1 1 1
1 1 1 1
1— 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
0,4
0,3
0,2
0,1
|г 0,0
-О’1 ^ -0,2 -0,3 -0,4
" Т Т Т 1 1 1 1 1 ~~ —
__ - _ __ ^ т- —
\ і
— 1 і і ' 1 1 Х“
1 Хк. 1 I 1
1 1 ^ ¿г 1
1 1
— 1
-0,5
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
х/а х/а
Рис. 3. Распределение напряжений ^ \ и а22 вдоль длинной стороны пластины на верхней и нижней поверхностях:
Рис. 4. Распределение напряжений а! ! и а22 вдоль короткой стороны пластины на верхней и нижней поверхностях:
Таким образом, видно, что напряжения являются наиболее чувствительными к виду напряженного состояния, так как разница между напря-
жениями, полученными при учете и без учета явления разносопротивляе-мости, весьма ощутима. Так, разница по максимальным напряжениям с применением нелинейных соотношений (2) при учете влияния температуры составляет 70...80 %, без учета влияния температуры до 25 %.
Сравнение результатов с результатами, полученными с применением классических гипотез, позволяет сделать вывод об адекватности разработанной математической модели и её пригодности для проведения расчетов НДС пластин в условиях термомеханического нагружения. Учет влияния свойства разносопротивляемости материала пластин является необходимым, так как позволяет получить значительно более точные результаты по сравнению с результатами, полученными с использованием классических методик. Также следует отметить, что влияние температурного перепада на НДС пластин усиливается при учете свойства разносопротив-ляемости.
Список литературы
1. Тимошенко С.П., Войнвский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.
2. Самсоненко Г.И. Общая методика решения задач термоупругого изгиба тонких прямоугольных пластин из анизотропных разносопротив-ляющихся материалов // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. Т.2. С. 84-88.
3. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.
G.I. Samsonenko
BEND OF RECTANGULAR THIN PLATES, MADE FROM ANISOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS, AT THERMO-MECHANICAL LOADING
The thermoelastic bend of the thin rectangular plates made from different resistant materials, possessing property of anisotropy is considered. The system resolving the equations of a bend ofplates is resulted. Results of research of an intense-deformed condition of plates are presented and their analysis is made.
Key words: different resistance, thermoelasticity, anisotropy, plate.
Получено 13.02.12
