CC BY
92
линейных соотношений, т.е. с учетом влияния вида напряженного состояния на НДС пластин.
Список литературы
1. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
2. Самсоненко Г.И. Уравнения термоупругого изгиба тонких круглых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. Тула: Изд-во ТулГУ. 2008. С. 261 - 265.
G.I. Samsonenko, А.А. Treshchev
BEND OF THIN RING PLATES MADE OF ANISOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS IN THE CONDITIONS OF THERMO-MECHANICAL LOADING
The bend of thin ring plates made of different resistant materials, possessing cylindrical anisotropy, under the influence of temperature and mechanical loading is considered. The resolving equations of a bend and results of research of stress condition of plates are resulted.
Key words: different resistance, thermoelasticity, anisotropy, plate.
Получено 16.09.11
УДК 539.384.6
А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ), Г.И. Самсоненко, асп., (4872) 33-47-80, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ ТОНКИХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ИЗ ОРТОТРОПНЫХ СТЕКЛОПЛАСТИКОВ
Рассмотрен изгиб тонких круглых пластин из стеклопластиков, обладающих цилиндрической анизотропией, под действием температурного и механического за-гружения. Приведены основные результаты исследования.
Ключевые слова: разносопротивляемость, термоупругость, ортотропия, пластина.
Рассмотрим осесимметричную задачу тонкой круглой пластины из ортотропного разносопротивляющегося стеклопластика толщиной h под
116
действием поперечной равномернораспределенной нагрузки ц и разницы температур на поверхностях пластинки АТ .
Задача решается в цилиндрической системе координат г, 0 и 2. Ось 2 направлена по оси ортотропии, координатная плоскость г = 0, совмещена со срединной плоскостью пластины в недеформированном состоянии, полярная ось от которой отсчитывается угол 0 в плоскости г = 0 располагается произвольно.
Пластина принимается достаточно тонкой, такой, чтобы можно было считать справедливыми гипотезы Кирхгофа - Лява.
Уравнения связи деформаций и напряжений с учетом температурного воздействия для рассматриваемой пластинки в цилиндрической системе координат можно принять в виде [1], добавив температурные компоненты
ег = Вгг<г + Деое + агАТ ; ее = + Д^е + аеАТ , С1)
где Я = А + Вгг , ^е = Ае+ Вее™е, Де = Ле + Вге К ); аг и ае - коэффициент линейного расширения материала в направлениях г и е ; АТ -
разность температур по толщине пластины; юг = <г /^<з2г +о0 ,
юе = ое / у]<2г + о0 ; Лу, Ву - константы, подлежащие определению из экспериментов по деформированию образцов материала (/, - = г ,е).
Неизвестные параметры Лу и В у (¡, - = г,0) следует определять через технические константы по формулам [1]
Л= (1/Е+ +1/Е- )/2; В„= (1/Б;-1/И: )/2;
А =-К / Е++п-/ Е- )/2; В=-у; / Е -п-/ Е- )/2; (2)
/Е+=п-/Е+; V-/Е-=п-/Е-,
где Е~, Е± - модули упругости при растяжении и сжатии вдоль главных осей анизотропии; V*, V* - коэффициенты поперечной деформаций при
растяжении и сжатии, соответствующие главным осям анизотропии.
Из известных соотношений между компонентами деформаций и компонентами перемещений в цилиндрической системе координат с учетом осесимметричности задачи вытекают следующие выражения для компонентов деформаций:
ег = иг - ; ее = и / г - / г, (3)
где и , w - радиальные перемещения и прогибы срединной плоскости.
Условия равновесия принимаются с учетом влияния продольных усилий в виде
^г,г + N - Nе)/ г = 0; Мг,г + (Мг-Ые)/г = &, (4)
117
где Иг, Ие - усилия в радиальном и окружном направлениях; Мг, М е - изгибающие моменты.
Величина поперечной силы Qr в случае равномерно распределенной нагрузки определится следующим образом:
Qr =-Х^гг - Чг/2, (5)
где ч - интенсивность поперечной нагрузки.
Тогда соотношения между напряжениями и деформациями можно представить как
аг = Сгг (^г - а г ДТ) + С* & - «е ДТ) - Яг , (6)
Ое = Сге (вг - «гАТ) + Сее в - «еДТ) - Яе,
где
Сгг = Ае / Д ; Сее = А / Д; Сге = -А* / Д; Яг = (АТ - АТ,)! Д;
Яе = (4Л2 - АТ)/Д; Тп = Б„щОг + Бг,+ ^)Ое; Т22 = Бге («г + «е )аг + Бее«еае; Д = 4Ае - А'е .
Приводя напряжения из выражений (6) к их интегральным характеристикам, учитывая геометрические соотношения (3), получим Иг = Сгг (Аиг - 8гТ ) + Сге (Аи / г - £еТ ) - ,
Ие = Сге (hu,r - егТ ) + Сее (hu / г - ееТ ) - 1е,
h3 h3 Мг = Сгг ^,гг - СгТ ) + Сге *,г / г - СеТ ) - Л, (7)
h3 А3
Ме = Сге ^,гг - СгТ ) + Сее ^ / г - СеТ ) - ^е,
где
h/2 h/2 h/2 h/2
1г = | ; /е = | ЯейЪ ; Jr = | Яг2^; /е = | Яег^г;
-h/2 -h/2 -h/2 -h/2
А/2 А/2 А/2 А/2
егТ = | агДТйЪ; ееТ = | аеДТйЪ; %гТ = | аДг^; %еТ = | аДгдг.
-А/2 -А/2 -А/2 -А/2
Используя уравнения равновесия (4), а также выражения для усилий и моментов (7), получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций и и w [2]:
СггАигг + СггАи,г/г -СееАи/г' -егТ(Ог -Сге)/г + ееТ(Сее -Сге)/г = (/г -/е)/г + /г,г,
А3 А3 А
Сгг 12w,rrr +12Сг^,гг / г - Сее 12w,r / г2 + СгТ (Сгг - Сге )/ г - СеТ (Сее - Сге )/ г = (8)
1 г
-1Ч(г)г^г + Сrrw,r(Аи,г -егТ) + Сrеw,r(Аи/г-8ВТ) -/^,г -(Jr - Jе)/г - Jr,r.
г
0
Для определения температурных компонентов в уравнениях (8) необходимо решить отдельно задачу о передаче тепла через поверхность
пластины. Процесс теплопередачи можно описать классическим уравнением теплопроводности, которое для одномерного случая можно записать так:
Т = аТ22, (9)
где г - ось системы координат, перпендикулярная к поверхности пластины; Т - температура по толщине пластины; а = аг / с - коэффициент температуропроводности, характеризирующий теплоинерционные свойства тела; с - удельная объемная теплоемкость тела.
Исследуем напряженно-деформированное состояние тонкой круглой пластин радиусом г = 100 мм и толщиной И = 4 мм. Пластина жестко защемлена по контуру и находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивностью ц = 100 кПа. Для жесткого защемления применяются граничные условия: wг = 0; w = 0; и = 0. В начальный момент времени пластина имеет температуру Т) = 0 °С и нагревается с двух сторон с некоторым перепадом температуры по границам пластинки АТ = (Т -Т2). Температурные условия: верхняя поверхность пластины -поддерживается постоянная температура Т = 50 °С, нижняя поверхность пластины - поддерживается постоянная температура Т2 = 20 °С. Механические характеристики материала [1]: модуль упругости Е+= 140 ГПа, Е- = 70 ГПа, Е+= 280 ГПа, Е- = 140 ГПа; коэффициент Пуассона п+е = 0,2, п-е = 0,3; коэффициенты линейного теплового расширения а г = 24 • 10-6 С-1, а± = 12 • 10-6 С_1; коэффициент температуропроводности а = 0,44•Ю-6 м2/с.
На рис. 1 - 3 приведены некоторые наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния пластины, описанной выше. Рассмотрим их более подробнее.
На рис. 1 показаны графики распределения температуры по толщине пластины в различные моменты времени относительно момента установившегося температурного распределения (). Можно отметить существенно нелинейный характер распределения температуры в первые моменты времени, далее ближе к моменту установившегося распределения температуры график распределения температуры переходит в прямую линию.
На рис. 2 - 3 показан сравнительный анализ применения в расчетах НДС пластины классического и описанного выше подхода. Для удобства анализа на графиках отображающих НДС пластины введены следующие условные обозначения:
№Т - результаты расчета, полученные с применением определяющих соотношений (1) с учетом влияния температурного перепада (нелинейная задача термоупругости);
КеТ - результаты расчета, полученные с применением классических физических соотношений анизотропной термоупругости, при осред-ненных модулях упругости и коэффициентах Пуассона, с учетом влияния температурного перепада (классическая линейная задача термоупругости).
Проанализировав рис. 2, можно прийти к выводу о достаточно сильном влиянии явления разносопротивляемости на величины прогибов пластины, в частности, разница в результатах достигает 7 % относительно максимальных величин.
0,5 ОА 0,3 0,2 0,1
^ 0,0
N
-0,1 -0,2 -0,3 -ОА -0,5
У /'
/
/ / / / '
/ / / / / / / ' /
/ / // / /
/ / //
/ / //
\
/ // //
-М/6
---ыш
---¡=2ЫЗ
10
20
30
4/7
50
т
Рис. 1. Распределение температуры по толщине пластины
в различные моменты времени
0,08 0,07 0,06 0,05 ^ 0,04 0,03 0,02 0,01
0,00
N4 Хч
хч
\
V \
0,0
0,2
ОА 0,6
а/К
0,8
№Т
---КеТ
10
Рис. 2. Распределение величины значения вертикального прогиба вдоль радиуса пластины в момент времени Iк
120
0,0 0,2 OA 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 OA 0,6 0,8 1,0
a/R a/R
Рис. 3. Распределение напряжений sr и Sq вдоль радиуса пластины
на верхней и нижней поверхностях пластины
Наиболее очевидное влияние явления разносопротивляемости можно заметить на рис. 2 - 3, из анализа которых следует, что напряжения являются наиболее чувствительны к виду напряженного состояния, так как разница между напряжениями, полученными при учете и без учета явления разносопротивляемости, достигает 25 % относительно максимальных величин при данном перепаде температур.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что учет влияния вида напряженного состояния на работу материала является необходимым, так как позволяет достичь значительно более точных результатов по сравнению с результатами, полученными с использованием классических методик.
Список литературы
1. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
2. Самсоненко Г.И. Уравнения термоупругого изгиба тонких круглых пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов // Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики. Тула: Изд-во ТулГУ. 2008. С. 261 - 265.
А. А. Treshchev, G.I. Samsonenko
THERMOELASTIC BEND OF THIN ROUND PLATES MADE FROM ORTOTROPIC FIBREGLASSES.
The bend of thin round plates from the fibreglasses possessing cylindrical anisotropy, under the influence thermal and mechanical loading is considered. The basic results of research are given.
Key words: different resistant, thermoelasticity, orthotropy, plate.
Получено 16.09.11
