Связанный термомеханический расчет шарнирно опёртой сферической оболочки из разносопротивляющегося материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Шрам Вячеслав Геннадьевич, аспирант, Shram18rus@mail.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет, Институт нефти и газа,

Петров Олег Николаевич, ст. преподаватель, petrov oleq@.mail.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет, Институт нефти и газа

THE OPTICAL METHOD OF GEAR OILS THERMAL OXIDATIVE STABILITIES

MONITORING

B.I. Kowalski, V.S. Yanovich, V.G. Shram, O.N. Petrov

The results of the tests of gear oils of various basic framework for thermo-oxidative stability were proposed. The coefficient of intensity of processes of self-organization during the lubricant oil oxidation was determined. The criterion of thermal oxidative stability was proposed.

Key words: the luminous flux absorption coefficient, the relative viscosity, evaporation rate, the rate of oxidation and evaporation, thermal oxidative stability criterion, the processes of self-organization, the phenomenon of redistribution of heat energy.

Kowalski Boleslav Ivanovich, doctor of technical sciences, Labsm@mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University, Institute of Oil and Gas,

Yanovich Valery Stanislavovich, postgraduate, Labsm@mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University, Institute of Oil and Gas,

Shram Vyacheslav Gennadevich, postgraduate, Shram18rus@mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University, Institute of Oil and Gas

Petrov Oleg Nikolaevich, Senior Teacher, petrov_oleq@mail. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University, Institute of Oil and Gas

УДК 539.384.6

СВЯЗАННЫЙ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

ШАРНИРНО ОПЁРТОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА

М.Ю. Делягин, А.А.Трещёв

Рассмотрена задача расчета пологих сферических оболочек из материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состоянии, на сочетание механической и температурной нагрузок при конечных прогибах. Оценено влияние разносопро-тивляемости, связанности и геометрической нелинейности на напряженно-деформированное состояние шарнирно опертой сферической оболочки из конструкционного графита АРВ.

Ключевые слова: разносопротивляемость, геометрическая нелинейность, связанность, термоупругость, оболочка.

Создание высокоэффективных конструкционных материалов требует развития научной базы для обоснованного применения их в различных отраслях промышленности. Использование классических теорий механики деформируемого твердого тела не позволяет обеспечить должную безо-

пасность конструкций, так как у большинства новых материалов проявляется зависимость механических и температурных свойств от вида реализуемого в точке напряженного состояния. Для описания эффекта разносо-противляемости воспользуемся методикой нормированных пространств напряжений [1, 2]. Дополнительно учтем температурные эффекты деформирования, возникающие вследствие связанности полей напряжений и температур, что особенно важно для конструкций энергетической отрасли, а также геометрическую нелинейность, которая свойственна тонкостенным оболочкам.

Уравнения состояния изотропного разносопротивляющегося материала, находящегося в температурном поле, получим в пространстве главных напряжений, применив операции дифференцирования к термодинамическому потенциалу Гиббса [1], в форме е£ = -ЭГ / Эо^ и Ь = ЭГ / ЭТ. Переходя к цилиндрической системе координат и используя статическую гипотезу Кирхгофа-Лява, принимаем о2 = 0, тогда, с учетом осесимметричного загружения получим:

ег = Аог + Соф + А( 0° + Ва г ог + э(а г + аф )0ф +

+ (0,5Б - В)

афОф]аг + Бі а г 0

АОф + Сог + Аі 0°+БафОф + в(аф + аг )ог +

+ (0,5Б - В)

1 аф )оф

фф .]аф

ф

(1)

а г ог рф + Bt аф0 ;

Ь = (At + Btаг )ог + (At + Btаф )оф + Со0 / Т0, где ег, еу - радиальные и окружные деформации, ог, Оф - радиальные и

окружные напряжения, А, В, С, Э,Аг, Вг - константы потенциала [1, 2],

А = 0,5

Е+ Е"

Б = 0,5

С = -0,5

V

+

V

В = -0,5

V

+

V

Е + Е"

А = 0,5(а+і + а-1} Б = 0,5(а+і -а-1 ¡1 Е +, Е , п+

V , а+, а- - модули упругости, коэффициенты Пуассона и коэффициенты линейного теплового расширения материала при одноосном растяжении (+) и одноосном сжатии (-) соответственно; аг = ог / 5, аф = °ф / 5 -

2

2

нормированные напряжения, £ = ^ог +оф - норма пространства напряжений или модуль вектора полного напряжения, Ь - плотность энтропии, 0° = Т - То - величина изменения температуры, Т - текущая температура в точке оболочки, Т0 - начальная температура оболочки.

312

О

1

1

1

1

При конечных прогибах и зависимости свойств материала от вида напряженного состояния задача о деформировании пологой сферической оболочки постоянной кривизны становится и геометрически, и физически нелинейной, поэтому решение будем искать в приращениях функций. Линеаризацию проводим на начальном этапе построения разрешающей системы уравнений согласно методу последовательных нагружений В.В. Петрова [3].

Приращения деформаций 5ег, 5еф выразим через приращения напряжений 5ог, 5оф и изменений температур 50° с учетом уравнений (1): Ъег = Ац5аг +А125^ф +А1350 ; 5еф = А215^г + А225°ф + А2350 ; (2)

где

:)-

Ді і = = А + в(аг3 + 2а,аж2)+ Ваф:3 - Ва,аж2 +

Эо,

+ (0,5В - В)

3

2 5

а / + 2а г аф - а г - а^ - 4а / аф + 2а И а

5

ф

3а 2 Vй ф

23 г аф

+ Ві 0°аф / 5;

Эе Эф 2 / 3 3 \

Д12 =Д21 =^~ = ^~ = С - Ваг аф + В(2агаф + аг +аф ]+

Эоф Эо г

ф

+ (0,5В - в)

2 ^ 4 ^ 3 2

афаг + 3а, аф-3а, аф Эе,

Ві 0°а г аф / 5.

Эе Эф / 3 2 \ 3

Ді3 = —— = А^ + Ві а г; Д 22 = ^— = А + В |аф + 2а, аф+ Ва, -

Э0°

- Ваг2аф + (0,5В - В)

3 255 23 32

аф + 2афа, - аф -а, - 4а, аф + 2а, аф

+

+ В] 0 а г / 5; Д 23

Эе

'ф

Э0°

Аі + Ві аф.

Выразим из уравнений (2) приращения главных напряжений: бо, = Ві ібе, + В^беф + В^50 ;

5оф = В2ібе, + В22беф + В23б0°,

( 3)

где

В11 = Д22 / Д; В12 = -Д21 / Д; В21 = -Д12 / Д; В22 = Д11 / Д;

В13 = (Д13Д21 - Д23Д11) / Д; В23 = (Д23Д12 - Д13Д22 ) / Д;

Д = Д11Д 22 -Д12Д 21.

Компоненты тензора деформаций представим в рамках формализма Т. Кармана [4]:

9 и X

е, = и, -кы + 0.5ы, -ш ; еф = — кы—wг, (4)

где и,ы - радиальные перемещения и прогибы срединной поверхности, к - кривизна оболочки, , - радиальная координата, х - вертикальная ко-

313

ордината, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки.

Пренебрегая малыми высшего порядка, получим выражения для приращений деформаций:

5ег = (5м ) г - k5w + *№, г (5^) г - г(5^) гг;

~ 5м , е г \ (5)

5еф =------kЬw — (5^) г.

Т г г

Определим приращения усилий:

И/2 А/2

5Ыг = 15огйг; 5Ыф= 15оф<^г;

-И/2 -И/2 (6)

И/2 И/2 ( )

5Мг = 15оггйг; 5Мф= 15Офгйг.

-И/2 -И/2

Уравнения равновесия для сферической оболочки под воздействием равномерно распределенной нагрузки с учетом геометрической нелинейности имеют вид:

Мг уу — Мф г / г + 2МГ г / г + к(Ыу + ^ф)+ гг = —^;

N,г +(ыг - Ыф)/ г - к[му,г +(мг -Мф)/ г]= 0.

Пренебрегая малыми высшего порядка, получим линеаризованные уравнения:

(5Му )Гг-(5М ф)у / г + 2(5Му )г / г +

+ к (5Ыг + 5Ыф)+ (5Ыг )'Н',гг + Ыг (5^) гг = -5д; (8)

(бЫ,), + (бЫ, - бЫф)/, - к [(бМ,), + (бМ, - бМ

= 0.

-Г),г + \5Му -5Мф/г]

Уравнение притока тепла определим, подставляя выражение для плотности энтропии разносопротивляющегося материала в уравнение теплопроводности Фурье:

10°гг - рСс0°, - (4 (ог + Оф),, + Б, (Я),, ) Го + и = 0, (9)

где 1 - коэффициент теплопроводности, СО - теплоемкость материала

при постоянном напряжении, и - удельная мощность источников тепла.

Уравнение теплопроводности в приращениях примет вид:

4»° )гг -РСО(50° ), -

Л (10)

,, , ^ ^ ' /,Г --уч- - V/,,) Г0 + и = 0.

Два уравнения равновесия и уравнение теплопроводности должны решаться совместно для учета связанности полей напряжений и температур. Подставляя в уравнения (8) и (10) зависимости (3), (5), (6) получим систему линеаризованных дифференциальных уравнений в частных произ-

А (б°, + б0ф ) + В ( а, (б0, ^ + аф (б0ф ) ]

водных относительно приращений прогибов, радиальных перемещений и изменений температур:

^1 (М, гггг +Кп(М, ггг

+ К12 (5^), гг + К13 (5^), г +

+ К14 (5^) + ,/14 (5м) ггг + К15 (5м) гг + К16 (5м) г + К17 (5м )= 5^ - К^;

К21(5^) ггг + К22 (5^) гг + К23 (5^) г + К24 (5^) +

+ К 25 (би ),+ К 26 (би ),, + К 27 (би ) = - Кд 2;

1(50 ), гг + К 31 '(50 Л, + К32 ' (5м ),г, + К33 '(5^), + К34 '(5^)г, +

+ К35 ' (М,гг, + К36 '(5м),, + и + К37 '(5м),г +

+ К38 '(5м ) + К39 '(5^),гг + К310 '(5^) + К311 '(М,г + К312 ' (50° )= 0 где /у, Ку - функции накопленного к рассматриваемому моменту нагружения напряженного состояния.

Разрешающую систему линейных дифференциальных уравнений необходимо дополнить граничными и начальными условиями в приращениях. Граничные условия для шарнирного опирания по контуру запишутся следующим образом:

И/2/ \

5^ = 0; 5Мг = | Б115ег + Б^5еф + Б1350° ^г = 0; 5м = 0.

-И/2

Для центра оболочки:

(бы) , = 0; би = 0.

Температурные начальные условия в приращениях примут вид:

50°(г = И/2) = 0; 50°(г = -И/2) = 0.

С помощью метода конечных разностей перейдем к системе линейных алгебраических уравнений. Решать систему будем дважды на каждом этапе нагружения согласно двухшаговому методу последовательного возмущения параметров В.В. Петрова [5]. Это позволит многократно сократить погрешность линеаризации методом последовательных нагружений и уменьшить требуемое количество шагов по нагрузке и затраты машинного времени. Для полного учета эффекта разносопротивляемости на первом этапе необходимо дополнительно решить задачу о малых прогибах оболочки итерационным методом упругих решений А. А. Ильюшина [6]. Алгоритм программы был реализован в среде МЛТЬЛВ.

С помощью разработанной программы была рассчитана шарнирно опертая пологая сферическая оболочка радиусом в плане Ь = 1 м со стрелой подъема 0.08 м и толщиной 0.04 м из конструкционного графита АРВ с характеристиками: Е += 0.375ГПА, Е~= 0.613ГПА, п+ = 0.2, у~ = 0.35,

а+ = 4 10 6 К \ а- і = 6 10 6 К 1. Максимальная поперечная нагрузка была ограничена величиной 195 кПа. Начальная температура оболочки 300 К. На верхней поверхности температура понижалась до 285 К, а на нижней повышалась до 325 К.

Чтобы количественно оценить различные эффекты, учитываемые в расчете, задача рассматривалась в четырех различных постановках. Первый вариант постановки задачи - геометрически нелинейный расчет с учетом разносопротивляемости и связанности. Этот вариант принимался за базисный и на всех рисунках условно обозначался «СРС». Для оценки энергетических эффектов деформирования рассматривалась несвязанная задача термоупругости разносопротивляющегося материала, а результаты решения несвязанной задачи на графиках обозначаются «НРС». Результаты решения связанной задачи без учета разносопротивляемости с осред-ненными термомеханическими характеристиками из опытов на одноосное растяжение и одноосное сжатие на рисунках обозначены «ОСР». Такая модель позволит вычислить влияние разносопротивляемости на напряженно-деформированное состояние оболочки. Для выявление поправок в распределениях усилий вследствие конечных деформаций рассматривается геометрически линейная связанная задача термоупругости оболочки с учетом зависимости свойств материала от вида реализуемого в точке напряженного состояния. На графиках такая постановка задачи обозначается «ЛИН».

На рис. 1 показаны прогибы оболочки. Наибольшее влияние на величину прогиба оказывает учет разносопротивляемости. Отличие от решения с осредненными характеристиками составило 54 %. Наименее значительно в рассматриваемой задаче проявляется эффект связанности. Расхождение между связанным и несвязанным решением не превышает 5 %. Поправка для величины максимального прогиба за счет геометрической нелинейности составила 25 %.

Рис. 1. Прогибы оболочки

316

На рис. 2 показаны радиальные перемещения срединной поверхности оболочки. Влияние разносопротивляемости усиливается и достигает 82%. Проявление эффекта связанности так же как и для прогибов не превосходит 5%. Поправка для величины максимального прогиба за счет геометрической нелинейности составила 25 %.

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

г/Ъ

Рис. 2. Радиальные перемещения

На рис. 3 представлено распределение радиальных напряжений на верхней и нижней поверхностях оболочки вдоль радиуса. Поправки в радиальные напряжения за счет учета зависимости свойств материала от вида напряженного состояния достигают на верхней поверхности 22 %, на нижней - 12 %. Расхождения между геометрически линейным расчетом и расчетом по нелинейной теории типа Т. Кармана для величины напряжений не превосходят 20 %. Влияние связанности проявляется незначительно. Расхождение между несвязанной и связанной постановками задачи в величине радиальных напряжений составляет 5 %.

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

ГЛ

Рис. 3. Радиальные напряжения

На рис. 4 показано распределение окружных напряжений на верхней и нижней поверхностях оболочки вдоль радиуса. Поправки для окружных напряжений за счет разносопротивляемости достигают 23%. Расхождение между геометрически линейным и нелинейным расчетами для величин окружных напряжений достигает 25 %. Учет связанности полей напряжений и температур вносит поправки до 5 % в распределение окружных напряжений.

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

г/Ь

Рис. 4. Окружные напряжения

Задачи термоупругости конструкций из разноспротивляющихся материалов уже не раз привлекали внимание исследователей. В работе [7] рассматриваются прямоугольные пластины при малых прогибах при связанном термомеханическом нагружении. Несвязанные задачи термоупругости анизотропных разносопротивляющихся материалов рассмотрены в работах [8, 9] на примере кольцевых пластин различной толщины. НДС сферических оболочек при жестком опирании исследовано в работе [10].

В результате всех вышеперечисленных работ были выявлены значительные эффекты, вызванные разносопротивляемостью материала исследуемой конструкции. Фактором, в наибольшей степени определяющим несущую способность сферической оболочки, являются радиальные напряжения. Поправки в радиальные напряжения при шарнирном опирании составили 22 %, а при жестком защемлении они достигали 56 % [10]. На основании этих фактов можно сделать вывод, что количественные про-являения рассматриваемого эффекта усиливаются при более сложных видах напряженного состояния.

Список литературы

1. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносо-противляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости. М.: Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. 211 с.

2. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.: Тула; РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.

3. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Machinenbau. Enzyklopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd IV. Mechanik, Teilband 4, Hft 3, Art 27, Punkt 8. Ebene Platten. Leipzig: B. G. Teubner, 1910. S. 311-385.

4. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала // Учеб. пособие. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. 208 с.

5. Петров В. В., Овчинников И.Г., Ярославский В.И. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 136 с.

6. Ильюшин А. А. Пластичность. Часть 1. Упруго-пластические деформации. М. Л.: ОГИЗ, 1948. 376 с.

7. Чигинский Д.С., Трещёв А.А., Теличко В.Г. Связанная задача термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. Тула: Изд-во ТулГУ,

2011.С. 494-502.

8. Самсоненко Г.И., Трещёв А.А. Термоупругий изгиб кольцевых пластин средней толщины из ортотропных разносопротивляющихся материалов // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 1. С. 238-245.

9. Самсоненко Г.И. Изгиб прямоугольных тонких пластин из анизотропных разносопротивляющихся материалов при термомеханическом за-гружении // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ,

2012. Вып. 1. С. 231-238.

10. Трещёв, А.А. Решение связанной задачи термоупругости для сферической оболочки из разносопротивляющегося материала с учетом геометрической нелинейности / А.А. Трещёв, М.Ю. Делягин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я.Яковлева. Серия Механика предельного состояния. Чебоксары: Чув-ГПУ. 2012. №3(13). С. 18-26.

Делягин Михаил Юрьевич, аспирант, m.delyagin@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Трещёв Александр Анатольевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, taa58@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

COUPLED THERMOMECHANICAL CALCULATIONOFSIMPLYSUPPORTED

SPHERICAL SHELL MADE OF DIFFERENTLY RESISTANTE MATERIAL

M. YU. Delyagin, A.A. Treschev

The combined mechanical and thermal calculation of shallow spherical shells made of materials which properties depend on the type of stress has been considered with finite displacement. The effect of different resistance, connectedness and geometric nonlinearity on the stress-strain state of simply supported spherical shell made of constructional graphite AРВ has been estimated.

Key words: different resistant, geometric nonlinearity, connectedness, thermoelasticity, shell.

Delyagin Miknail Yurievich, postgraduate, m. delyaginayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Treschev Alexander Anatolievich, doctor of technical science, professor, the head of department, taa58 ayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University.

УДК 539.3.

НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

МАТЕРИАЛА ШПИНДЕЛЯ ЗАТВОРА ТРУБОПРОВОДА ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

С.П. Судаков, И.В. Лопа, А.И. Ефимова

Моделируется распространение продольных волн нормальных напряжений в шпинделе затвора трубопровода из упруго - вязкопластического матерала при динамическом нагружении в результате гидравлического удара. Показано, что решение задачи чувствительно к изменению скорости деформации, не только количественно, но и качественно зависит от материала шпинделя и отражение переднего фронта волны от его торцев значительно изменяет напряженно - деформированное состояние материала.

Ключевые слова: продольные волны, шпиндель затвора, гидравлический удар, фронт волны, отражение, напряженно - деформированное состояние.

При определенной совокупности граничных условий в материале шпинделя затвора трубопровода генерируются и распространяются продольные волны нормальных напряжений. Например, при ударных нагрузках в результате быстрого перекрытия перемещаемого в трубопроводе потока необходимо учитывать волновой характер нагружения и определять соответствующее напряженно - деформированное состояние материала шпинделя [1]. Решение задачи строится в рамках гипотезы плоских сечений, что сводит процесс деформирования к распространению в материале шпинделя одномерных продольных волн, и напряженно-

деформированное состояние полностью описывается напряжением О и