CC BY
44
4. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
5.N. Larin
THE PYRAMIDICAL STIFFENING ELEMENTS FORMING IN THE MODE OF CREEPING
The results of theoretical investigation of pyramidical elements deformation from the anisotropic materials possessing kinetical theory of creeping and damaging are shown.
Key words: anisotropy, mathematical model, pyramidical element, creeping, kinetical theory, damageability, stress, deformation, failure, forming.
Получено 17.08.11
УДК 539.3; 624.04
А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, ±аа58@vandex.ru.
Д.А. Ромашин, асп., D.Romashin@vandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ИЗ ОРТОТРОПНОГО НЕЛИНЕЙНО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА
Построены новые определяющие соотношения для существенно-нелинейных ортотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Полученные определяющие соотношения могут быть использованы для расчета конструкций с учетом физической нелинейности.
Ключевые слова: разносопротивляемостъ, упругопластичности, нелинейность, определяющие соотношения, механические характеристики, напряжения, деформации, пластина.
В строительстве и других отраслях промышленности в настоящее время получили широкое применение конструкционные материалы, механические свойства которых не соответствуют классическим представлениям об упругопластическом деформировании твердых тел.
Построение математической модели состояния конструкционных материалов, универсально работающей при любых напряженных состояниях, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформированного твердого тела. Требуется установить взаимнооднозначные соотношения между компонентами напряженного и деформированного состояния с указанием системы экспериментов, достаточных для определения констант, входящих в уравнения состояния и характеризующих механические свойства рассматриваемого материала.
Определяющие соотношения для упругопластических структурно-ортотропных тел представим следующим образом [1,2]:
еи =[^1111 (8;) + ^1111 (8г)«ц]°11 +[^1122 (8/)+в1122 (8/)х (ОСц +С^22)]°22 +[^1133 (8г') + 51133 (8/)(а11 +а33)]а33; е22 = [^1122 (8г) + ^1122 (8г)(«11 + «22 )]а11 + [^2222 (8г) +
+ ^2222 (8/)«22 ]ст22 + М2233 (8/)+^2233 (8/)(а22 + а3з)]°33;
е33 = [^1133 (8/) + ^1133 (8/)(а11 + а3э)]а11 + [^2233 (8г)+ (1)
+ ^2233 (8/)(«22 +а33)]а22 + МЗЗЗЗ (8г) + ^3333 (8г)а33]а33;
е12 =(А1212 (£*)+В1212 (8/)^^а12)т12 = С1212 (е/)т12 ^
е23 = (А2Ъ2Ъ (8г)+52323 (8грл/2а23)Т23 = ^2323 (8/)т23 5 е31 = (^3131(8г') + ^3131(8г)Л^а31)т31 = ^Зш(£/)т31’
где
е* = ~у л1£и£и ’ гУ = еи ~ 3;
Функции определяющих соотношений будем вычислять по результатам простейших экспериментов. Принимая нелинейную зависимость, представим материальные функции в зависимости от отношения интенсивности напряжений к интенсивности деформаций. С помощью программы Microcal Origin 6.0 (Microcal Software Inc.) выводится зависимость для функций 1/[£гу+(ег)], 1 /[Efi^i)] и у+у/[Еу+(е$], ^/[^“(е*)] Для каждого эксперимента [3]. И полученные выражения подставляются в формулы для определения функций определяющих соотношений.
Рассмотрим графитовый композит ATJ-S.
При одноосном растяжении - сжатии в направлении главной оси анизотропии х\:
для продольной деформации
А111 (£i) = 0,5[1,06 • 10'4 + 0,03 • еi - 3,232 • ef +
+ (1,1 • 10'4 + 0,031 • 8/ - 2,808 • е? )];
51111 (£i) = 0,5[1,06 • 10"4 + 0,03 • ег- -3,232-8? +
- (1,1 • 10'4 + 0,031 • 8/ -2,808 • £?)]; для поперечной деформации
А122 (е,-) = 0,5[4 • 10'6 + 0,009 • е,- - 0,962 • е? +
+ (1,1 • 10'5 + 0,003 • е/ + 0,206 •£?)];
122 (е,0 = ОД4 • 10'6 + 0,009 • е* - 0,962 • е? +
- (1,1 • 10"5 + 0,003 • е* + 0,206 •£?)];
4133 (£г) = 0 Д 7>5 • 10"6 + 0,009 • е,- - 0,96 • е? +
+ (10"5 + 0,0014 • гг- + 0,221 • 10'5 • £?)]; в\ 133 (£/) = °Д 7>5 • Ю"6 + 0,009 • ег- - 0,96 • е? +
- (10"5 + 0,0014 • 8; + 0,221 • 10'5 • 8?)].
Получаем графическую зависимость напряжений от деформаций при нелинейной аппроксимации для осевого растяжения или сжатия вдоль главной оси анизотропии х\ (рис.1).
При одноосном растяжении - сжатии в направлении оси х2 для продольной деформации
^2222 (£/) = ОД 9,1 • 10'5 + 0,007 • 81 + 0,604 • е? +
+ (1,1 • 10'4 + 0,0016 • е* +1,95 •£?)];
В2222 (£г) = °,5[9Д • 10'5 + 0,007 • е,- + 0,604 • 8? +
- (1,1 • 10'4 + 0,0016 • е* +1,95 •£?)]; для поперечной деформации
^2211 (£г) = 0?5[4 • 10'6 + 0,009 • £* - 0,928 • 8? +
+ (1,1 • 10'5 + 0,003 • 8/ + 0,193-8?)]; в22п(^) = °Д4• Ю'6 + 0,009 • 8г- -0,928 • е? +
- (1,1 • 10'5 + 0,003 • 8/ + 0,193-8?)];
^2233 (£/) = ОД10"5 + °>005 • 8/ -1,156 • 10"4 • е? +
+ (10'5 + 10'4-£г+0,116 •£?)];
в2233 (£/) = 0,5[10'5 + 0,005 • 8г- -1,156 • 10'4 • 8? +
-(10'5+10'4-£г+0,116 •£?)].
Получаем графическую зависимость напряжений от деформаций при нелинейной аппроксимации для осевого растяжения или сжатия вдоль главной оси анизотропии х2 (рис. 2).
Таким образом, деформации и напряжения достаточно точно связываются зависимостями
ех! = [0,5 • (2,16 • 10-4 + 0,061 • ег- - 6,04 • е?) + 0,5 • (-0,04 •10-4 -- 0,001- ег- - 0,424- £?)«! !]оц + [0,5 • (1,5 • 10-5 + 0,012- ег- -
— 0,756-6^) + 0,5 • (—0,07-10 ^ + 0,006- вг- —1,168-8^Хос^ \ + ОС22)]^22 е22 = [0,5 • (1,5 • 10“5 + 0,012- ег- -0,756- е?) + 0,5 • (-0,7 • 10-5 +
+ 0,006- 8г- —1,168- 8^)((Х11 + 0622)1^11 + [0>5 • (2,01-10 ^ + 0,0086- 8г- +
+ 2,554- е?) + 0,5 • (-0,19 • 10-4 + 0,0054- ег- -1,346- е?)а22]022>
Исходя из проведенного исследования можно утверждать, что нелинейная аппроксимация кривых деформирования дает результаты, максимально приближенные к экспериментам. Поэтому очевидно, что предложенная модель ортотропных нелинейно разносопротивляющихся материалов наиболее предпочтительна в случае расчета конструкций, работающих при сложных напряженных состояниях.
Рассмотрим равновесие тонкой круглой пластины толщиной к и радиусом Я из ортотропного нелинейно разносопротивляющегося материала, под действием поперечной, равномерно распределенной нагрузки q. Будем рассматривать пластинку достаточно тонкой, такой, что применение гипотезы Киргофа - Лява не взывало возражений. Рассматриваемая пластина из ортотропного нелинейно разносопротивляющегося материала обладает цилиндрической анизотропией. Ввиду осевой симметрии задачи для ее решения удобно воспользоваться цилиндрической системой координат г, 0, г, тогда функции, характеризующие напряженно-деформированное состояние пластины, будут зависеть только от радиальной координаты г.
а б
Рис.1. Кривые «напряжение-деформация» в направлении оси Хі: а - растяжение; б - сжатие;
1 - продольная деформация бп; 2, 3 - поперечная деформация б22 и б33;
------экспериментальные данные,
□ - нелинейные аппроксимации
я)
Д'Ша
25
20
15
16 5
V 2 Я ■/ 7
11 і / Р:
/ ?
1я ( /
ГТ
1 і і г [ 1 з г.
о^эМПв
Ж 25 20 *5 10 5
31 ] 1
!/ 1 / /
||
1 У /
1/ Г
' 1 1 1 1
У
у
1.10
а б
Рис. 2. Кривые «напряжение-деформация» в направлении оси х2:
а - растяжение; б - сжатие;
2 - продольная деформация Є22; Л 3 - поперечная деформация гп и Є33; --------------------экспериментальные данные,
□ - нелинейные аппроксимации
При решении поставленной задачи введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы:
а) нормальное сечение к срединной поверхности до деформации остается перпендикулярным к изогнутой поверхности после деформации;
б) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений о2 пренебрегаем ввиду их малости.
Принятые связи между напряжениями и деформациями (1) и условия симметрии задачи приводят к выводу о том, что тензор напряжений имеет только две ненулевые компоненты. Таким образом, рассматривается осесимметричное состояние пластины, причем главные оси цилиндрической системы координат совпадают с главными осями анизотропии. В этой системе координат уравнения состояния для ортотропного материала запишем в виде
ег = Ац ог+А12с>в,
ев = А20г+А22°6’
А 1 = А111(£г) + В\ 111(£/)а1 Ь А2 = А 122(е/) + В\ 122(ег)(а11 + а22)’
^22 =^2222(£/) + В2222^)а2Ъ А111(£г) = А\\ 11 + А\\ 1Ъ
А 122(е/) = А\\22 + 4т; А2222(£г) = А2222 + А2222’
Аукт ~ осредненные константы упругого ортотропного материала;
Ау^т -нелинейные составляющие материальной функции.
Отделяя в физических уравнениях (2) линейную часть от нелинейной, получим
ег =А\\Рг + А1122°в + Тг,
ее = А1122Сг + А2222ав + ^0>
(3)
где Тг - (4"ш + -®1ш(£г)0С11)аг +(4122 +А122(£гХа11 +а22))ае5 Тв = (4122 + Вх 122(8г- )(Щ! + ОС22Ж + (4222 + В2222^1 )«22)^0 •
Выражая уравнения (3) относительно напряжений, получим
о г = Опег + /)12е0 -Я/,
°0 = ^>12ег + ^22ев ~ ^0 ^
(4)
Аг -
2222
АшА.222 (АшУ
I
®22 ~
і
1111
А11ПА2222 (^1122^
А
1122
А\\\А2222 (^1122^
2 '
Параметры Яг, являются нелинейными членами уравнений и вычисляются по формулам
Яг =£)ц Тг + £>12Ге;
= Аг тг + Аг^е-
Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез и осевой симметрии задачи имеют вид
2
Э иг дм? иг г дм?
ев=~
ег =
дг Эг"
Э г
(5)
Подставляя зависимости (5) в уравнения (4), получаем
аг =Аі
аЄ = А2
Эм,
Э2и-Л
Э г
Э иг д г
— г-
— г-
дг2
д2уу
дг2
+ А 2
+ В22
иг
иг
г
\ г
г дм>^ г дг у
г
г дг
-Я
г>
(6)
-Яе.
Принимая за основу те или иные физические соотношения, тем самым не вносятся изменения в уравнения статико-геометрической природы. Таким образом, остаются справедливыми основные положения и зависимости классической теории упругости. Поэтому уравнения равновесия пластины запишем в виде
(9)
дМг Мг-1Уе дг г
аг г ^
дмг | Мг - М9 _ дг
дг г 2
Поскольку переход от напряжений к интегральным характеристикам не зависит от физической природы материала, эти характеристики определим традиционным способом:
/г/2 М2
Иг = [ <5гс1г; Щ = [
—Ы2 —М2
/г/2 /г/2 ^ '
Мг = [ <5ггсІг', М§ = [
-/г/2 -М2
Подставляя в формулы (8) выражения для напряжений (6), получим
НГ=КП^+КП!±-1Г1 Щ=Кп^+К22 — -1(,;
дг г аг г
Г, 1 Э2!^ I дм
Мг =~РП-------о 12 л---------^ М0 = “^12--------2~ 22 ~1\------05
г (9г 0^ г дг
где
/г/2 /г/2 /г/2
Іг = [/0 = [ Щсіг', = [ 11ггс1г;
-/г/2 -/г/2 -/г/2
/г/2 Л3
% = А£>,у; = — Ау; О', Л: = 1,2).
-/г/2 12
Подставляя полученные соотношения (9) в уравнения равновесия (7), приходим к системе разрешающих дифференциальных уравнений осесимметричного изгиба пластин, обладающих цилиндрической ортотропи-ей, нелинейно чувствительной к виду напряженного состояния:
9
сі иг 1 я?иг К22 1 _ 1 гіІг 1 /г-/е.
^г2 г ф Кп г2 г ф Кп г ’
<і2ср 1 (7*22 ~Д2) 1 1 dIf. Jf.-jQ
1 Ъ ОТї-Ь т
</г2 г рп г2 рп Ф грп 2
Для полноты системы разрешающих уравнений (9) необходимо задать условия в центре пластины (г = 0)
иг = 0, — = 0.
Г <1г
и на контуре (г = К) при жесткой заделке
и = 0, м> = 0, — = 0.
Ф
Таким образом, сформулирована замкнутая система дифференциальных уравнений в перемещениях относительно срединной плоскости, описывающая исследуемую задачу.
Разрешающие уравнения задачи представлены таким образом, что все нелинейные члены выделены в правые части. Задача решается методом последовательных приближений в форме «упругих решений» А. А. Ильюшина. Для решения дифференциальных уравнений ввиду сложности выражений для нелинейных членов использовалась конечно-разностная аппроксимация, которая в данном случае наиболее просто реализуется.
Радиус пластины с помощью N точек разбивается при этом на (7У-1) отрезков, имеющих одинаковую длину.
Разностные аналоги разрешающих уравнений получим путем замены входящих в них производных конечными разностями по шаблонам высокой точечности.
Графические зависимости иллюстрируют распределение главных напряжений в срединной плоскости и прогиб пластины при д = 0,09 МПа (рис. 3, 4).
Рис. 3. Прогиб п’ [м~4] при ц = 0,09 МПа:
- классический; - - -разносопротивляющийся линейный;
—□— - разносопротивляющийся нелинейный
Рис. 4. Радиальное напряжение сг [МПа] при ^ = 0,09 МПа:
------классический;------ разносопротивляющийся линейный;
—□— - разносопротивляющийся нелинейный
В результате исследования подтверждено, что учет нелинейности деформирования материала пластины приводит к изменению напряженно-деформированного состояния, достигающего для радиальных напряжений в сжатых зонах 22,2 %, в растянутых зонах 48,4 %, для прогибов 8,2 %, а по сравнению с классической теорией, соответственно в сжатых зонах 43,7 %, в растянутых зонах 56,2 %, для прогибов 9 %.
Анализируя приведенные графические зависимости, следует отметить, что учет нелинейности приводит к весьма существенной разнице в результатах. Стоит отметить, что использование приведенной методики даст возможность снизить расход материалов, но при использовании других материалов может предотвратить разрушение строительной конструкции.
Список литературы
1. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
2. Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопро-тивляющихся материалов. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2007. 160 с.
3. Трещев А.А., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для ор-тотропных нелинейно-упругих разносопротивляющихся материалов // Сб. статей X Междунар. науч.-техн. конф. «Эффективные строительные конструкции: теория и практика». Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. С.131- 134.
А.А. Treshchev, D.A. Romashin
BEND OF ROUND PLATES FROM ORTOTROPIC NONLINEAR DIFFERENT RESISTANT OF THE MATERIAL
Within the limits of work new defining panties for is essential-nonlinear ortotropic the materials sensitive to a kind of a tension are constructed. The received defining parities can be used for calculation of designs taking into account physical nonlinearity, the composite on the basis of graphite ATJ-S here is considered.
Key words: different resistant, the nonlinearity, defining parities, mechanical characteristics, pressure, deformations, a plate.
Получено 14.07.11
УДК 623.455.6:621.777.016.2.043
Г.М. Журавлев, д-р техн. наук, проф., (4872)40-16-74,
Дао Тиен Той, асп., (953) 433-94-92, daotientoi@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ИЗГОТОВЛЕНИЕ ОХОТНИЧЬЕЙ ГИЛЬЗЫ ПРЕССОВАНИЕМ С РАЗДАЧЕЙ В РЕЖИМЕ ПОЛУГОРЯЧЕЙ ШТАМПОВКИ
Рассмотрен поход к разработке технологического процесса изготовления охотничьей гильзы с применением полугорячего прессования с раздачей. Проведен расчет геометрии полуфабрикатов прессования с раздачей, вытяжки. Разработан технологический процесс изготовления охотничьей гильзы.
Ключевые слова: прессование с раздачей, охотничья гильза.
Существующие в настоящее время технологические процессы изготовления охотничьих гильз на базе использования плоских заготовок, вырубаемых из полосовой стали 18ЮА ГОСТ 803-69, характеризуются низким коэффициентом использования металла (64...65 %) и длительностью технологического цикла [2]. Разработка технологического процесса с применением полугорячего деформирования позволяет совместить преимущества холодного и горячего процессов, обеспечивая более высокую точность и низкую шероховатость поверхности с высокой пластичностью и
150
