CC BY
93
In this paper we propose an approach to the evaluation of the energy efficiency of technological systems, establishing common indicators for all levels of its hierarchical structure. It allows you to identify and locate places with high overheads of energy, as well as to evaluate the energy consumption when changing the operating conditions of the system.
Key words: technological system, efficiency of use, energy, power.
Erzin Oleg Aleksandrovich, candidate of technical science, docent, erzin 79@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Salnikov Vladimir Vladimirovich, student, Vladimirsalnikov1 @yandex. ru , Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.38
ИЗУЧЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЕМОСТИ МАТЕРИАЛА НА НДС КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ
А. А Трещев, М.В. Спасская
Рассматривается задача о загружении равномерно распределенной нагрузкой тонкостенной круговой цилиндрической оболочки, выполненной из разносопротивляю-щегося материала, обладающего свойством анизотропи. Приведена система разрешающих уравнений поставленной задачи. Приведены некоторые наиболее характерные результаты исследования напряженно-деформированного состояния оболочки и выполнено сравнение результатов расчетов по предлагаемой модели с решением по классической теории с постоянными механическими характеристиками.
Ключевые слова: разносопротивляемость, анизотропия, цилиндрическая оболочка.
В настоящее время в строительстве и других отраслях промышленности получили применение конструкционные материалы, механические свойства которых зависят от вида напряженного состояния. Подобная зависимость обнаружена не только у новых материалов, каковыми являются композитные составы, полимеры, графиты, стеклопластики, но и у традиционных конструкционных материалов типа чугуна, бетонов и керамики. Такие материалы принято называть разносопротивляющимися. Классические теории не могут правильно оценить напряженно-деформироанное состояние конструкций из материалов, обладающих указанными особенностями. При этом в настоящее время в химической промышленности, строительстве, машино- и авиастроении все больше применяются особо ответственные конструкции. Благодаря этому необходимы надежные теории расчета, согласованные с экспериментальными данными. Учёт эффек-
603
тов разносопротивляемости вносит значительные поправки в напряженно-деформироанное состояние, именно поэтому важно рассмотреть как можно больше видов конструкций, в том числе и цилиндрические оболочки.
Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка из ортотропно-го разносопротивляющегося материала [1]. Главные оси ортотропии совпадают с осями главных напряжений. Геометрические характеристики оболочки: высота Ь, толщина И, радиус срединной поверхности оболочки Я. Один торец цилиндрической оболочки при Р1 = 0 полностью закреплен, а другой торец при Р1 = Ь свободен от закреплений и механической нагрузки. На оболочку действует равномерно распределенная нагрузка дз на внутреннюю поверхность оболочки. Положение любой точки оболочки определяется в гауссовой системе координат Р1, р2, Рз . Местоположение любой точки на срединной поверхности цилиндрической оболочки определяются гауссовыми координатами Р1 и Р2.
Будем рассматривать оболочку в рамках теории пологих оболочек, в которой используются следующие зависимости:
а) компоненты деформации в срединной поверхности (удлинения и сдвиги):
е1 = и,1 +О.502; е2 = у,1 +kw + О.502; у = у,1 +и,2+6102, (1)
где 81, е2 - удлинения; 7 - сдвиг; и, V, w - осевые, касательные и радиальные перемещения; к = 1/Я - главная кривизна; 01, 02 - повороты нормали к срединной поверхности:
01 = ^,1; 02 = ^,2 +Ь; (2)
б) компоненты изгибной деформации (изменения кривизн и кручение):
С1 =-^11; С2 =-^22; т = (3)
где С1, С2 - кривизны; т - кручение;
в) компоненты деформации точки оболочки, отстоящей на расстоянии рз от срединной поверхности, выраженные через компоненты тангенциальных и изгибных деформаций:
е11 =81 + РзС1; е22 =82 + РзС2; 712 = 7 + 2рзТ. (4)
Выражения (1)-(4) являются кинематическими соотношениями. Они справедливы для теории пологих оболочек в квадратичном приближении при малых упругих деформациях.
Примем оболочку достаточно тонкой, при этом будут использоваться традиционные для данного класса задач технические гипотезы Кир-хогфа-Лява:
1) нормаль к срединной поверхности после деформации остается перпендикулярной к этой поверхности в деформированном состоянии;
2) при определении параметров напряженного состояния влиянием
нормальных напряжений Оз можно пренебречь.
В качестве физических зависимостей будем использовать соотношения, предложенные в работе А.А. Трещева [2]. Для конкретизации структурной анизотропии материала оболочки принято ортотропное тело.
С учётом принятых гипотез и при совпадении осей цилиндрической системы координат с главными осями анизотропии физические зависимости запишем в виде:
е11 =(4111 + В1111а11 )°11 +[4122 + В1122 («11 + « 22 )]° 22;
е22 = [4122 + В1122 («11 + «22 )]о1 1 + (А2222 + В2222«22 )о 22; (5)
е12 = (а1 212 + В121^^2«12 )т12. где Акккк, Вкккк, А]у, В]у, Ауу, %/ - константы, зависящие от модулей упругости и коэффициентов поперечной деформации материала; «У = ®У - косинусы напрявляющих углов; £ = ^ОуОу - модуль вектора полных напряжений.
Вычисление констант определяющих соотношений для материалов, обладающих анизотропией, рекомендовано выполнять по результатам простейших экспериментов на одноосное растяжение и одноосное сжатие вдоль главных осей анизотропии, из экспериментов на сдвиг в главных плоскостях или из экспериментов по одноосному растяжению и одноосному сжатию в направлениях, ориентированных под углом 45° к главным осям анизотропии [2]. При этом константы для ортотропного тела вычисляются по формулам:
Акккк = (1/Е+ +
1/Е-)/2;
Вкккк =1Е
1/Е-)/2;
А
У
-V + / Е + +у - / Е - )/2;
У
у = 1 Е+ +1/ЕУ
У
В
У
-№+ / Е + -V- / Е - )/2;
У
У
)-
0.25
1/Е+ +1/Е + +1/Е- +1/Е- )-
■2(п+ /Е++п
-]/ Щ
Вуу =42 (1/Е+-1/Е-)- 0.125 -Л-
1/Е++1/Е+
1/Е]~ -1/Е '
- 4(п+/- //Е]
+
где п+ /Еу = Vу /Е]; п]у /Еу = Vу /Е[~; Ек, Е, Еу - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главным осям анизотропии; п±, - коэффициенты поперечной деформаций при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главным осям анизотропии; Е] - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии.
7 +
7 +
]
±
]
±
±
)
Преобразовав физические зависимости (5) по типу уравнений, используемых в форме метода упругих решений А. А. Ильюшина [3] и выразив напряжения через деформации, получим:
О11 = С11е11 + С12е12 -О22 = С12е11 + C22e12 - R22; (6) т12 = C66e12 - R12,
где
С11 = А2222/ А; С12 = -А1122/ А; С22 = А; С66 = ^А1122; 1 = (А2222Т1 1 " A111 1Т22 VА; R22 = (A1111Т22 " 4122T11 )/А;
^2 = Т121А1122; Т11 = В1111а11О11 + 122(а11 + а22)о22;
Т12 = В1122 т12; Т22 = В2222а22О22 + #1122 (а11 + а22 )о11;
2
А = АШ1A2222 " A1122.
Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, мы не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы. Поэтому остаются справедливыми положения и зависимости геометрически нелинейной теории анизотропных оболочек. Внутренние усилия и моменты приводятся к срединной поверхности 0 3 = 0, и при условии
Ь3k << 1 уравнения равновесия для пологих оболочек принимают вид:
N1,1 + 5,2 + q^ = 0; N2,2 + 5,1 + k (62 + H ,1) + q2 = 0;
Ml,l + н,2-01 - N101 - 502 = 0; м2,2 + н,1 ^2 - ^02 - 501 = 0; (7)
Ql,1 +02,2 +kN 2 + qз = 0, где Nk, 5 - усилия в срединной поверхности оболочки; Qk - поперечные силы; Mk, Н - изгибающие и крутящий моменты; qm - интенсивности внешней нагрузки по соответствующим направлениям.
Поскольку переход от напряжений к их интегральным характеристикам - усилиям и моментам - не зависит от физической природы материала, эти характеристики определим обычным способом:
И/2 И/2
Nk = Iskkdbз; мк = I
-И/2 -И/2 (8)
И/2 И/2 ( )
0к = IОк3^3; Н = I^203^3; -И/2 -И/2
Уравнения совместности деформаций принимается в виде:
2
£%1 +С1С2-7,12 +^1,22 +е2,11 = 0. (9)
В задаче оболочка воспринимает нагрузку в виде внутреннего давления qз. С учётом симметрии рассматриваемой задачи все параметры напряженно-деформированного состояния будут зависеть только от коорди-
наты р^. Поэтому кинематические (1)-(4), статические (7) зависимости, а также уравнение неразрывности (9) принимают вид: е1 = и,1 +0,592; е2 = кк; с = -к,п;
е11 = е1 + рзСь е22 =е2; (10)
= 0; Мы -01 - N$1 = 0; ды -к^ + Яз = 0; к%1 +е 2,11 = 0.
Проинтегрируем соотношения для напряжений (6) по толщине оболочки в соответствии с правилами (8) и подставим получившиеся соотношения для поперечной силы в уравнение равновесия (10). Кроме того, используя уравнение неразрывности деформаций, окончательно получаем систему двух дифференциальных уравнений в смешанном виде относительно неизвестных угла поворота и продольной силы в тангенциальном направлении:
0Ы + КЬ22 N 2,11 = - ^Л2,11;
1 „ 1 1 . , (И)
где
01,11 2 + RP11 Pii Pii
L22 =-Cl1 2 ; Pll = Cnh3 /12;
(С11С22 - С?2)Л
Ci
h/2 h/2
h2 =--— /11 + L22122; Iij = ijfo; Jij = iRjРз«Рз;
(C11C22 - C12) • h -h/2 -h/2
Граничные условия жесткого закрепления при Р1 = 0: 01 = 0;
e2 = 0 ^N2 = ---1-h2-L22
Так как задача является нелинейной, было принято линеаризовать полученные разрешающие дифференциальные уравнения (11), следуя методике последовательных нагружений В.В. Петрова [4]. Полученные линеаризованные разрешающие дифференциальные уравнения достаточно сложны, поэтому для их решения следует прибегать к численным методам, из которых в данном случае наиболее просто реализуется метод конечных разностей с привлечением двухшагового метода последовательного возмущения параметров [5].
Исследуем напряженно-деформированное состояние оболочки, исходная схема которой показана на рис. 1. Для решения задачи воспользуемся следующими исходными данными: толщина оболочки h = 0.03м ; радиус срединной поверхности оболочки R = 0.3м; длинна L = 1.5 м; нагрузка на оболочку равномерно распределенная, приложенная перпендикулярно к внутренней поверхности оболочки, q = 60 МПа. В качестве гранич-
ных условий принято жесткое защемление по одному торцу оболочки. Материал оболочки - трехармированный тканный полимер ГО2-57 [6] со следующими механическими характеристиками: модули упругости -
Е+= 12,75 ГПа, Е- = 14,0з ГПа, Е+= 16,425 ГПа, Е-= 20,6 ГПа; коэффициенты Пуассона - п+2 = 0,176, V- = 0,194.
Рис. 1. Схема исходной задачи
Сравнение результатов расчета по предложенной модели проводилось с результатами расчета, полученными по классической теории анизотропных материалов, на основе программного комплекса ЛШУБ.
На рис. 2 - 4 приведены некоторые наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния оболочки описанной выше. Сплошной линией построены графики, полученные по модели Тре-щева А. А. [2] в программе МЛТЬЛВ, пунктирной - полученные для орто-тропного неразносопротивляющегося материала в программном комплексе ЛШУБ.
Расхождение в значениях максимальных прогибов с учетом и без учета разносопротивляемости составляет 10,1 %.
Для осевых напряжений значения, полученные без учета разносо-противляемости, в заделке превышают результаты по модели с учетом разносопротивляемости на 26,4 %, однако, на расстоянии 0,04Ь-Ь данные с учетом разносопротивляемости превышают результаты без учета разносопротивляемости. Для максимальных растягивающих осевых напряжений значение с учетом разносопротивляемости превосходит результат без ее учета на 49,8 %.
Рис. 2. Прогибы оболочки, м
Для окружных напряжений в заделке значения с учетом разносо-противляемости меньше на 34 %, чем без ее учета. Однако, для максимальных значений растягивающих окружных напряжений данные с учетом разносопротивляемости превосходят результаты без ее учета на 12,7 %, кроме того, на расстоянии 0,3Ь-Ь эти напряжения с учетом разносопротивляемости материала выше на 12,4 %.
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Длина оболочки, разбитая на 200 точек
Рис. 3. Осевые напряжения, кПа
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Длина оболочки, разбитая на 200 точек
Рис. 4. Окружные напряжения, кПа
Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию НДС элементов конструкций на примере круговой цилиндрической оболочки, выполненной из ортотропных разносопротивляющихся материалов, деформируемой под действием равномерно распределенной нагрузкой.
Проанализировав результаты, полученные на рис. 2-4, можно сделать вывод, что учет влияния разносопротивляемости при расчете цилиндрических оболочек значительно влияет на точность расчета параметров напряженно-деформированного состояния. Таким образом, учет зависимости деформационных, прочностных характеристик от вида напряженного состояния необходим для получения достоверных результатов расчета.
Список литературы
1. Спасская М.В. Подход к решению термоупругой задачи для круговой цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющих-ся материалов // Вестник магистратуры. №7. 2013. С. 63-65.
2. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.
3. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
4. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала : учеб. пособие. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. 208 с.
5. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 160 с.
6. Розе А.В., Жигулин И.Г., Душин М.Н. Трехармированные тканные материалы // Механика полимеров. 1970. № 3. С. 471-476.
Трещев Александр Анатольевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, taa58@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Спасская Мария Владимировна, асп., ma71ruska@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
STUDY OF THE EFFECTS OF DIFFERENT RESISTANT MATERIAL ON THE STRESS-STRAIN STATE OF THE ANISOTROPIC CIRCULAR
CYLINDRICAL SHELL
A.A. Treshchev, M. V. Spasskaya
Consider the task of loading of uniform distributed load of thin-walled circular cylindrical shell of different resistant anisotropic material. Shows the system of resolving equations of the task. Present some the most characteristic results of research stress-strain state of the shell and the comparison of the results of calculations by the proposed model with the solution by the classical theory with constant mechanical properties.
Key words: different resistance, anisotropy, cylindrical shell.
Treschev Alexander Anatolievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, [email protected], Russia, Tula, Tula state University,
Spasskaya Maria Vladimirovna, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula state University
