CC BY
94
Shadsky Gennady Victorovich, doctor of technical science, professor, stan-ki@,uic. tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Salnikov Sergey Vladimirovich, postgraduate, sergeysalnikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 539.38:539.377
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА
А. А Трещев, М.В. Спасская
Рассматривается задача термоупругости для круговой цилиндрической оболочки, выполненной из разносопротивляющегося материала, обладающего свойством анизотропии. Приведена система разрешающих уравнений поставленной задачи. Приведены некоторые наиболее характерные результаты исследования напряженно-деформированного состояния оболочки и выполнен их анализ.
Ключевые слова: разносопротивляемость, анизотропия, термоупругость, цилиндрическая оболочка.
Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка из ортотропно-го разносопротивляющегося материала [1]. Главные оси ортотропии совпадают с осями главных напряжений. Геометрические характеристики оболочки: высота Ь, толщина И, радиус срединной поверхности оболочки Я. Один торец цилиндрической оболочки при Р1 = 0 полностью закреплен, а другой торец при Р1 = L свободен от закреплений и механической нагрузки. На оболочку действует разность температур: температура внутренней Т и наружной T2 поверхности, а также равномерно распределенная нагрузка qз на внутреннюю поверхность оболочки. Примем, что изменение температуры в оболочке происходит только по ее толщине, чтобы разность температур на внутренней и наружной поверхностях АГ являлась функцией от координаты Р3 . Положение любой точки оболочки определяется в гауссовой системе координат Р1, Ь2, Р3. Местоположение любой точки на срединной поверхности цилиндрической оболочки определяются гауссовыми координатами Р1 и Р2.
Будем рассматривать оболочку в рамках теории пологих оболочек,
в которой используются следующие зависимости:
а) компоненты деформации в срединной поверхности (удлинения и сдвиги):
е1 = ыл +О.502; е2 = у,1 + 0.502; 7 = +и,2+0102, (1) где 81, е2 - удлинения; 7 - сдвиг; и, V, w - осевые, касательные и радиальные перемещения; к = 1/Я - главная кривизна; 01, 02 - повороты нормали к срединной поверхности:
01 = ^,1; 02 = ^,2 +Ь; (2)
б) компоненты изгибной деформации (изменения кривизн и кручение):
С1 =-^11; с 2 =-^22; (3)
где %1, С2 - кривизны; т - кручение;
в) компоненты деформации точки оболочки, отстоящей на расстоянии рз от срединной поверхности, выраженные через компоненты тангенциальных и изгибных деформаций:
е11 =81 + РзСЬ е22 =82 + ЬзС2; 712 = 7 + 2рзТ. (4)
Выражения (1)-(4) являются кинематическими соотношениями. Они справедливы для теории пологих оболочек в квадратичном приближении при малых упругих деформациях.
Примем оболочку достаточно тонкой, при этом будут использоваться традиционные для данного класса задач технические гипотезы Кир-хогфа-Лява:
1) нормаль к срединной поверхности после деформации остается перпендикулярной к деформированной срединной поверхности;
2) при определении параметров напряженного состояния влиянием нормальных напряжений 03 можно пренебречь.
Рассматривается несвязанная задача термоупругости, поэтому она распадается на две независимые задачи: механики сплошной среды и термодинамики. Чтобы получить уравнения, учитывающие температурное воздействие, к уравнениям необходимо добавить соответствующие компоненты температурных деформаций.
В качестве физических зависимостей будем использовать соотношения, предложенные в работе А.А. Трещева [2]. Для конкретизации структурной анизотропии материала оболочки принято ортотропное тело.
С учётом принятых гипотез и при совпадении осей цилиндрической системы координат с главными осями анизотропии физические зависимости запишем в виде:
е11 =(4111 + В1111а11 )°11 + [А1122 + В1122 («11 + а 22 )]° 22 + «1ТАТ;
е22 = [А1122 + В1122 («11 + «22 )]о11 + (А2222 + В2222«22 )о 22 + «2ТАТ;
е12 =(а1212 + В1212^а12 )т12.
где Акккк , Вкккк, А11]], В11]] , А/т/ , %/ - константы, зависящие от модулей упругости и коэффициентов поперечной деформации материала; аТ/ = ®у - косинусы напрявляющих углов; £ = ^О/О/ - модуль вектора полных напряжений а^, а2Т - коэффициенты линейного теплового расширения.
Вычисление констант определяющих соотношений для материалов, обладающих анизотропией, рекомендовано выполнять по результатам простейших экспериментов на одноосное растяжение и одноосное сжатие вдоль главных осей анизотропии, из экспериментов на сдвиг в главных плоскостях или из экспериментов по одноосному растяжению и одноосному сжатию в направлениях, ориентированных под углом 45° к главным осям анизотропии [2]. При этом константы для ортотропного тела вычисляются по формулам:
Акккк =(1/Е+ +1/Е-)/ 2; Вкккк =(1/Е+ -1/Е-)/2;
% =-(п +/ Е + -/ Е -)/2;
% =-(п +/ Е -/ Е -)/2;
(1/Е+ +1/Е-)-
0.25
1/Е+ +1/Е + +1/Е~ +1/Е/)-
+ / 77 +
2(V/ /Е] +п/ /Е]
В// = л/2(1/Е+ -1/Е-)-0.125 • л/2 •
1/Е++1/Е + -1/Е-
■V- / Ет
1/Е
где п+ /Е+ = п+/ /Е+; V- /Е-
п-т/ЕГ
4(п+/ / Е+ Е±, Е±, Е± - модули упругости
при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главным осям анизотропии; п±, п±] - коэффициенты поперечной деформаций при растяжении и сжатии в направлениях соответствующих главным осям анизотропии; к/ - модули упругости при растяжении и сжатии в направлениях
под углом 45° к соответствующим главным осям анизотропии.
Преобразовав физические зависимости по типу уравнений, используемых в форме метода упругих решений А. А. Ильюшина [3] и выразив напряжения через деформации, получим:
О11 = С11е11 + С12е12 - ^11 "Ф1Г; О22 = С12е11 + С22е12 - К22 - Ф2Т; (5)
т12 = С66е12 - ^12,
где
С11 = А2222/ С12 = -А1122/ С22 = А1111/ Д; С66 =1/А1122;
R11 = (A2222T11 - A111 1T22 VA; R22 = (Alll 1T22 - A1122 T11VA;
R12 = T12l A1122; T11 = B1111a11G11 + B1122 (a11 + a22 )s22;
T12 = B1122^2U12 T12; T22 = B2222a 22s22 + B1122 (a11 + a22 )s11;
jlT = C lalT DT + Cl2a 2T AT; j2T = Cl2«lT AT + C22« 2TAT;
2
A = A1111A2222 - A1122-
Принимая за основу те или иные определяющие соотношения, мы не вносим изменений в соотношения статико-геометрической природы. Таким образом, остаются справедливыми основные положения и зависимости геометрически нелинейной теории анизотропных оболочек. Внутренние усилия и моменты приводятся к срединной поверхности | 3 = 0, и с учётом условия | 3 k << 1 уравнения равновесия для пологих оболочек определяются соотношениями:
N1,1 + S ,2 + 41 = 0; N2,2 + S ,1 + k (02 + H ,1) + 42 = 0;
Ml,l + H,2-01 - Nl0l - S02 = 0; M2,2 + H,1 -02 - N262 - S01 = 0; (6)
01,1 +02,2 +kN 2 + 43 = 0,
где Nk, S - усилия в срединной поверхности оболочки; 0k - поперечные силы; Mk, H - изгибающие и крутящий моменты; qm - интенсивности внешней нагрузки по соответствующим направлениям.
Поскольку переход от напряжений к их интегральным характеристикам - усилиям и моментам - не зависит от физической природы материала, эти характеристики определим обычным способом:
h/2 h/2
Nk = iGkkd|3; Mk = iSkkMlb;
-h/2 -h/2 (7) h/2 h/2 ( ) 0k = isk3^13; H = JG^db; -h/2 -h/2
Уравнения совместности деформаций принимается в виде:
2
k%l +ClC 2-t -g,l2 +e1,22 +e 2,11 = 0. (8)
В задаче оболочка воспринимает нагрузку в виде внутреннего давления 43. С учётом симметрии рассматриваемой задачи все параметры напряженно-деформированного состояния будут зависеть только от координаты |l. Поэтому кинематические (1)-(4), статические (6) зависимости, а также уравнение неразрывности (8) принимают вид:
el = u,l +0,502; e2 = kw; c = -w,n;
ell =el +b3Cl; e22 =e2; (9)
N1,1 = 0; Mi,I-01 -N161 = 0; Qlsl-kN2 + 43 = 0; kCl +e 2,ll = 0.
Проинтегрируем соотношения для напряжений (5) по толщине оболочки в соответствии с (7) и подставим получившиеся соотношения для поперечной силы в уравнение равновесия (9). Кроме того, используя уравнение неразрывности деформаций, окончательно получаем систему двух дифференциальных уравнений в смешанном виде относительно неизвестных угла поворота и продольной силы в тангенциальном направлении:
01,1 + ^ 2,11 = - Кл 2,11- Кл 2Т ,11;
0
1
Ь11"
т
N 2
1
11
Р
1
43 3
1
11
Р
11,1
11
Р
С1Т ,1
(10)
11
где
^22 -
с
11
(С11С22 -С(2)И
Рп -Сллк3 /12
11
11
Л2 -
С
12
(С11С22 -С12) •И И/2 И/2
I Ку^з;
- И/2
Граничные
111 + ^22122; Л2Т —
С
12
е1Т + ^22е2Т;
(С11С22 -С12)•И И/2 И/2
IМРз; е1т - IФ/т^Рз; ст - IФ/тРз^Рз.
е2 - 0 ^ N2
1
Л2
- И/2 условия
1
-И/2 -И/2
жесткого закрепления: 01 - 0;
Л2Т.
^2 ^22
Для определения температурных компонент в уравнении (10) следует отдельно рассмотреть задачу о передаче тепла через поверхность оболочки. Процесс теплопередачи описывается классическим уравнением теплопроводности, которое для одномерного случая можно записать в виде: Т^ - азТ,33, где ? - текущее время; 03 -1/с - коэффициент температуропроводности, характерицующий темплоинерционные свойства тела; 1 -коэффициент теплопроводности; с - удельная объемная теплоемкость тела.
Так как рассматривается достаточно тонкая оболочка и коэффициент температуропроводности рассматриваемых материалов относительно велик, то установление линейного распределения температуры по толщине оболочки наступает достаточно быстро в течение короткого промежутка времени. В связи с этим целесообразно рассматривать момент времени, когда распределение температуры установилось.
В определенный момент времени, когда будет наблюдаться установившееся температурное распределение по толщине оболочки, для вычисления перепада температур ДТ в любой точке по толщине можно воспользоваться линейным законом распределения температуры:
Т(Р3) - (Т2 - Т )Р3 /И + (Т + Т2)/2 - Т0,
где Т - температура на внутренней поверхности оболочки; 72- температура на внешней поверхности оболочки; То - начальная температура оболочки.
Так как задача является нелинейной, было принято линеаризовать полученные разрешающие дифференциальные уравнения, следуя методике последовательных нагружений В.В. Петрова [4]. Полученные линеаризованные разрешающие дифференциальные уравнения достаточно сложны, поэтому для их решения следует прибегать к численным методам, из которых в данном случае наиболее просто реализуется метод конечных разностей с привлечением двухшагового метода последовательного возмущения параметров [5].
Исследуем напряженно-деформированное состояние оболочки, исходная схема которой показана на рис. 1. Для решения задачи воспользуемся следующими исходными данными: толщина оболочки И = 0.03м ; радиус срединной поверхности оболочки Я = 0.3м; длинна Ь = 1.5 м; нагрузка на оболочку равномерно распределенная q = 60 МПа. Температурный режим: перенос тепла осуществляется благодаря теплопроводности оболочки; на внутренней поверхности оболочки температура поддерживается постоянной 71 =+10 °С; на внешней поверхности оболочки температура также поддерживается постоянной = +40 °С; в начальный момент времени оболочка имеет температуру 7з = 0 °С . Материал оболочки - трех-армированный тканный полимер П32-57 [6] со следующими механическими характеристиками: модули упругости - Е+ = 12,75 ГПа, Е- = 14,03 ГПа, Е+ = 16,425 ГПа, Е- = 20,6 ГПа; коэффициенты Пуассона - "У+2 = 0,176, V— = 0,194. Температурные характеристики материала: коэффициенты линейного теплового расширения а1 = 33 -10-5 °С-1, а± = 40 • 10-5 °С-1 [7].
Рис. 1. Схема исходной задачи
572
На рис. 2 - 4 приведены некоторые наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния оболочки описанной выше. Показаны решения, полученные по модели Трещева А.А. [2], с учетом температурного воздействия на цилиндрическую оболочку. Сплошной линией построены графики, полученные без учета температурного воздействия, пунктирной - с учетом.
Расхождение в значениях максимальных прогибов с учетом и без учета температурного воздействия составляет 20,8 %.
Для осевых напряжений во внутренней поверхности оболочки значения, полученные без учета температуры, в заделке превышают результаты с учетом температурного воздействия на 7,8 %, кроме того, на расстоянии 0,3Ь-Ь данные с учетом температуры ниже на 56,6 %. Однако, для максимальных сжимающих осевых напряжений во внутренней поверхности оболочки значение с учетом температурного воздействия превышает результаты без учета температуры на 54,3 %. Для осевых напряжений во внешней поверхности оболочки значения, полученные без учета температуры, в заделке меньше результатов, полученных с учетом температурного воздействия, на 33,2 %. Однако, для максимальных растягивающих напряжений значение без учета температуры превосходит результат с учетом температурного воздействия на 68,1 %. Кроме того, на расстоянии 0,125Ь-Ь температурное воздействие вообще меняет знак напряжений.
Рис. 2. Прогибы оболочки, м
Для окружных напряжений во внутренней поверхности оболочки значения, полученные без учета температуры, в заделке превышают результаты с учетом температурного воздействия на 55,9 %. Для максимальных окружных напряжений во внутренней поверхности оболочки значения с учетом температуры меньше на 10,8 %, чем без ее учета. Для окружных напряжений во внешней поверхности оболочки значения, полученные без
учета температуры, в заделке более чем в 3 раза меньше результатов с учетом температурного воздействия. Для максимальных окружных напряжений во внешней поверхности оболочки значения с учетом температуры меньше на 42,4 %, чем без ее учета.
Рис. 3. Напряжения О} ! во внешней поверхности оболочки, кПа
Рис. 4. Напряжения о22 во внешней поверхности оболочки, кПа
Проведенные исследования позволили получить новое решение научно-технической задачи механики деформируемого твердого тела, заключающееся в разработке математической модели и программного комплекса, ориентированных на решение задач по исследованию НДС элементов конструкций на примере круговой цилиндрической оболочки, выполненной из анизотропных разносопротивляющихся материалов, работающих в условиях термомеханического загружения.
Проанализировав результаты, можно сделать вывод, что учет тем-
пературного воздействия при расчете цилиндрических оболочек вносит значительные поправки в картину напряженно-деформированного состояния. Таким образом, учет температурного воздействия необходим для получения достоверных результатов расчета.
Список литературы
1. Спасская М.В. Подход к решению термоупругой задачи для круговой цилиндрической оболочки из анизотропных разносопротивляющих-ся материалов // Вестник магистратуры. №7. 2013. С. 63-65.
2. Трещев А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2008. 264 с.
3. Ильюшин А. А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
4. Петров В.В., Кривошеин И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала : учеб. пособие. М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2009. 208 с.
5. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. 160 с.
6. Розе А.В., Жигулин И.Г., Душин М.Н. Трехармированные тканные материалы // Механика полимеров. № 3. 1970. С. 471-476.
7. Каргин В.А. Энциклопедия полимеров. М.: Советская энциклопедия, 1972. Т. 1. 1224 с.
Трещев Александр Анатольевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, taa58@yandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Спасская Мария Владимировна, асп., ma71ruska@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DECISION THERMOELASTIC TASK FOR A CYLINDRICAL SHELL OF DIFFERENT RESISTANT ANISOTROPIC MA TERIAL
A.A. Treshchev, M.V. Spasskaya
Consider the task of thermoelasticity for a circular cylindrical shell of different resistant anisotropic material. Shows the system of resolving equations of the task. Present some the most characteristic results of research stress-strain state of the shell and made their analysis.
Key words: different resistance, anisotropy, thermoelasticity, cylindrical shell.
Treschev Alexander Anatolievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, taa58@yandex. ru, Russia, Tula, Tula state University,
Spasskaya Maria Vladimirovna, postgraduate, ma 71ruska@,mail. ru, Russia, Tula, Tula state University
