CC BY
51
11. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением / В.Л. Колмогоров. - Екатеринбург: Изд-во УГТУ, 2001. - 836 с.
12. Богатов А.А. Ресурс пластичности металлов при обработке давлением / А.А. Богатов, О.И. Мижирицкий, С.В. Смирнов. - М.: Металлургия, 1984. - 144 с.
Получено 17.01.08.
УДК 539.3
А.А. Трещев, А.А. Петров,В.Г. Теличко (Тула, ТулГУ)
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ИЗ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ ТЕРМОСИЛОВОГО НАГРУЖЕНИЯ
Предложена математическая модель расчета изгиба тонких прямоугольных пластин, выполненных изразносопротивлмющихсм материалов, свойства которых зависят от изменений темпееатуры. Полгчены разрешающие уравненнм и численное решение методом конечных элементов с использованием пакета FlexPDE 5 (PDE Solutions Inc.).
За сорок лер интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность их механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество определяющих соотношений разносопротивляющихся сред, базирующихся на различных технических гипотезах. Однако, несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теооии деформирования разносопро-тивляющихся сред, совершенно недостаточно внимания уделено зависимости от вида напряженного состояния такой характееистики материла, как коэффициент линейного температурного расширения, и вообще - разномодульной теории упругости. Между тем, например в работах П.Е. Харта [1] было показано, что для нeкотoчых марок графита коэффициенты линейного температурного расширения могут различаться на 100 и более процентов в зависимости от вида реализованного напряженного состояния.
В работе Н.М. Матче нко и А.А. Трещева [2] в рамках закона теплопроводности Фурье и классических условий динамического равновесия получены основные дифференциальные уравнения разн омодул ной теории термоупругости: уравнение теплопроводности, включающее в связанном случае учет влияния вида напряженного состояния, и уравнения динамиче-
ского равновесия. Также в этой работе решены следующие задачи термоупругости: о плоском деформированном состоонии полого разномодульного цилиндра при нестационарных термосиловых воздействиях, об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии полого раномодульного цилиндра при стационарных термосиловых воздействиях.
Используя аналогичную методику, в данной работе получены ра-решакмцие уравнения для решения связанной задачи о расчете плосконапряженного состояния прямоугольных пластин из материалов с усложненными свойствами в условиях термомеханического нагружения.
Уравнения состояния термоупругого изотропного рано сопротивляющегося материала представлены следующими формулами:
еу = 2 ~2 сту + 2 (~1 - ~2 )стУ/ 3
й Г
Т~ =1 3
3~2~у ' 3
Ь = (ЬЙ£ + 2 +
2
у + 3 ь 2 уу 0 + Тцу;
йТ
2Ь3Ш + 0,5^2 )+Л
£
(л2 +1,^2Ь~5 )-Ь~5^3соб3ф
СТу + (1)
1
+ -3
2 + ¿>5^со83ф)—(~?3^2 + ¿4^2)— Ь~5 ^3 - г|£,2 )соб3ф+ ^д/2~5Щу
+ 3 (("^1а] + УуЬ2 )0O,
которые можно получить, применив операции дифференцирования по формулам еу -
дГ , дГ
---- и Ь = — к термодинамическому потенцилу Г иб-
дсти дТ
У
бса Г = Г сту, Т) [2], где е/у - деформации; сту - напряжения; Ь/, Ь/ - константы потенциал [2]; а у - нормированные напряжения; соб3ф - фао-
вый инвариант; л и £ - некоторые гармонические функции, которые можно трактовать как нормированные нормльные и касательные напряжения на октадрической площадке; Ь - плотность энтропии; Г - потенциа Гиббса; Т - температура тела.
Обраща для выражений деформаций (1) линейные елены уравнений, получим
сту = (1 + ^2 )еу — 3^еУу-^300Уу — Ну ,
п =_______А±С_=(~1~Ь’2 ); п =__________________С______=(~1 - ¿2 ); (2)
М (-С)(А + 2С) Ь 1Ь 2 ’ 2 (-С)А + 2С) 2~ Ь2 ’
П =Т^ = 2Ь'2/9Ь1; Ну = ( + 02Ху-027«,у; Т = Ту8у;
А + 2С
А, = 0,5(а+1 + а-); В, = 0,5(а+ - а-1); а+, а- - коэффициенты линейного теплового расширения в продольном и поперечном направлениях соответственно.
Рассматрива плокое напряженно состояние с параметрами СТ33 = СТ13 =ст23 =0, из формулы (2) можно выраит деформации е33, е23 и
е23 :
е33 = ПГ(н33 + 0°П3П2 (е11 +е22)) е13 =0 П"’ е23 = п +0 • (3) п1 п1 + п2 п1 + п2
Таким обраом, можно получить зависимости для любой поверхноста
п ластит!:
ст11 =(П1 +П2)е11 -П>2 е11 +е22 + ~(н33 + 0°П3 +П2(е11 +е2^) ~П3 ~Н 11;
V П1 )
ст22 =(П1 +П2)е22-П2 е11 +е22 + ПГ(н33 +0°п3 +П2(е11 +е2^) -П3 -Н22; (4)
V П1 )
ст12 = (п1 +П2)е22 -Н12-Для этой же поверхности имеют место гипотезы Кирхгофа в форме
еу = УУ + Х3Хгу; уу = 2(,у + иу,/’Т %у = -^,у • (5)
Учитыва записанно выше, можно пееейти к определениям усилий в срединной поверхности по фоомулам
к/2 к/2
N у = ¡Стуйх3; М/у = \стуХ3йх3. (6)
-к/2 -к/2
Для этих усилий имеем уравнения статики (с учетом продольных усилий в срединной плоскости):
+11,1 + ++12,2= 0;
+12,1 + ++22,2 =°; (7)
М11,11 +2М12,12 +М22,22 = -# (x1, х2 )-+11^,11-2+12 ^12-+22 ^22 •
Для температуры тлже имеется уравнение притока тепла в форме [2]:
*0й - Со0} - (3А,ст, +Б,8, )т0 +и =0. (8)
Это уравнение следует переписать в перемещениях с учетом отсутствия локальных источников тепла и:
U 3 %UU; S л/'Л/ ; SV UU S(/U; 1 J3 SjSj ;
,______ S (9)
о 2 2r u 1 о S t-2 2 1
So = Va +x ; ^ = —; л = —; So = ^=; S +л =
S0 S0
где S - вектор полного напряжения.
Подставляя уравнение (6) в (7) и учитывая (2) - (5) можно получить замкнутую систему уравнений равновесия пластины прямоугольной формы в перемещениях. Полученные уравнения равновесия и уравнение притока тепла образуют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих плосконапряженное состояние прямоугольных пластин в уссовиях термомеханического нагружения.
В связи с громоздкостью получаемых уравнений в общем виде на практике вывод разрешающих уравнений целесообразно осуществлять для конккетной задачи путем использования системы аналитических расчетов MAPLE 10 (Maplesoft, Waterloo Inc., Canada), используя конкретные значения параметров и констант.
Для демонстрации возможностей предлагаемой математической модели решалась следующая задача: дана квадратна пластина толщиной h=4 мм со стороной l = 100 мм, жестко защемлена по контуру, материал графит АРВ [1,2]. Пластина нагружалась равномерно распределенной нагрузкой q=10 кПа. Также осуществляла нагрев поверхности пластины с пееепадом температур 40 ° С. Начальные температурные условия принимались следующие: ©|^=0 =50 °С - на нижней поверхности
пластины; ©|^=0 =10 ° С - на верхней поверхности пластины, начальна
температура пластины 70 =0 °С. Механические халактеристики графита: модуль упругости E + = 104 МПа; E+/E~ = 0,8; коэффициент Пуассона V =0,2; v_ =0,3; плотность р = 1700 кг/м3 ; коэффициенты линейного теплового расширения =4,0-10 6К 1; коэффициент теп-
лопроводности ^ = 150 Вт/(м-К); теплоемкость материла при постоянном напряжении [2] Са =500 Дж/(кг-К).
После выполненных преобраований с учетом исходных данных, укаанных выше, разрешающая система дифференциальных уравнений в частных производных приобрела (в левой части - выделены линейные компоненты, а в правой - нелинейные) следующий вид:
а2 а2
0,226—— U1 (х1, Х2, t)+ 0,152------U2 (x1, X2, t )+
Xx- 5X10X2
a2
+ 0,074--U1 (x1, X2, t ) = g1(x1, x 2, X3, t)
Xx I
X2 X2
0,074------u 2 (1, X2,t)+ 0,152-----U1(x1, x 2, t)+
Xxj2 XX1XX2
X2
+ 0,226—2 u 2 (1, x 2, t )= g2 (x1, X2, X3,t),
XX22
X4 x4 x4
-3-0-5------ w(X1,X2,t)-6-0-6-------- —-w(x1,X2,t)— 3-0-5-------- w(x1,X2,t)- (10)
XX1 XX1XX2 XX2
X2 X2
- 0,027-----w(x! , X2, t)- 0,027-w(x1, X2, t ) = g3 xx1, X2, X3,t);
Xx2 Xx2
X2 X X2
150 —— 0 (.X3, t) - 800—0x^X3, t) - 0,0574---u (x1 , X2, t) -
Xx32 Xt Xt Xx1
X2
- 0,0574—— U2 xX1, X 2, t )= g 4 (X1, X 2, X3, t).
Xt Xx—
где w(x1,X2 ,t) - функция вертикального прогиба; U1(x1 ,X2,t) - перемещения в срединной плоскости вдоль оси X1; U2 (X1, X2, t) - пермещения в срединной плоскости вдоль оси X2; 0x^X3 , t) - функция темпбеэтуры; gi (x1,X2,X3, t)
(i = 1..4) - компоненты раршающей системы уравнений, содержащие в себе нелинейные компоненты, в частности, функции Hi j(x1, X2,X3, t), подлежащие
численному определению.
Рарешающие уравнения (10) с начальными и граничными условиями [2] представлены в форме, где все нелинейные члены выписаны в правых частях. Эта форма удобна для применения метода «упругих решений», который и применялся для ршения конкрешой задачи. Решение системы дифференциальных уравнений осуществлялось в пакете FlexPDE 5 (PDE Solutions Inc., USA), с помощью которого на каждой итерации по методу «упругих ршений» искалось частное решение системы (10) в рамках метода конечных элементов.
В процессе решения пролеживался процесс влияния темпетатуры на механичекие характеристики материалов и напряженного состояния на рат-прделение температуры по толщине пластинки, расчитывались рacпудeле-ние температуры по толщине пластинки, характеристики ее напряженно-дeфoрмиpoвaннoго состояния с учетом температурного воздействия.
На рис. 1 приведены вычисленные значения температурных напряжений ад для тонкой квадратной пластины вдоль ее диагонали соответственно сверху и снизу для связанной и несвязанной задач термоупругости.
Результаты расчета напряжений подтверждают гипотезу о том, что совместный учет взаимовлияния напряженного состоония и коэффициентов линейного температурного расширения является существенным для точности и достоверности результатов численного моделирования задач по определению напряженно-деформированного состояния пластин. Ранца между
решениями связанной и несвязанной задач достигает 15 %.
.16 J lililí
0 2 4 6 8 10 12 /,м102
Рис. 1. Распределение температурных напряжений oq вдоль
диагонали пластиныг l: для несвязанной задачи.- напряжения
на нижней поверхности;-----напряжения на верхней поверхности
пластины; для связанной задачи--напряжения на нижней поверх-
ности, - ------- - напряжения на верхней роверхности рластиныг
На рис. 2 показано распределение прогибов w тонкой пластины вдоль ее диагонали. Из графика также можно сделать вывод, что учет совместного термосилового нагружения значительно влияет нарезу льтаты расчетов, позволяя получить более точное соответствие теории и эксперименту [1,2]. На рис. 3 покаано распределение температуры по толщине пластины.
ж, м'104
-10 ---------------------------------
0 2 4 6 8 10 12 /, м Ю2
Рис. 2. Результаты расчета вертикальных прогибов платины уу
при различных видах нагрузки вдоль диагонали пластины:---------------
с учетом только меанического наружения;-------------------с учетом только
темпер атуунлго воздействия, ---------с учетом обоих факторов
нагрузки
Рис. 3. Распределение температуры Тпо толщине Н в центр плана
пластины
Проведенные расчеты четко указывают на нелинейных характер деформирования конструкций из материалов с усложненными свойствами, а также подчеекивают важность решения задач термоупругости в связанной постановке, что позволет добитьсс более точных и реаистичных резултатов моделирования по ссавнению с уже известными способами решения подобных задач.
Библиографический список
1. Hart, P.E. The affect of pre-stressing on the thermal expansion and Young’s modulus of graphite / P.E. Hart// Carbon. - 1972. -Vol.107.-P. 233-236.
2. Матченко Н.М. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости / Н.М. Матченко, А.А. Трещев. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2004. - 211 с.
Получено 17.01.08.
УДК 539.374; 621.983
Е.Ю. Поликарпов (Королев, ЗАО «ЗЭМ РКК «Энергия» им. С.П. Королева»)
СВЯЗЬ ХАРАКТЕРИСТИК АНИЗОТРОПИИ С КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКОЙ ТЕКСТУРОЙ ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ ПЛОТНОУПАКОВАННЫХ МЕТАЛЛОВ
Приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований влияния кристаллографической текстуры на коэффщиент нормальной пластической анизотропии гексагональных плотноулакованных металлов.
Работа выполнена по гранту Президента Российской Федерации для под-держкк ведущих научных школ (№ 4190.2006.8), гранту РФФИ (№07-01-96409) и государственному контракту Федерального агентства по науке и инновациям (№ 02.513.11.3299).
Способность листовых материалов к глубокой вытяжке характеризуется коэффициентом нормаьной пластической анизотропии , определяемым отношением приращений пластических деформаций по ширине и по толщине обрацапри испытаниях на растяжение [1, 2]. При этом удовлетворительна штампуемость достигаетсс при R = R^ ^ 1, где Кр получают усреднением значений коэффициента нормаьной пластической анизотропии, полученных при испытания в раличных направлениях (обычно под углами 0, 45 и 90° к направлению прокатки).
Как покаывает анаиз экспериментальных данных для сплавов титана (табл. 1), величина R:v в значительной меее определяется характеристиками кристаллографической текстууы. Создание в летах титановых сплавов текстуры с маыми углами наклона баисных плоскостей к поверхности листа приводит к RCI, > 1, тогда как появление ориентировок с большими значениями этих углов снижает коэффициент нормаьной пластической анизотропии до величин, меньших единицы (см. табл. 1). Уве-
