CC BY
52
2. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2008. 264 с.
3. Трещев А.А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопро-тивляющихся материалов. М.; Тула: РААСН; ТулГУ. 2007. 160 с.
4. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: СГУ, 1975. 119 с.
A.A. Treschev, N.V. Vasiliev
SIMULATIONSTRESS-STRAINSTATE FOR FLEXIBLE LAMINATED PLATES OF ANISOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRIC NONLINEARITY
Modeling of stress-strain state of flexible laminated plates of anisotropic different resistant materials. The results of the calculation model problems on the definition of the stress-strain state of layered plates of anisotropic different resistant materials are discussed.
Key words: plate, anisotropy, stress-strain state, different resistant, large deflections
УДК 539.3
A.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, [email protected],
B.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-54-58, [email protected], Д.С. Чигинский, асп., (8920) 276-86-72, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
АНАЛИЗ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Рассматривается возможность использования нормированных пространств напряжений для построения уравнения состояния изотропных существенно нелинейных разносопротивляюгцихся материалов, находягцихся в условиях термомеханического нагружения.
Ключевые слова: термоупругость, разносопротивляемостъ, нелинейные материалы, разносопротивляющиеся материалы, пластины, термомеханический изгиб.
Методика нормированных пространств, предложенная в работе
Н. М. Матченко и А. А. Трёщева [1], позволяет получить уравнения состояния для изотропных существенно нелинейных разносопротивляющих-ся материалов, находящихся в условиях термомеханического нагружения. Будем считать, что для пропорционального или близкого к нему нагруже-
ния компоненты полной деформации складываются из упругой и
пластической составляющих, а также составляющей деформации, коУ
торая возникает от влияния поля температуры еГу. Тогда термодинамический потенциал Гиббса упрочняющегося материала для случая нагружения представим в виде суммы квазилинейной, нелинейной и температурной частей. При этом квазилинейная и нелинейная части данного потенциала будут совпадать с точностью до констант, а нелинейность деформирования будет учитываться показателем степени п.
Ставя задачу построения общей теории термоупругих нелинейных разносопротивляющихся материалов, необходимо отказаться от подхода, основанного на принципе суперпозиции, и использовать понятия неравновесной термодинамики. Будем рассматривать малые изменения температуры, такие, когда 9° / Гд = 1, тогда зависимостью механических и теплофизических характеристик материала от температуры можно пренебречь (здесь 0°=71-71о - изменение температуры от начального ненапряжённого состояния; Т - конечная температура в точке тела; Г0 -начальная температура в точке тела в ненапряжённом состоянии).
Влияние вида напряжённого состояния на деформационные характеристики материала учитываем на базе методик нормированных пространств напряжений [4], тогда используя характеристики нормированного пространства №2, представим термодинамический потенциал Гиббса:
Г = (V,ф,50) + (V,Ф,50) + (у,50,Т), (1)
где \¥е, 1¥р, - квазилинейная, нелинейная и температурная составляю-
щие термодинамического потенциала Гиббса соответственно; у, Ф, ^0 -инварианты второго нормированного пространства; \(/, ф - угол и фаза напряжений; - модуль вектора полного напряжения на октаэдрической
площадке и норма пространства №2.
Принимая ненапряжённое состояние среды за естественное, приходим к необходимости исключить из разложения 1¥е члены, имеющие показатель степени ниже второй. Тогда квазилинейную составляющую 1¥е можно представить в виде
Фе=Фе(\\г,<р)8 о- (2)
Нелинейную часть потенциала запишем подобно квазилинейной, при этом фактор нелинейности связей между напряжениями и деформациями учтём показателем степени п:
548
(3)
где п - не обязательно целое число.
Температурную составляющую термодинамического потенциала Гиббса (1) выразим через степенной полином от нормы второго пространства .Уд с коэффициентами разложения, зависящими от качественных инвариантов \|/, ф и температуры:
тогда вид функции (1) с учётом (2), (3), (4) легко позволяет реализовать положение, по которому энергия Гиббса обращается в ноль только в случае естественного ненапряжённого состояния среды при отсутствии начальной температуры.
Коэффициенты аг- разложим в ряд в окрестности естественного состояния и все температурные слагаемые (4) представим одной функцией:
Физический смысл (5) заключается в учете взаимного влияния напряженного и термического состояния деформируемой среды. Опираясь на положения классической теории термоупругости, можно предположить, что главную роль здесь играет гидростатическое давление.
Коэффициент выразим в виде полинома по степеням нормированного напряжения:
где о = (5уЬу 13 - средние нормальные напряжения; с у - компоненты тен
средние касательные напряжения; Бу = о у - 8гуО - компоненты девиатора напряжений.
Ограничившись квадратичным разложением с сохранением только лишь линейных слагаемых относительно температуры и опуская незави-
Щ = «О (т) + «1 (т> ¥» ф) %
(4)
(5)
^ = о / %
(6)
сящие от 9^ компоненты, получим
«1 (т, у) = Ь, 10° + Ь, 2еО1;,
(V)
где Ьг\, ЬГ2 - температурные константы,
2 = 0,5 ос^ + - коэффициенты линейного теплового расши-
рения в продольном направлении, полученные при растяжении (+) и при
Отметим, что даже такое простейшее представление позволяет учесть влияние вида напряженного состояния на коэффициенты линейного температурного расширения материала.
Используя полиномиальное разложение функции Фе и Фр по степеням качественных характеристик напряжённого состояния до третьей степени включительно и пренебрегая одновременным влиянием на механические характеристики трёх нормированных напряжений, получим термодинамический потенциал Гиббса в виде
части; = cos\j/ = o/Sq и Г| = sin \j/ = %/Sq - гармонические функции, кото рые трактуются как нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; созЗф - фазовый инвариант.
В нормированном пространстве №1 потенциал Гиббса (1) запишет ся в виде
где Іа,ІІІа,8 - инварианты первого нормированного пространства, Лх = ак = а1 + а2 + а3 ’ Ша = акакак •> $ ~ модуль вектора полного напряжения и норма пространства №1; (Х/с = 0/(/8 - нормированные напряжения (А: = 1,2,3); - главные напряжения.
Используя полиномиальное разложение функции Фе и Фр по степеням качественных характеристик напряжённого состояния до третьей степени включительно и пренебрегая одновременным влиянием на механические характеристики трёх нормированных напряжений оцо^осз, получим термодинамический потенциал Г иббса вида
г = {ке }[Wo ] + ({Kp }[Wo ])” +г( (0o) + ( B, 0o + a, 0o I a) S, (1Q)
где We =(Ae + Be^)o2 +(Ce + De^ + Ee^cos39)x2; Ae, Be, Ce, De, Ee -
константы части;
+ + £;,1К'<кЗф]г2: Ар,Bp,Cp,Dp,Ер -
константы
Г = Фе (la,IIIa)S2 + ГФр (la,IIIa)S2T + W, (la,S,T), (9)
где {Ke }={Ai, Bi, Cl, Di}, {Kp }={ A2, B2, C2, D2}
константы квазили-
[щ ] —
" 3 3 3 '
1; ос^ + ос 2 + 0С3; 0^1 <-^2 ^ о^2^3 0С3СХ1;
2 2 2 2 2 2
0^1 о^2 ”1" а^з + ОС2ОС3 + ос^о^х + а3а! + ОС3ОС2
Отметим, что пренебрежение членом а1а2аз не вносит заметной погрешности в определяющие соотношения, но позволяет существенно упростить процесс определения констант.
Применив операции дифференцирования в форме егу=ЭГ/Эогу и
Ь = ЭГ/ЭГ (где Ь - плотность энтропии) к термодинамическому потенциалу Гиббса (8), можно получить связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений:
где
Р — -се +
3 е
еЧ — 2Р+(К —Р)8/
—Да + yp2.Ec
(11)
18С^0 + ^Ер -1)тсобЗф +
+9 ( Ир + (Ир — Вр )^2 + 3л/2Ер )о
Р;
с
К — 3( Ае — Се )о +
5л/2
ве —А? ~
еЪ 2
1
^о + 3 ЛтИе +
+ ■“ Ее^0 + 33 Ь{200 +
18 (Ар-Ср)80а +
+
27 Вп -18£> _135л^ еп
р р 2 "
о2+9Г>„т2+^^£^о
р ;
Р — (27 В р&3 + Е^ соз3фт3 + 27 АрБоо + +27СрБ0 т2 + 27от2Г 1 и(1/27Б0—^”
р 0 р
Уравнения состояния термоупругого изотропного разносопротив-ляющегося материала также можно представить в виде
ец = - Се (2 + Ьу) Су + -(Ае - Се) 5уС + -Ь12в% + Ну, (12)
где Ну - нелинейные компоненты, включающие температурные составляющие.
Применив формулы Кастильяно к термодинамическому потенциалу Гиббса в форме (10), можно установить связи между главными напряжениями и деформациями:
{ке} + п{{кр}Щ])'~1{кр}
Э[Щ° ]
+ (А, + В,а* )0°, (13)
ок
где
Э[Щ° ]
Эок
2ак> ак
3<*к-\а1+а1+а1
5 от + оп ’
2 , „2
2(ат + а„)-а^[ат+а„)--ат(а|+а2)-ат(а|+ос2
Для решения задачи расчета конструкций и адекватного представления предлагаемых определяющих соотношений применительно к конкретным нелинейным материалам требуются вычисления констант потенциала Гиббса на основе имеющихся экспериментальных данных. Естественным требованием при постулировании новых уравнений состояния является минимальное количество привлекаемых экспериментов для вычисления констант. При этом эксперименты должны, по возможности, проводиться на элементарных образцах и реализовываться при простейших видах напряженного состояния, каковыми являются одноосные растяжение, сжатие и простой сдвиг. Проверку адекватности определяющих соотношений реальным механическим свойствам материалов следует выполнять путем сравнения теоретически рассчитанных диаграмм деформирования (с учетов найденных констант) с экспериментальными, установленными, по возможности, при широком наборе сложных видов напряженного состояния.
Для вычисления констант потенциалов для частных напряженных состояний удобно пользоваться экспериментальным и теоретическим представлением зависимостей между главными деформациями и напряжениями, которые можно представить в следующем виде:
+ (* = 1,2,3) (14)
где т = 2/7-1; £, Ер к - коэффициенты, вычисляемые через константы
потенциала {Ке) и {соответственно; е[ - часть деформации, полученная вследствие изменения температуры.
При фиксированном показателе степени т коэффициенты к, Ер к определяются в результате обработки экспериментальных данных соответствующих диаграмм деформирования, построенных в условиях простого нагружения. Следует заметить, что простое вычисление констант даже при оптимальном показателе степени т из-за высокой
552
чувствительности потенциала к погрешности экспериментальных данных может приводить к негативным фактам. Такие неопределенности проявляются для отрицательных значений частей 1Уе и IVр при некоторых видах
напряженного состояния, заключающегося, например, в аварийном завершении численного счета в процессе возведения 1¥р в дробную степень.
Поэтому при определении констант потенциала необходимо проводить их
«фильтрацию» в зависимости от значения функции Sign{We) и Sign■{Wp}.
Возникновение отрицательных значений указанных функций должно фиксироваться в процессе перебора на ЭВМ угла ф в интервале от 0 до п/3 и \(/ - от 0 до 71.
Устойчивость потенциала (8) проверяется по методике [3]. Константы потенциала, рассчитанные по четырем эталонным диаграммам, соответствующим двум опытам, сведены в таблице. Значения констант получены преимущественно за три - четыре итерации.
Константы потенциала для нелинейных материалов
Константы потенциала Г рафит АРВ Бетон Я = = 28,4 МПа Бетон Я = = 37 МПа Чугун СЧ15-32
п 2,1 2,75 2,8 3,6
Аь МПа 1 6,083 *10~5 3,148*10~5 2,341*10~5 7,842* 10~6
Въ МПа 1 1,429-10“5 6,723 *10~6 2,783 * 10-6 9,313 * 10-8
С,, МПа 1 -3,267 ■ 10-5 -9,705 ■ 10-6 -1,549-10_5 -4,333 ■ 10-6
А, МПа 1 1,015* 10-5 -4,861 ■ 10_7 -7,794 ■ 10-6 1,461 * 10-6
А2, МПа(1~2п)/п 3,822*10~4 4,927*10~4 1,752* 10-4 1,191*10~5
В2, МПа(1~2п,/п 1,625 * 10-4 3,865 * 10-4 8,120*10~5 7,073 * 10-6
С2, МПа" -п)/п 1,857*10~4 6,782*10~5 -1,056-10_4 -4,178-10~6
В2, МПа(1 2п,/п 1,943 * 10-5 2,712*10-4 1,490* 10-5 2,761*10-6
Теплофизические коэффициенты, входящие в уравнения состояния, можно вычислить по результатам обработки опытов, связанных с нагреванием и охлаждением одноосно растягиваемых и одноосно сжимаемых образцов разносопротивляющегося материала. Очевидно, что полная дефор-
мация образца определяется суммой изотермической составляющей е^ и
Т
части деформации, полученной вследствие изменения температуры е^ . Тогда при одноосном растяжении вдоль оси к имеем
ж + , т +. ек ^ ек ’
4+ - 4 - 4+ = (Ь 2 + Ь,1)еи = айеи; е£+ = е+- е1+= Ь, 2е0 =а+2е0,
ж+
0
.+ п 0.
(15)
а при одноосном сжатии вдоль оси к
етк- =ек -е^“ = (Ь,2 -Ь,1 )еи -а,^;
т -
- ж- т -
ек = ек ^ ек ;
Ж -
0
-0
(16)
Отсюда получим
т ~ет- еЖ = Ь,2е° =а-2е°-
Ь,2 = (а(1 + а,1 )/2; Ь,1 =(а+1 -а; и 2.
+
(17)
В уравнениях (15) - (17) - коэффициенты линейного теплового
+
расширения в продольном, а - в поперечном направлениях, полученные при растяжении (+) и при сжатии (-) опытных образцов.
Наличие в полиномиальном разложении (7) только двух констант приводит к ограничениям на экспериментально определяемые коэффициенты теплового расширения:
«Й =Щ2 =(«Й+«я)/2- (18)
Однако, по крайней мере, в своей первой части ограничение (18) не вызывает возражений. Это объясняется тем, что предположить независимость коэффициентов линейного теплового расширения в поперечном направлении от знака напряжений в продольном направлении вполне естественно.
Таким образом, очевидно, что потенциальные соотношения (8) и (10) достаточно универсальны и вполне применимы для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций, выполненных из нелинейных разносопротивляющихся материалов в условиях термомеханического нагружения.
Список литературы
1. Матченко Н.М., Трещев А. А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. 149 с.
2. Матченко Н.М., Трещев А. А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости. М.; Тула: РААСН; Изд-во ТулГУ, 2004. 211 с.
3. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряжённого состояния. Определяющие соотношения: монография. М.; Тула: РААСН; Изд-во ТулГУ, 2008. 264 с.
4. Чигинский Д.С. Вывод уравнений состояния для нелинейных материалов, находящихся в условиях термомеханического нагружения // 5-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики: материалы конференции. Т. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 128-133.
A.A. Treshchev, V.G. Telichko, D.S. Chiginskiy
THE ANALYSIS OF DEFINING RELATIONSHIP FOR NONLINEAR ISOTROPIC DIFFERENTL Y RESISTANT MA TERIALS IN THERMOELASTICITY PROBLEMS
The using possibility of normalized spaces of pressure for construction of the equation of a condition of the isotropic essentially nonlinear differently resistant materials which are in conditions thermomechanical of loading is considered.
Key words: thermoelasticity, differently resistibility, the nonlinear materials, differently resistant materials, plates, a thermomechanical bend.
УДК 539.3
А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-54-58, [email protected],
А.В. Корнеев, асп., (4872) 23-13-47, Кошееу [email protected],
(Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛЬ ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДЕФОРМИРУЮЩЕЙСЯ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВОДОРОДОСОДЕРЖАЩЕЙ СРЕДЫ
Предложена математическая модель влияния процесса наводороживания на деформаг^ионные характеристики титановых сплавов, используемых для элементов современных конструкций.
Ключевые слова: наведенная разносопротивляемостъ, конечные прогибы, упругий потенциал, объемный изопараметрический конечный элемент.
Водород благодаря своей подвижности активно взаимодействует с титаном и его сплавами [1, 2]. Установлено, что поглощение водорода титаном на границе контакта с агрессивной средой происходит до наступления равновесной концентрации по всей толщине. Экспериментально установлено, что направленная диффузия атомарного водорода в зонах растягивающих напряжений приводит к возникновению наведенной разно-сопротивляемости изначально нечувствительного к виду напряженного состояния материала [3].
