CC BY
11УДК 539.3
К ПОСТРОЕНИЮ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
А. Б. Ахмедов1, С. В. Шешенин2
В работе построены нелинейные уравнения движения ортотропной пластины на основе трехмерных нелинейных уравнений теории упругости. Полученная модель пластины обеспечивает высокую точность, что продемонстрировано в статике на примере задачи Б.Ф. Власова о действии синусоидальной нагрузки на шарнирно закрепленную плиту.
Ключевые слова: анизотропные пластины, нелинейная теория, изгиб.
This paper presents the nonlinear dynamic equilibrium equations for an orthotropic plate based on the 3D nonlinear equations of elasticity theory. The resulting plate model provides a high accuracy. The advantage in accuracy is shown in statics using the Vlasov model problem of a hinge-supported plate under sinusoidal load.
Key words: anisotropic plates, nonlinear theory, bending.
В связи с развитием высокопрочных конструкционных материалов из композитов возникают задачи, требующие построения более точных уравнений движения анизотропных пластин [1, 2]. В настоящей работе на основе нелинейной трехмерной теории выводятся уравнения движения ортотропных пластин постоянной толщины.
Напряженное состояние упругого тела, находящегося под действием системы объемных и поверхностных сил, с учетом геометрической нелинейности в декартовой системе координат OX1X2X3 описывается следующими уравнениями движения в начальной области [3]:
[(Sik + Uik)Skj] ,j +Xi - poUi = 0. (1)
Используются следующие линейные определяющие соотношения между компонентами второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа Sj и тензора деформаций Лагранжа-Грина Ej:
Sij = CijktEkh (2)
что соответствует большим прогибам пластины, но малым деформациям. Нелинейные геометрические соотношения между Ej и компонентами вектора перемещений Ui имеют вид
Eij = ^ (^.J + + Uk>lUk>j). (3)
Начальные условия в случае динамики:
Ui\t=o = U0, Ui\t=o = V?- (4)
Сформулируем граничное условие на поверхности £, состоящей из верхней и нижней поверхностей пластины постоянной толщины h:
(Sik + Uik )Skj Nj\s = Si0, (5)
причем на верхней поверхности X3 = h/2 действует вертикальная нагрузка с интенсивностью распределения q: S0 = q(xi,X2,t)Si3; нижняя поверхность пластины X3 = -h/2 свободна, т.е. S0 = 0. В вышеприведенных уравнениях U0, V® характеризуют начальные условия, Xi — объемные силы, S0 — "мертвая" поверхностная нагрузка, Nj есть внешняя нормаль к недеформированной поверхности, ро — плотность в начальном состоянии, Cjki — упругие ортотропные модули. Граничные условия на боковой поверхности не используются при выводе уравнений пластины.
1 Ахмедов Акрам Бурханович — канд. физ.-мат. наук, зав. каф. прикладной математики авиационного ф-та Ташкент. гос. ун-та, e-mail: ahmedov-1956@mail.ru.
2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.sheshenin@mail.ru.
Изгиб пластин сопровождается преобладанием поперечной компоненты вектора перемещения, т.е. выполняется условие из ^ и/, I = 1, 2. В [2, 3] показано, что в выражениях (1)—(5) можно пренебречь квадратами производных от продольных смещений и1. Также пренебрегаем членом (из,з )2. В результате будем иметь
С Ви + 5/3,3 + X/ - ро= 0, \ ■• (6)
I 53/,/ + и3,К £К/,/ + 533,3 + Х3 — ро из = 0;
= Сг]КЬЕКЬ + С^кзЕиз;
Ей = - (С//,/ + 11^1 + из^из^), Е13 = - ([/3,3 + С^з,/), Езз = 11зуз. Будем искать решение в виде полинома третьей степени относительно г = х-3\
1 / Ь2 \
ит = щ+ [г + Ф2(г)]ф1 + -Ф1(г)У1 + Ф2(г){ад + — ф)
(7)
(8)
(9)
Щ = ад + гУ - Ф1(г)0,
где
Ь2
1~тн
Ф2(г) = -
и введены следующие средние значения по толщине пластины:
и! = (и/),
12
^ =
3
12
IV = (из), у = —(гС7з),
причем (Ф/) = 0, (гФ/) =0, I = 1, 2. Функции У, ф характеризуют обжатие пластины при изгибе, и/ — средние перемещения в плоскости пластины, ад — прогиб, ф/ — угол сдвига поперечных волокон.
Введение перемещений в форме (9) с учетом (7), (8) для ортотропных пластин обеспечивает выполнение граничных условий 5/3 = 0 при г = ±0,5Ь для касательных напряжений.
Используя выражение (7) для £33 и принимая во внимание (8) и (9), получим, что удовлетворить граничным условиям в отсчетной системе координат ОЖ1Ж2Ж3 для нормального напряжения £33 из (5) на лицевых поверхностях
{ £33 + и3^Skз = Я при г = 0,5Ь, [£33 + из}ы виз = 0 при г = -0,5Ь можно при выполнении следующих двумерных нелинейных уравнений в плане пластины:
Сззкь Сззкь
Ь* Ь2 ТЛ ТЛ Ь4 /
ик,ь + ицк ~ 77: У,кь + + -г У,к У,ь +— ф,К Ф,ь
12 4 36
+ сзззз У = Я,
5 1 ( Ь2 \ ЬЬ2
7 (Фк,ь + Фь,к) - - [ы + —ф ) + ад,кУь + УкадуЬ + — (Укф,ь + Ф,ьУ,ь)
6
,кь
6
+
(10)
2
+ 2Сзззз</> = т <?• Ь
Осреднив уравнения движения (6) с учетом представления искомого решения в виде (9), а также граничных условий для £33, в/3, будем иметь следующие уравнения относительно усилий, моментов и перерезывающих сил:
( ^ +Ь(Х/) - (роЬ)и/ = 0,
Ь2
Ми,а -Я: - — (ро^фл = 0, , Я/,/ ),/ +(Ми),/ +д - (роЬ)ад = 0,
(11)
где Мы = Ь(£ы), Ии = Ь(г£ы), QzJ = Ь(SzJ), Хз = 0.
Отметим, что нелинейные уравнения движения (11) отличаются от традиционных присутствием конвективного члена (Ми),/, характеризующего влияние обжатия на распределение перерезывающих
2
2
г
усилий в пластинах. Таким образом, имеем замкнутую систему разрешающих уравнений (10), (11) относительно ui, фi, w, V, ф.
На торцах пластин обычно имеют место три типа закрепления, которые в терминах средних величин записываются в виде следующих условий на границе 7 двумерной области в плоскости Х1Х2: шарнирное опирание
Nij nj= 0, Munj Y = 0, w\y = 0, V= 0, ф\1 = 0;
заделка
uI\Y = 0, ф1 \Y = 0, w\Y = 0, V\Y = 0, ф\1 = 0;
свободный край
Nijnj\y = 0, Mijnj\y = 0, Qini\y = 0, V,i ni\~( = 0, ф,1 ni\j = 0,
где ni суть компоненты вектора внешней нормали к границе 7 в недеформированном состоянии [3].
В частном случае изотропных пластин средней толщины, пренебрегая в разрешающих уравнениях членами, содержащими множители h3,h4,..., и вводя потенциалы ui = U,i, фi = Ф^, приходим к упрощенным уравнениям движения пластин [4]
v 1 — v GAU --— mU = 0,
/ v h2 \ ( h2 \ (12) £>Д2Ф+ iq + —— — Aqj +m( Ф~ 12 АФ) =0'
которые соответствуют уравнениям теории Рейсснера-Миндлина, имеющим третий порядок приближения в асимптотическом разложении по степеням h [5]. Первое уравнение (12) для продольных смещений позволяет исследовать распространение волн в пластинах при динамическом воздействии поперечных нагрузок q(x\,x2,t).
В таблице приведен сравнительный анализ известных технических и уточненных теорий на примере решения известной статической задачи В.П. Власова [6] об изгибе шарнирнозакрепленной изотропной прямоугольной в плане пластины под действием синусоидальной нагрузки [4].
В этом примере эффективность предложенной теории пластин демонстрируется для квадратной плиты с безразмерной стороной l = 1 и для изотропного материала с коэффициентом Пуассона v = 0,3 при различных значениях отношения h/l. В таблице дается сравнение результатов и относительных погрешностей рассмотренных теорий для приведенного прогиба —— в центре срединной плоскости: цифра 1
hq
соответствует классической теории, 2 — теории Тимошенко [7], 3 — теории Рейсснера [8], 4 — предлагаемой теории, 5 — точному решению [6]; индексы погрешностей А соответствуют номерам теорий.
h/l 1 Уточненные теории 5 Относительная погрешность, %
2 3 4 Ai д2 Дз д4
0,1 280,26 296,06 292,03 294,38 294,24 4,75 0,62 0,75 0,05
0,2 17,51 21,47 20,26 21,07 20,98 16,54 2,34 3,43 0,43
0,3 3,46 5,22 4,55 5,05 4,97 30,38 5,03 8,45 1,61
0,4 1,09 2,08 1,63 2,03 1,97 44,67 5,58 17,26 3,05
0,5 0,45 1,08 0,75 1,02 0,96 53,13 12,50 21,88 6,25
Из полученных результатов следует, что предложенная теория отличается от других уточненных теорий большей точностью. Как видно из таблицы, классическая теория Кирхгофа дает удовлетворительные результаты для Н/1 < 0,1, а уточненная теория Тимошенко и Рейсснера — до Н/1 < 0,2. Вместе с тем предложенная теория применима для исследования напряженно-деформированного состояния плит до Н/1 = 0,4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. VI, VII. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1970.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1948.
4. Ахмедов А.Б. Нелинейная теория изгибных колебаний вязкоупругих пологих оболочек // Узбек. журн. проблем механики. 2000. № 1. 19-24.
5. Скопцов К.А., Шешенин С.В. Асимптотический анализ теории пластин Рейсснера-Миндлина // Упругость и неупругость: Мат-лы Междунар. симп. по проблемам МДТТ. М., 2011. 301-311 .
6. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстой плиты // Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 1957. № 2.
7. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963.
8. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates. I // Math. and Phys. 1944. 23, N 1.
Поступила в редакцию 30.09.2011
