Вероятность опасного сближения воздушных судов, вызванного их продольными отклонениями (ситуация "догон") Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 87(5)

УДК 621.396

ВЕРОЯТНОСТЬ ОПАСНОГО СБЛИЖЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ, ВЫЗВАННОГО ИХ ПРОДОЛЬНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ (СИТУАЦИЯ “ДОГОН”)

Е.И. Компанцева

Статья представлена доктором технических наук, профессором Логвиным А.И.

Приводится способ расчета вероятности опасного сближения, вызванного продольными отклонениями воздушных судов (ситуация “догон”).

В работах [ 1,2] отмечалось, что при анализе потенциально-конфликтных ситуаций (ПКС) применим подход, основанный на последовательном учете случайных отклонений в продольном и боковом направлениях. Целью настоящей статьи является определение вероятности опасного сближения при развитии потенциальных конфликтов при движении воздушных судов (ВС) в “догон”- Рд (г).

Для решения поставленной задачи будем считать, что движение воздушных судов осуществляется на одном эшелоне в догон; опасность сближения обусловлена наличием случайных отклонений только в продольном направлении, при этом влияние поперечных отклонений не рассматривается; средние скорости ВС и начальные удаления принимаются известными; закон распределения случайных местоположений ВС принимается нормальным.

Плотности вероятностей случайных местоположений ВС1 и ВС2 представляются следующими выражениями:

( х - т¥1 г - хч )2 1 е 2 °2 (г)

(1)

W ( X, t ) = -j=----------

%/2яо(t)

(z - mV21- x 2 /

W2 (x, t ) = ^—i----------e 2 °'2 (t}

^ ; V2Ps„2 (t)

В выражения (1) входят следующие переменные: m^ , mv2 - средние скорости ВС; хщ’ ХП2 - начальные удаления; sn (t), Sn (t) - средние квадратические отклонения

положений ВС в продольном направлении.

Зададим опасное сближение (для фиксированного момента времени) как случай одновременного пребывания ВС1 в сегменте Ax¿ и ВС2 в области Az¿. Область Az¿ - задается

таким образом, что расстояние от любой принадлежащей ей точки до середины Ax¿ меньше либо равно 15-ти километрам. Вероятность такого события будет равна:

рДщ (t )= J W (^t) | W2 (z, t) dxdz (2)

Ax¿ Azi

Рассмотрение всех возможных положений сегмента Ax¿ и соответствующих границ области Az¿ позволяет определять вероятность опасного сближения как:

х+15

РдП (ґ)= ¡Ж (х,ґ) ¡Ж2(г,ґ)dzdх.

(3)

х-15

Формула (3) может быть представлена в виде:

¥ х+15 ¥ х-15

РДп (ґ) = |^1 (х,ґ) 1^2(г,t)dzdх - ¡Ж(х,ґ) (г,ґ)dzdх. (4)

-¥ -¥ -¥ -¥

Для нормальных законов распределения Ж ($) и Ж (п) с числовыми характеристиками т$, тп, 7$ ,Оп справедливо следующее равенство [3]:

¥ $ ^

¡Ж($) |Ж(п)dndS = Ф "п , (5)

— ¥ —¥

V

2 2 7$ +72

п у

где Ф( а) представляет собой интеграл вероятности:

(6)

С учетом выражений (4)-(6) интеграл (3) может быть представлен в виде:

РДП ( ґ ) = Ф

(15+хп1 + т ґ)-(хп2 + т2 ґ) ^1 ( ґ ) + 722 (ґ)

Ф

(-15 + хп1 + тУ1 ґ )-( хп2 + тУ2 ґ )

>/7Г(0+7Г(ґ)

(7)

Заметим, что изменение математического ожидания местоположения ВС1 (М1) во времени описывается уравнением:

М1 = хп 1 + т^1 г. (8)

Аналогично для ВС2:

М2 = х + тЛ .

(9)

Отсюда следует, что разность математических ожиданий местоположений ВС2 и ВС1

равна:

ДМ = М 2 - М1 = х - х -(тУ - тУ ) ґ.

п2 п1 V У1 У2 )

Введем обозначения:

ДМ = х - х„

П П'

(10)

(11)

где ДМп - начальное разделение между ВС; а АV - разность средних скоростей ВС. С учетом новых переменных запишем:

ДМ = ДМп - ДУґ.

На основании (12) выражение (7) может быть представлено в виде:

(12)

РДП (ґ ) = Ф

ДМ п -ДУґ +15

77 (ґ)+7 2 (ґ)

п 1 ч/ п2 4 7

-Ф

ДМп - ДУґ -15

7 2 (ґ)+7 2 (ґ)

1 2

(13)

оо

— оо

2

2

Проанализируем полученный результат. Выражение (13) представляет собой разность двух интегралов вероятности от аргументов, изменяющихся во времени:

' ч дм -дуг +15

*1 (г )= ”

X,

(г)

>/< (г ) + < (г) дм„-дуг -15

(14)

Vе2,(г )+<(г)

Аргументы *1 (ї ) и *2 (г ) могут быть представлены в виде:

15

*1 (г) = * (г) + *2 (г) = * (г) -

7°2лг )+< (г)

15

а/<оГ+<м

(15)

где

*

( ї )=

дм., -дуг

-М +о2

п 2

В этом случае для различных моментов времени значения функции вида

Рдп Ь) = ф[*1 ()] - Ф[х2 ()] (16)

могут трактоваться как вероятности попадания случайной величины в область Ах, задаваемую

как: х(I)±(I) + аП2 (I).

При этом предполагается, что случайная величина распределена нормально, имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. По шагам развития ситуации происходит перемещение центра области Ах в сторону меньших значений случайной величины с одновременным сужением ее границ (согласно (15)). Позиционные изменения области Ах и изменения ее размеров во времени определяют характер поведения функции

РДп ().

Введенная интерпретация функции Рдп ) позволяет утверждать, что ее максимум

определяется обращением в нуль х() (выражения (15)). Момент времени, соответствующий экстремальному значению Рдп (■), может быть определен

дм,„

дуг

Ц< (< )+< (г) А/°п.(г )+аП, (')

=0.

Отсюда следует, что

г

Дп тах

дмп

ду

(17)

(18)

Очевидно, что этот момент времени определяется совпадением математических ожиданий местоположений воздушных судов.

Дальнейшее развитие ситуации характеризуется расхождением значений математических ожиданий ВС, т.е. убыванием вероятности опасного сближения во времени. Однако следует отметить, что функция Рдп (/) имеет несимметричный вид, который может

быть объяснен возрастанием дисперсии местоположения ВС. На рис.1 приведен график функции Рдп (г), рассчитанной по следующим исходным данным: АМп =40 км, АУ =450

км/ч; (Гу =50 км/ч; Су2 =45 км/ч. Рис.2 демонстрирует функции Рдп ) при модификации

РДп 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Рис. 1 .Зависимость вероятности опасного сближения от времени АМп=40км, АУ=450км/ч; ГУ1=50 км/ч; <ГУ1=45 км/ч.

Рис. 1. Зависимость вероятности опасного сближения от времени АМп=40 км, А У=450 км/ч;

Гу1 =50 км/ч; Гу2 =45 км/ч

начальных условий: АМп =540 км, АУ =300 км/ч; Гу^ =50 км/ч; Гу^ =45 км/ч.

Графики на рис. 1 и рис. 2 строились с учетом, что Оп (г) = Гу/, I = 1,2 .

Оценим характер влияния величин, входящих в (13) на величину вероятности Рдп ()•

Очевидно, что вероятность опасного сближения, обусловленная случайными отклонениями ВС в продольном направлении, должна обладать значительной

чувствительностью к изменениям дисперсии этих отклонений. Как было показано выше, увеличение дисперсии отклонений ВС будет приводить к большим значениям вероятности опасного сближения уже на ранних фазах развития ПКС.

Рис. 2. Зависимость вероятности опасного сближения от времени АМп=50 км/ч, А У= 300 км/ч

Гу1 =50 км/ч, Гу2 =45 км/ч

Разность средних скоростей ВС - А У определяет скорость развития конфликта.

Увеличение АУ приводит к более быстрому наступлению пика конфликта при одновременном уменьшении собственно времени его развития.

Уменьшение начального разделения между ВС (АМп ) будет приводить к углублению

конфликта, т.е. увеличению значений Рдп ) на начальных стадиях развития ситуации. Обратное изменение АМп делает конфликт менее явным, т.е. уменьшает Рдп ().

ЛИТЕРАТУРА

1.Компанцева Е.И. Динамическая модель опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа “догон” (статья в данном Вестнике).

2.Компанцева Е.И. Динамическая модель опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа “пересечение” (статья в данном Вестнике).

3.Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Сов. радио, 1982.

PROBABILITY OF DANGEROUS RAPPROCHEMENT OF PLANES CAUSED BY THEIR LONGITUDINAL

DEVIATIONS (SITUATION “TO CATCH UP”)

Compantzeva E.I.

The method of account of probability of dangerous rapproachementof planes caused by their longitudinal deviations is resulted (a situation “to catch up”).

Сведения об авторе

Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МГПУ (1988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МГПУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - управление сложными системами и теория абелевых групп.