Динамическая модель опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа "догон" Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 87(5)

УДК 656.7.052

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПАСНОГО СБЛИЖЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ ПРИ КОНФЛИКТНОЙ СИТУАЦИИ

ТИПА “ДОГОН”

Е.И. Компанцева

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Рассматривается динамическая модель сближения воздушных судов, вызванного их случайными отклонениями, в режиме “догон”.

Целью настоящей статьи является обоснование и разработка математической модели оценивания вероятности опасного сближения, обусловленного случайными отклонениями воздушного судна (ВС) в продольном и поперечном (боковом) направлениях [1,2].

Выходным параметром модели должна являться оценка вероятности опасного сближения, адекватно отслеживающая изменение действительной воздушной обстановки, последнее означает, что разрабатываемая модель должна отвечать требованию динамичности.

В качестве условия при обосновании модели принимается допущение о развитии ситуации вне участия диспетчера, т. е. в рамках неконтролируемого воздушного движения.

Естественным предположением является допущение, что закон распределения случайных местоположений (координат) ВС может быть принят нормальным. Основываясь на допущении о независимости продольных и боковых отклонений ВС, плотность вероятности случайных местоположений ВС на плоскости будет определяться следующим выражением:

Ж (х, к, г) =--------------—— exp

v ' 2ро8 (г К (г) Р

(х - туг )2 к2

2оП (г) 2°2 (г)

(1)

где х - текущая координата ВС в направлении движения, ту -математическое ожидание скорости ВС; ; г - текущее время; Оп (г )=Оуг - среднее квадратическое отклонение местоположений ВС в продольном направлении, Оу - среднее квадратическое отклонение скорости; к-математическое ожидание бокового отклонения ВС от середины воздушного коридора, О § (г) - среднее квадратическое отклонение ВС в боковом направлении.

Значение О § может быть определено, исходя из существующих требований к

вероятности невыхода воздушного судна за пределы половины ширины воздушной трассы. В настоящее время отмеченная вероятность задается уровнем 0,95 для трассы 10-километровой ширины. Полученное на основе этих данных значение О § составит 2,55 км и может быть

использовано в качестве предельно допустимого при дальнейших расчетах.

В качестве случайной величины в работе принимаем скорость движения ВС, поэтому величину бокового отклонения в (1) приняли постоянной, равной математическому ожиданию.

Оценка вероятности опасного сближения при движении двух ВС “в догон” основывается на следующих принятых исходных данных: движение ВС осуществляется на одном эшелоне; числовые характеристики случайных местоположений каждого ВС известны; известны удаления каждого ВС в начальный момент времени (начальное разделение между ВС).

В соответствии с принятыми допущениями плотности распределения местоположений ВС1 и ВС2 представляются следующими записями:

Ж1 (х1, И1, г)

1

(Х1 - тп I- хН1 )2

2 ро8, о »1 (1)

1

2 РОб2 0 », ( ! )

е

2 0 «1 (') 2 °21

( х2 -

х9 - т^ г - х

2 ЛН2

)2

е

2о22 (*) 2о

(2)

где индексы 1 и 2 относятся к первому и второму ВС соответственно, х«1, х«2 - начальные

удаления воздушных судов, что показано на рис. 1.

Решение поставленной задачи начнем с предположения о попадании ВС1 в пределы некоторого элементарного сегмента Дй, (рис.1). В этом случае опасное сближение может быть формализовано как событие, состоящее в нахождении ВС2 в области О,, ограниченной окружностью 15-километрового радиуса с центром, приходящимся на геометрический центр сегмента Дй, (рис.1). Вероятность наступления формализованного события Рд (г) может быть определена как:

рД, (г)= Я»1 (хьиъ

г )Ц^2 (х2, *2, г )йх1йх2 й*1^*2 .

Дй, А

(3)

2

и

и

2

Рис. 1. Иллюстрация к постановке задачи

Взаимное расположение нормальных законов с плотностями вероятностей ^ (х1, *1, г) и ^ (х2, ^, г ) определяет множество аналогичного элементарных ситуаций. Полный перебор

,-х вероятностей (3) по всему возможному множеству взаимных положений ВС1 и ВС2 будет определять вероятность опасного сближения при развитии ситуации «догон» (во времени). Интегральный подход позволяет получить выражение для вероятности опасного сближения в следующем виде:

¥ ¥

Рд(‘)= / /»1 (хьИЬ1) Ц>2 (х2, *2, г )йх^2 й*1й*2

-¥-¥ О = / (х, И )

Аналитическое интегрирование выражения (4) представляет значительную сложность.

Однако следует отметить, что решение практических задач позволяет перейти от бесконечных пределов интегрирования к конечным. С этой целью ограничим область возможных положений ВС размерами полного эллипса рассеивания с полуосями 30 § и 30п (г). Таким образом, с практической достоверностью порядка 0,99 всё рассеивание местоположений ВС укладывается в эту область. Согласно сказанному, интеграл (4) может быть представлен в виде:

РД( ) = Ц^1 (х1, *1, г ) Ц^2 (х2, *2, г )йх1йх2 ^*1^*2, (5)

О О2 (х, *)

где О - область интегрирования , задаваемая границами полного эллипса рассеивания местоположений ВС1:

. 2

(хі

■т* )"

+

к2 _

9о^

_ 1

(6)

Область образуется пересечением полного эллипса рассеивания местоположений ВС2 и дугой окружности 15-ти километрового радиуса с центром, задаваемым текущими координатами х1, к1.

Л

х-

х.

т 2 і )2

9 о 2 (і)

+

к

2____ _

9 о;

_ 1

(х2 - х1 )2 + (к2 - к1 )2 _ 15'

(7)

Рис.3. “Догон"

2

2

2

Отсутствие решений системы уравнений (7) соответствует отсутствию общих точек у окружности и эллипса. Отмеченный случай характерен для начальных фаз развития ситуации, т.е. при отсутствии перекрытия областей малых вероятностей законов распределения местоположений ВС1 и ВС2 (рис.3). В случае расхождения ВС (ВС1 обогнало ВС2) система уравнений (7) также не будет иметь решений (рис.4).

Одно решение системы соответствует моменту схождения областей малых вероятностей

Рис.4. “Обгон"

на 15 километров (І д^), либо моменту их расхождения на то же расстояние (І д^ ). В

соответствии со сказанным запишем:

X..

+ т.у2 іДі ЗоИг (ІДі) (хщ + т¥і іДі + Зо„і(ІДі

+ Шуі Ід2 - 3С„і ( ІД2 ) - ( Х„2 + ту2 ІД2 + 30„2 ( їд

С учетом Оп (і) = Оуї получим:

ІДі (і ) =

= і5 = і5

(8)

15 ХП2 + Хпі

тУ2 - ту.

<Гуі +0>2

)

ІД 2 (і ) =

і5 - хпі + хп2

(9)

тУі - тУ2 - 3 \°Уі + оУ2 Время развития ситуации (Ід ) определим как временной интервал между двумя выделенными моментами времени:

ІД ІД2

1Ді

6 (°Я +°У2 )( ХП2 - Хпі ) + 30 ( тУі - тУ2 )

(тУ - тУ2 ) - 9(о^ + Оу2 )

(і0)

Рассмотренный интервал ?д включает в себя все характерные моменты развития

ситуации: от начального момента схождения математических ожиданий местоположений ВС, момента их совпадения (пик конфликта), до момента значительного расхождения (расхождения

на 3 О (?) + 3о^ (?) + 15км ). Очевидно, что в условиях реального воздушного движения (при наличии УВД) время развития конфликта будет значительно меньше ?д в силу наличия

диспетчерского управления. В настоящей статье с учетом принятого допущения о невмешательстве диспетчера полученное выражение (10) может быть интересно с позиций оценивания полного потенциально-возможного времени развития конфликта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Анодина Т.Г., Кузнецов А.А., Маркович Е.Д. Автоматизация УВД. -М.: Транспорт, 1992.

2. Автоматизированные системы УВД. Справочник; Под. ред. Савицкого В.И. - М.: Транспорт, 1986.

DYNAMIC MODEL OF DANGEROUS RAPPROCHEMENT OF PLANES AT A DISPUTED SITUATION OF A

TYPE “TO CATCH UP”

Compantzeva E.I.

The dynamic model of rapproachement of planes caused by their casual deviations in a mode “to catch up” is considered.

Сведения об авторе

Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МГПУ (і988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МГПУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - управление сложными системами и теория абелевых групп.