Динамическая модель опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа "пересечение" Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Радиофизика и радиотехника

№ 87(5)

УДК 621.396.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПАСНОГО СБЛИЖЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ ПРИ КОНФЛИКТНОЙ СИТУАЦИИ

ТИПА “ПЕРЕСЕЧЕНИЕ”

Е.И. Компанцева

Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А.И.

Рассматривается динамическая модель сближения воздушных судов, вызванного их случайными отклонениями, в режиме “пересечение”.

В работе [1] была рассмотрена задача построения динамической модели опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа “догон”. В настоящей работе решается аналогичная задача для конфликтной ситуации типа “пересечение курсов воздушных судов” (в дальнейшем такую ситуацию будем называть просто “пересечение”), характерной для 75% случаев опасных сближений, которые имеют место в точках схождения трасс.

При построении соответствующей динамической модели будем исходить из следующего: ситуация создается двумя воздушными судами (ВС), следующими на одном эшелоне; числовые характеристики случайных местоположений каждого ВС известны; начальные удаления ВС от точки пересечения принимаются известными; заданным считается угол схождения трасс - р (рис.1).

Рис. 1. Иллюстрация конфликтной ситуации типа «пересечение курсов воздушных судов»

Плотности распределения местоположений воздушных судов, участвующих в ситуации, могут быть представлены следующими выражениями:

№ (х, И, 1)

№ (2, у, 1 )

1

(х-тух 1 - хЯ1)

2р°б, (1 К (1)

е 2< (*) е 2°81 {1)

(2-тУ21 -2Я2 )2 у2

2™Ь, (1 К, (1)

е

2< ({) 2°22 (1)

2

И

1

где О§ (I), О§ (I)- средние квадратические отклонения местоположений ВС1 и ВС2 в боковом направлении; Ощ (|), (|) - средние квадратические отклонения местоположений ВС1 и

ВС2 в продольном направлении; - математические ожидания скоростей ВС;

хщ,

2п^ - начальные удаления воздушных судов от точки пересечения трасс; I - текущее время.

Смысл величин х, у, 2, к достаточно наглядно виден из рис. 1.

При определении вероятности опасного сближения в условиях развития предпосылки к конфликтной ситуации (ПКС) "пересечение" используется подход, аналогичный

рассмотренному для ситуации "догон" [1]. Предполагая попадание ВС2 в границы

элементарного сегмента ДБ;, определим опасное сближение как событие, состоящее в том, что одновременно с этим ВС1 находится внутри области Б/ (рис.2). Область Б/ задается окружностью 15-километрового радиуса с центром, приходящимся на центр ДБ/. Вероятность этого события может быть представлена:

РП, (I)= Ц>2(2,у,I)/]>,(х,к , I )dxdкdzdy (2)

' ДБ/ Б; .

Перебор всех возможных положений сегмента ДБ/ и соответствующих вероятностей опасного сближения, позволяет сформировать окончательное выражение для Рщ (|) в виде:

¥ ¥

РпМ= / № (г,У,і) Ц (х, И, і )dxdhdzdy

Б(г у )

(3)

— ¥ —¥

Переход к пределам, определяемым размерами полных эллипсов рассеивания, преобразует (3) к виду:

РП (і ) = \\Ж2 (г, У,і) \\Ж\ (х,И, і)dxdhdzdy , (4)

Б1 Б2 (г,У)

где определение области $і аналогично определению области ^, а область Б2 задается пересечением окружности радиусом 15 км (центр окружности в точке с текущими

координатами (z,y)) и полного эллипса рассеивания местоположений ВС1 (аналогия с определением области D2 формулой (7) в [1]).

Одно из существенных отличий анализа ситуации "пересечение" от анализа ситуации типа "догон" состоит в использовании двух систем прямоугольных координат (XOH и YOZ). Интегрирование по области S2 (Z,Y) требует задания ее границ в переменных (x,h). Эта процедура может быть осуществлена в соответствии с формулами пересчета, путем учета того, что система координат YOZ смещена и повернута на угол (900- j) относительно системы

координат XOY (рис.З). Отмеченному преобразованию соответствуют следующие формулы пересчета переменных:

z = (x - xni + zn2 cos j)cos j + (h + zn2 sin j)sin j =

= (x - xni )cos j + h sin j + zn2 y = -(x - xni + zn2 cos j)sin j + (h + zn2 sin j)cos j =

- (x - xni )sin j + h cos j + zn2 sin 2 j

Полное время развития ситуации для данного типа ПКС определим как временной интервал с момента первого схождения областей возможных положений ВС1 и ВС2 на расстояние 15 км (рис. 4 а) до момента расхождения этих областей на то же расстояние (рис. 4 б).

Область $2 образуется пересечением полного эллипса рассеивания местоположений ВС1 и дугой окружности 15-километрового радиуса, центр которой принадлежит полному эллипсу рассеивания местоположений ВС2:

Рис.4.Развитие конфликтной ситуации

Рис. 4. Развитие конфликтной ситуации

(х - хщ - mVl t)2 + h 2 _ 1 9s2 (t) 9sd

ni w di

<

(z-zo)2 +(У-Уо)2 _ 152

4.

Очевидно, что начальный момент времени tni может быть найден как минимальный

(первый) момент времени, при котором система уравнений (6) имеет единственное решение. Основываясь на сказанном, момент времени t^ может быть найден путем решения системы (6)

при одновременном выполнении условий: h _ h^, Xi _ Х2; х (tni )_ Xmin, где (xi,hi ) и (^ h2 ) - решения системы (6). Это дает основание утверждать, что tn^ _ t.

Аналогично, момент времени tn^ характеризует момент расхождения полных эллипсов вероятности на пятнадцатикилометровое расстояние и, следовательно, вновь определяет единственное решение системы (6). Выполнение условий: hi _ h^, Xi _ Х2, X (tni ) ^ Xmin позволит определить tn2 _ t .

Основываясь на допущении о независимом характере случайных отклонений ВС в боковом и продольном направлениях [i], может быть предложен метод последовательного учета двух выделенных типов случайных отклонений с последующим объединением полученных вероятностей в окончательную модель.

ЛИТЕРАТУРА

1. Компанцева Е.И. Динамическая модель опасного сближения воздушных судов при конфликтной ситуации типа “догон” (статья в данном Вестнике).

DYNAMIC MODEL OF DANGEROUS RAPPROACHEMENT OF PLANES AT A DISPUTED SITUATION OF

A TYPE “CROSSING”

Compantzeva E.I.

The dynamic model of rapproachement of planes caused by their casual deviations in a mode “crossing” is considered

Сведения об авторе

Компанцева Екатерина Игоревна, окончила МГПУ (1988), кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры алгебры МГПУ, автор 25 научных работ, область научных интересов - управление сложными системами и теория абелевых групп.

при

(zG, yG )

(z -

Є---------

Z - zn2 - mV2 t

)2

(6)

9s2 (t)

n2

+ ■

y

=1

9s

O2

2