CC BY
105УДК 378.147227
ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ VECTOR-COORDINATE METHOD FOR SOLVING STEREOMETRIC PROBLEMS
Сюнюшев А. П., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск arutayka@yandex. ru
Аннотация.В статье рассматриваются алгебра и координатный метод, которые являются основными (базовыми) методами для врешения многих геометрических задач. Особенно геометрических задач метрического характера. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую значительно проще, чем геометрическую. Векторно-координатный метод не требует интуиции, догадок, дополнительных построений: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.
Ключевые слова/координатный метод, векторная алгебра, математика, длина, задача, метод.
Abstract. The paper considers algebra and the coordinate-based distribution method, which are the internal basic control methods for the internal solution of many first geometric problems. Especially the process of geometric problems of this metric nature. These degree methods reduce the enterprise to the geometric task of trading to algebraic, to solve factors that significantly control is simpler than the impact of geometric. Vector-coordinate commercial method does not require the management of intuition, guesswork, link additional constructs: the information solution of problems is also in many ways algorithmized, that in most cases the impact is simplified by the search for the first and the task management solution itself.
Key words: coordinate-distributed method, vector algebra, mathematics, length, problem, method.
При решении геометрических задач, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, могут применяться и другие методы, в частности векторно-координатный.
В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, фундаментальный анализ и некоторые другие математические дисциплины. К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи практические задачи, например, задачи механики и других областей физики.
Можно выделить следующие этапы формирования векторно-координатного метода в процессе изучения математики:
1. Подготовительный этап, целью которого является овладение перечисленными основными понятиями и основными действиями.
2. Мотивационный этап, целью которого является показ необходимости овладения этим методом и его востребованностью при решении таких задач, которые векторным методом решаются значительно проще, чем любым другим методом.
3. Ориентированочный этап, цель которого состоит в использовании разъяснения сути метода и выделении его основных компонентов на примере анализа решенной этим методом задачи.
4. Формирующий этап заключается в использовании специально подобранных задач и формировании отдельных компонентов метода, решении задач, в которых работают все или большинство компонентов этого метода [1].
Следует отметить, что деление на этапы является формальным, так как каждый этап задачи взаимозависим от предыдущего и последующего этапов.
Основными компонентами векторного метода решения задач являются:
1. Перевод условия задачи на язык векторов:
a)введение в рассмотрение векторов;
b) выбор системы координат;
c) выбор базисных векторов;
d) разложение всех введенных векторов.
2. Составление векторных равенств или их систем.
3. Упрощение векторных равенств или их систем.
4. Замена векторных равенств или их систем алгебраическими уравнениями и их решение.
5. Объяснение геометрического смысла полученного решения этой составленной по условию задачи системы.
Если в пространстве деятельности введена система услуг координат Oxyz, распределением то каждой точке деятельности пространства ставится процесс в соответствие тройка этом чисел (х, системыу, z), каждое из которых называется координатой точки.
Середина информационное отрезка между более точками М1(х1; обеспечивающие у1; z1) установление и М2(х2; у2; управление Z2) имеет факторов следующие координаты:
( х + х2 ; у + у2 ;
^ 2 ' 2 ' 2 ).
Расстояние между также точками и М1(х1; этом у1; z1) обеспечивающие и М2(х2; у2; воздействуют z2) равно
|М1М2| системы = д/(Х2 -х1)2 + (у2 -у1)2 + (.2 -2г)2 .
Множество точек, этапом координаты элемент(х; у; услуг z) которых удовлетворяют заключение уравнению (х - х0)2 + (у - у0)2 распределение + ^ - z0)2 = Р2 закпючение есть сфера сопровождаются с центром в точке S(x0,y0,z0) информационноеи радиусом Р.
Множество прибыли точек, воздействуют координаты (х, представляют у, z) которых удобством удовлетворяют уравнению этом ах + Ьу коммерческая + cz + d = 0 (а, системе Ь, с иd - некоторые поставка числа) есть мероприятий плоскость в пространстве.
Расстояние от сопровождаются точки (х0, у0, z0) услуг до плоскости поставка а, уравнение являясь которой имеет конечный видах более + Ьу + cz распределение + d = 0,
равно
| ах 0 + йу 0 + с. 0 + й |
" л/а2 + Ь2 + с2 .
Косинус отличительным угла между поставка прямыми, если связаны известны координаты товаров направляющих векторов, увязать вычисляется по отличительным формуле:
1 Х1Х2 + У1У2 + .2 1 ф = л/х2 + У12 + .
Применение представленных выше теоретических формул рассмотрим на следующем примере.
Дано: куб связанные ABCDA1B1C1D1. Точка К - середина увязать ребра АА1, L -середина предоставление ребра AD, разделении М - центр грани системы DD1CC1 (см. рис. 1). Докажите, что прибыли прямые КМ элемент и В^ взаимно перпендикулярны.
Решение: Рассмотрим преобразование гомотетии, помвеличины углов предоставление между геометрическими поставка объектами (между процесс плоскостями, прямыми, экономическая прямой и плоскостью) элементы не меняются, поэтому информационное куб можно воздействие взять произвольного особенности размера. Пусть ребро целом куба равно розничной 2 единицам.
Выберем прямоугольную воздействие декартову систему производитель координат так, внешней как указано элемент на рисунке представлено 1. Относительно выбранной связанные системы координат, розничной найдём координаты экономическая следующих точек и векторов:
Векторы предоставление В ±Ь и КМ _ направляющие векторы коммерческая
соответственно прямых сопровождаются В^ и КМ. Пусть Ф - величина элементы угла между розничной прямыми В^ и КМ.
Тогда
Отсюда развивающейся следует, что _ ■-'
Представлен достаточно простой в применении векторно-координатный метод, который является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода позволяет значительно упростить и сократить процесс решения задач, что помогает при изучении как школьного курса математики, так и при изучении математики в высших учебных заведениях.
Основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», и «правилом параллелепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; переход от соотношения между векторами через скалярное произведение векторов и длины этих векторов [2].
Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими, что не требует сложных построений в проекциях по той простой причине, что этот метод заключается во введении декартовой системы координат, а затем - исчислении образующихся векторов.
Результатом исследования является решение типовых задач векторно-координатным методом.
В ходе решения задач векторно-координатным методом были выявлены некоторые его недостатки - это требуемый нередко большой объем вычислений и
наличие нецелых промежуточных результатов, иррациональных. Но, тем не менее, рассмотренные процессы решения задач показывают, что эти недостатки можно ликвидировать путем коррекции в решении задач. Также было выявлено, что одной из основных проблем, которые встречаются при выполнении стереометрических задач, являются задачи, где вычисления или доказательства, необходимо построить сечение плоскостью. Получается, что если нет пространственного воображения и умений построения воображаемой пространственной модели, то стереометрическая задача не может быть решена правильно и в полном объеме. Однако, зная всего несколько формул векторной алгебры и способы ведения системы координат на плоскости и в пространстве, задача обретает совсем иной смысл и решить ее значительно проще и быстрее.
Библиографический список:
1. Темербекова, А. А. Использование векторно-координатного метода при решении геометрических задач в школе и в вузе [Текст] / А. А. Темербекова // Информация и образование: границы коммуникаций INFO'16: сборник научных трудов №8 (16); под ред. А.А. Темербековой, Л. А. Альковой. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2016. -С. 201-205.
2. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия) : учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ , 2017. - 108 с.
УДК 378
РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У ОБУЧАЮЩИХСЯ 5-6 И 7-8 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ DEVELOPMENT OF COMBINATORIAL AND PROBABILISTIC REPRESENTATIONS AMONG THE STUDENTS OF 5-6 GRADES OF GENERAL EDUCATION SCHOOL
Раенко Е. А., канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск raenko_elena@mail.ru
Аннотация. В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением стохастических понятий и методов в 5-6 и 7-8 классах средней школы.
Ключевые слова: комбинаторика, вероятность, статистика, преемственность.
Abstract. The article deals with the issues related to the study of stochastic concepts and methods in 5-6 and 7-8 grades of secondary school.
Key words: combinatory, probability, statistics, continuity.
Теория вероятностей и математическая статистика все больше находят применение в различных областях науки и техники: вероятностно-статистические методы применяются при построении моделей в социологии, литературоведении, лингвистике, статистические закономерности используются при изучении природных явлений в биологии, при осуществлении химических реакций в химии, при изучении молекулярного строения вещества в физике. Кроме того, современная жизнь требует от человека умения анализировать случайные факторы, оценивать шансы, прогнозировать развитие ситуации, выдвигать гипотезы, принимать решения в условиях неопределенности.
В настоящее время школьное образование нацелено на развитие вероятностного стиля мышления учащихся, на ознакомление их с более широкими статистическими закономерностями, отличающихся от закономерностей, составляющих классический детерминизм.
Необходимость введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в школьный курс математики назрела уже давно. Еще в 60-е годы при реформировании школьного математического образования элементы теории вероятностей были введены в школьный курс математики как замкнутый раздел
