CC BY
892. Сыров, Е. В. О некоторых особенностях обучения школьников математике с использованием возможностей виртуальных сред [Текст] / Е. В. Сыров // Наука молодых : сборник материалов VII Всероссийской научно-практической конференции, 17 декабря 2013 г., Выпуск 7. - Арзамас : Арзамасский филиал ННГУ, 2013. - С. 616-618.
3. Информация и образование: границы коммуникаций INFO,16 : сборник научных трудов №8 (16); под ред. А.А. Темербековой, Л.А. Альковой. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2016. - 258 с.
УДК 510.2
ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНО-КООРДИНАТНОГО МЕТОДА PRACTICAL ASPECTS OF SOLVING THE STEREOMETRIC PROBLEMS WITH THE VECTOR-COORDINATE METHOD
Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Байгонакова Г. А, канд. физ.-мат. наук, доцент ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский Государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск
Аннотация. В статье рассмотрен один из актуальных методов решения задач по стереометрии - векторно-координатный метод, который на сегодняшний день является мощным инструментом их решения. Суть его заключается во введении удобной для решения задачи декартовой системы координат и вычислении искомых элементов через векторы.
Ключевые слова: задача, математическая задача, решение, стереометрия, метод, вектор, координаты, обучение.
Abstract. In article one of relevant methods of the solution of tasks in stereometry - a vector-coordinate method, which is the powerful tool of olving such tasks, is considered. The basics of the method is in introduction of a problem of the Cartesian system of coordinates, convenient for the decision, and calculation of required elements through vectors.
Key words: task, mathematical task, decision, stereometry, method, vector, coordinates, training.
Современное состояние науки и техники постоянно требует инновационных решений, связанных с постановкой новых инженерных, технологических или научных задач и поиском путей их наиболее рационального решения. Математика в этом контексте важна не только как аппарат для решения задач в самых разных областях деятельности, но также и как общепризнанный инструмент развития логического мышления, позволяющий выработать навыки поиска решения не только чисто научных, но и практических задач.
Понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства.
Необходимо отметить, что в школьном курсе математики тема «Векторы», а вместе с ней векторный метод, появилась относительно недавно, в начале шестидесятых годов прошлого века. Тем не менее, практически сразу же понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики, а векторный метод- одним из основных способов решения задач и доказательства теорем.
В любом школьном учебнике изложение темы «Векторы» состоит из двух этапов: изучение векторов и векторного метода 1) в планиметрии; 2) в стереометрии, с которыми у учеников возникают определенные трудности в процессе решения задач.
В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ. К понятию
вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики, так как задачи по теории упругости, по теории электромагнитных полей.
Цели изучения векторного метода: дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательств основных теорем; показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике и форматировать на этой базе у обучающихся целостное диалектико-материалистическое мировоззрение; использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у обучающихся умения выполнять обобщение и конкретизацию; формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.
Можно выделить основные этапы формирования векторно-координатного метода в процессе изучения математики.
1. Подготовительный этап, целью которого является овладение перечисленными основными понятиями и основными действиями.
2. Мотивационный этап, целью которого является показ необходимости овладения этим методом и его востребованностью при решении таких задач, которые векторным методом решаются проще, чем любым другим, или другим вообще решить невозможно.
3. Ориентировочный этап, целью которого является разъяснение сути метода и выделение его основных компонентов на примере анализа решенной этим методом задачи.
4. Формирующий этап, целью которого является использование специально подобранных задач и формирование отдельных компонентов метода, решение задач, в которых работают все или большинство компонентов метода (в том числе и на материале физики, химии и др. предметов).
Следует отметить условную формальность такого деления, так как каждый этап задачи взаимозависим от предыдущего и последующего этапов.
Основными компонентами векторного метода решения задач являются:
1) перевод условия задачи на язык векторов: а) введение в рассмотрение векторов; б) выбор системы координат; в) выбор базисных векторов; г) разложение всех введенных векторов;
2) составление векторных равенств или их системы;
3) упрощение векторных равенств или их системы;
4) замена векторных равенств или их системы алгебраическими уравнениями и их решение;
5) объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы.
Понятийный аппарат и умения, которыми должен овладеть обучающийся, чтобы
научиться решать задачи векторным методом:
- основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы, единичный вектор, координатные векторы (орты), скалярное произведение векторов, угол между ненулевыми векторами;
- основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», «правилом параллелограмма» и «правилом параллепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; замена вектора ему равным при помощи параллельного переноса; представление вектора в виде его разложения по двум неколлинеарным векторам; переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и выполнение обратного действия; выражение величины угла между векторами через скалярное произведение векторов и длины этих векторов;
- действия для овладения компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи; перевод условия задачи на язык векторов, т.е. составление системы векторных равенств по условию задачи; выбор базисных векторов, разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным
векторам; упрощение системы векторных равенств; замена векторных равенств алгебраическими.
Покажем, как доказать известную теорему о медианах треугольника векторно-координатым методом [1 - 3].
Пример 1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
С целью доказательства данной теоремы возьмём на медиане CD треугольника
ABC точку М, такую, что CM = 2. Согласно формуле деления отрезка в данном
MD
соотношении, имеем: OM = OC + 2OD где точка O - произвольная точка пространства.
3 '
A D В
Рисунок 1 - Треугольник ABC
Так как D - середина отрезка AB , то OD =1 ¡OA + OB).
2v r
Следовательно, OM =1 (OA + OB + OC)
3v r
Пусть точка M' делит любую из двух других медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда для вектора OM' аналогично получим такое же выражение, т. Е. OM' = OM. Значит, точки M и M' совпадают. Таким образом, все три медианы треугольника ABC имеют общую точку M , которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
Мы получили формулу, выражающую вектор OM через векторы OA, OB и OC, которая верна и в том случае, когда точка O не лежит в плоскости треугольника и OABC - тетраэдр. Точка M пересечения медиан треугольника называется его центроидом.
Тетраэдр имеет ряд свойств, аналогичных свойствам треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называют медианой тетраэдра. Медианы тетраэдра, как и медианы треугольника, пересекаются в одной точке.
Векторные решения часто значительно проще и эффективнее решений, полученных элементарными средствами. Они отличаются большей общностью.
Пример 2. Построить общий перпендикуляр скрещивающихся диагоналей двух смежных граней куба. Найти расстояние между этими диагоналями, если ребро куба равно 1.
Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Требуется построить общий перпендикуляр MN скрещивающихся прямых BA1 и CB1. Введём обозначения: BA = a, BC = b и BB1 = c . Пусть BM = xBAi, CN = yCBi. Разложим векторы BM и CN по базисным векторам
a, b, c.
Получим: BAi = a + c, CBi = c - b, BM = x(a + c), CN = y(c -b).
Значит, MN = MB + BC + CN = - xa + (l - y )b + (y - x )c.
Рисунок 5 - Куб ЛВСБЛ В1С1Б1
Отрезок MN является общим перпендикуляром прямых ВЛ\ и СВ1 тогда и только
тогда, когда ММ ■ ВЛ\ = 0. и МЫ ■ СВ\ = 0. Так как векторы а, Ь, с попарно перпендикулярны, то
a • b = b • c = c • a = 0 .
—2 —2 —2
Согласно условию задачи а = Ь = с = \. Учитывая это, выполним скалярное умножение векторов и получим систему уравнений:
Г 2 х - у = 0
[х - 2у + \ = 0 .
\ 2
Отсюда находим: х = — и у = —. Следовательно, точки М и N делят диагонали
3 3
ВЛ\ и СВ\ в отношении 1:2, считая от точек В и В\. Отрезок МЫ можно построить. При найденных значениях х и у имеем:
!- !т
MN = — a + -b + -c. 3 3 3
Вычислив скалярный квадрат вектора MN, найдём расстояние между прямыми
BA и CB.: MN = —. Ответ: MN = —. 1 1 3 3
Планиметрическая и сходная стереометрическая задачи очень часто решаются одинаково. Часто при решении векторно-координатным методом не требуется проводить дополнительных построений. Однообразие в методах решения приводит к тому, что многие задачи становятся стандартными.
При вычислении угла между прямой и плоскостью используем определение: Если прямая a пересекает плоскость а и не перпендикулярна плоскости а, то углом между прямой и плоскостью а называется угол между прямой a и ее проекцией на плоскость а. Если a || а, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю, а если a 1 а, то равным 90°. Из определения угла ф между прямой и плоскостью следует, что 0 ° < ф < 90 Но угол между векторами может принимать значения от 0 ° до 180 Поэтому возможны два случая. Рассмотрим векторно-координатный метод решения задачи.
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE: EA1 = 3:2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Пусть Za = Z(ÁA1;n), AA1 - вектор, перпендикулярный плоскости (ABC); n -вектор, перпендикулярный плоскости (BED1).
193
1) Введем прямоугольную систему координат А(0;0;0); ось ОХ совпадает с лучом АВ , ОУ с лучом AD , OZ с лучом АА1.
Тогда Л(0;0;0), ^1(0;2;5), ЛЛг = 5 , Л,(0;0;5), AA1{0;0;5}, B(2;0;0), EB{2;0;-3},
E (0;0;3), ЕД{0;2;2}.
С
B
л
5
х
2) Найдем координаты нормали к плоскости ВЕВх(п ± (ВЕЦ)). Пусть п{х;у;г}, тогда получим:
ГП ■ ЕВ = 0 |2х + 0у - 0г = 0 [2х - 3г = 0
n
• ED = 0 [0х + 2y + 2z = 0 [y + z = 0
Для х = 3, получаем z = 2 , y = -2 n{3;-2;2}, n = Vl7 .
3 • 0 + (-2) • 0 + 2 • 5 5 .^Yl
3) Найдем косинус угла между векторами: cosZ(n,ЛЛ1) =
х 2л/17 . 2^J\l 2yjl7 cos Zff =-, Aa = arccos-. Ответ: arccos-.
17 2 17
В решении стереометрических задач векторно-координатным методом можно использовать структурно-логические схемы [4; 5]. Применение этого векторно-координатного метода на практике способствует формированию графической культуры обучающихся.
Библиографический список:
1. Байгонакова, Г. А. Решение задач повышенной сложности (стереометрия): учебное пособие [Текст] / Г. А. Байгонакова, А. А. Темербекова // БИЦ ГАГУ. - 2017. -с. 108.
2. Деев, М. Е. Геометрия: учебно-методический комплекс [Текст] / М. Е. Деев, Н. А. Пахаева. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2010. - 107 с.
3. Темербекова, А. А. Использование векторно-координатного метода при решении геометрических задач в школе и в вузе [Текст] / А. А. Темербекова // Информация и образование: границы коммуникаций INFO'16 : сборник научных трудов № 8 (16); под ред. А. А. Темербековой, Л. А. Альковой. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2016. - С. 201-205.
4. Темербекова, А. А. Построение структурно-логических схем при изучении аналитической геометрии [Текст] / А. А. Темербекова // Актуальные вопросы математического образования: сборник научных трудов кафедры «Алгебра, геометрия и методика преподавания математики». - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ. - 2012. - Вып. 1. -2012. - С. 28-30.
5. Темербекова, А. А. Формирование графической культуры студентов : теоретический аспект : учеб.-метод. Пособие [Текст] / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ. - 2012. - 144 с.
