Научная статья на тему 'Специфика использования метода координат при решении стереометрических задач в средней школе'

Специфика использования метода координат при решении стереометрических задач в средней школе Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
1691
179
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА / ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ / МЕТОД КООРДИНАТ / GEOMETRIC PROBLEM / LEARNING PROBLEM SOLVING / COORDINATE METHOD

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сидорякина Валентина Владимировна, Аксайская Любовь Николаевна, Кумакова Елена Анатольевна

Метод координат является одним из основных методов геометрии. Он помогает эффективно решать ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии. В настоящей работе рассмотрены некоторые специфические особенности обучения учащихся решению геометрических задач указанным методом.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сидорякина Валентина Владимировна, Аксайская Любовь Николаевна, Кумакова Елена Анатольевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SPECIFICS OF USING THE METHOD OF COORDINATE IN SOLVING PROBLEMS CTE-rheometer in high school

Coordinate method is one of the main methods of geometry. It helps to effectively address a number of affine and metric problems of plane geometry and solid geometry. This paper discusses some of the specific features of training of pupils solving geometric problems by this method.

Текст научной работы на тему «Специфика использования метода координат при решении стереометрических задач в средней школе»

Второй вывод диода через изоляционную втулку выводят наружу и соединяют с зажимом, который подключается к входу усилителя низкой частоты.

Конденсатор С изготавливается из луженой жести. Обкладка имеет форму диска, который припаивается отрезком медной проволоки к стенке резонатора. Диаметр диска несколько меньше диаметра витков катушки, так, чтобы он мог перемещаться внутри спирали.

В качестве антенны используется отрезок медной проволоки, диаметром полтора миллиметра. Длина антенны I должна составлять 0,25 - 0,28 длины волны.

с 3 1 о8

Я = — , я = . = 2,83м , тогда I = 0,7 м.

V 106 • 106

Основным недостатком этого способа является то, что высокое качество звучания происходит в условиях прямой видимости передатчика на расстоянии в несколько километров от школы, что не всегда оказывается возможным.

6

Рис.7. Схема автогенератора (а) и радиопередатчика на его основе (б)

Третий подход связан с изготовлением маломощного передатчика в диапазоне средних волн. На рис.7а представлена схема генератора гармонических колебаний с индуктивной обратной связью. Принцип работы такого генератора входит в школьную программу и подробно раскрывается во всех школьных учебниках [2,3,4]. На основе данного автогенератора несложно получить схему передатчика радиосигналов рис.7б.

Для демонстрации достаточно радиуса действия 10-15 метров, в этом случае можно обойтись только магнитной антенной. Сигнал принимается детекторным приемником.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Донских С.А., Сёмин В.Н. Разработка видеолекций по теоретической механике.// Вестник Таганрог. гос. пед. ин-та. -2011. - N 1. С. 147 - 152.

2. Касьянов В.А . Физика.11кл. - М.: АСТ, 2008. - 412 .

3. Коровин В. А., Орлов В. А. Программы для общеобразоват. учреждений: Физика. Астрономия. 7 - 11 кл, 4-е изд., перераб. - М.: Дрофа, 2010. - 334 с.

4. Мякишев Г.Я. Физика 11. - М.: Просвещение, 2004. - 331 с.

5. Симоненко В.Д. Технология 9 класс. Учебник для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Вентана-Граф, 2005. - 288 с.

6. Ханзел Г. Справочник по расчёту фильтров. - М.: Сов. hадио, 1974. - 288 с.

В.В. Сидорякина, Л.Н. Аксайская, Е.А. Кумакова

СПЕЦИФИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Аннотация. Метод координат является одним из основных методов геометрии. Он помогает эффективно решать ряд аффинных и метрических задач планиметрии и стереометрии. В настоящей работе рассмотрены некоторые специфические особенности обучения учащихся решению геометрических задач указанным методом.

Ключевые слова: геометрическая задача, обучение решению задач, метод координат.

V.V. Sidoryakina, L.N. Aksayskaya, E.A. Kumakova

SPECIFICS OF USING THE METHOD OF COORDINATE IN SOLVING PROBLEMS CTE-RHEOMETER IN HIGH SCHOOL

Abstract. Coordinate method is one of the main methods of geometry. It helps to effectively address a number of affine and metric problems of plane geometry and solid geometry. This paper discusses some of the specific features of training of pupils solving geometric problems by this method.

Key words: geometric problem, learning problem solving, coordinate method.

Мы живем в быстро меняющемся мире. Не только повседневность меняется вокруг нас, но меняются и методы нашего познания этого мира. Одним из приоритетных направлений математического образования является формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования реальных явлений и процессов. Появляются новые теории, на основании которых происходит постоянная модернизация математического аппарата и его инструментария, что облегчает процесс нахождения решений математической задачи, делая его более понятным и простым. Многообразие возможностей применения геометрического аппарата и его роль в повышении развития математической культуры учащихся трудно переоценить. Он служит уникальным способом тренировки и развития мышления. Проблеме обучения школьников геометрии посвящены исследования таких специалистов в этой области предмета, как Э.Г. Готман, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, А.Н. Смоляков, И.Ф. Шарыгин С.Л. Атанасян, Г.Д. Глейзер, В.А Гусев, В.А. Далингер, А.В. Погорелов, Н.Х. Розов и др.. Однако, несмотря на пристальное внимание к практике преподавания математики в школе, геометрические задачи, как показывают опросы учащихся, учителей и результаты ЕГЭ, остаются для большинства старшеклассников наиболее сложными.

Современные методы геометрии используют различные подходы к решению задач. Это в первую очередь геометрический (синтетический) метод. Этот метод построен на составлении последовательных логических выводов, на основе изучения аксиом, теорем и их свойств. При этом очень важную роль в нем занимает правильно сделанный чертеж, на основании наглядного представления которого и проводится это построение. Кроме этого существует множество других более «прогрессивных» методов решения задач геометрии, берущих свое начало на стыке двух главных математических наук - алгебры и геометрии. Одним из таких методов является метод координат. Главную ценность этого метода составляет перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач. Еще одно достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. Для рассматриваемого метода не является характерным выполнение дополнительных вспомогательных построений. Использование координатного метода содействует развитию вычислительных и графических навыков, пространственных представлений, геометрической интуиции учащихся, так как его употребление связано с выбором системы координат, вычислением координат точек, с переложением языка уравнений и неравенств на язык геометрии и наоборот [1]. Все сказанное выше свидетельствует об актуальности темы данного исследования.

Отметим и тот факт, что традиционно этот материал является одним из самых трудных в школьном курсе геометрии. В то же время координатный метод есть один из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач. Сила координатного меттода заключается и в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить [2-4]. Для учащихся, владеющих указанным методом, не составит труда решать сложные задачи простым путем.

Изучение координатного метода и обучение его применению в школе учащимися, для решения различных математических задач, происходит в несколько этапов.

Так на первом этапе вводятся основные понятия, которые отрабатываются учащимися в 56 классах и систематизируется в курсе геометрии.

В 5 классе учащиеся знакомятся с понятием луча, как части координатной прямой. Чуть позже, при изучении отрицательных чисел, дополнительно рассматривается понятие луча. После введения рациональных чисел в 6 классе учащиеся изучают координатную плоскость.

На втором этапе ученики знакомятся с уравнениями прямой и окружности. Указанные понятия изучаются ими как в алгебре, так и в геометрии, но, к сожалению, с разной содержательной целью. Поэтому учащиеся часто не видят связи между ними, и как следствие плохо усваивают суть метода. Так, в курсе алгебры 7 класса графики основных функций вводятся путем построения ряда точек, координаты которых вычисляются на основании функций, заданных аналитически.

В курсе геометрии уравнение прямой и окружности вводится на основе характеристических свойств этих геометрических фигур, как множество точек, обладающих определенными признаками (равноудаленности от 2 точек - для прямой, от одной точки - для окружности).

Только в курсе геометрии 9 класса, происходит обучение применению самого метода координат для решения задач. Для этого, сначала раскрываются основные положения метода, а затем, на примере задач, показывается непосредственное применение метода координат. В 10 классе в рассмотрение вводится применение метода координат для решения задач в трехмерном пространстве. Вводится большое количество разнообразных формул и правил, появляются новые виды задач. Основной целью обучения теме «Метод координат в пространстве» в 11 классе является формирование умения применять координатный метод к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве. Изучаются такие вопросы, как «Координаты точки и координаты вектора», «Скалярное произведение векторов», «Движения».

Использование координатного метода при решении задач предполагает, как правило, выполнение следующих этапов:

1) переложение математической задачи на координатный (аналитический) язык;

2) выполнение преобразований аналитического выражения;

3) обратное переложение, т. е. переложение с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована исходная задача.

Проиллюстрируем это на конкретных примерах.

1. Решить систему уравнений

х2 + у2 = 16, у = х - 4.

Если переложить данные задачи на геометрический язык, то ее решение будет сводиться к нахождению координат точек пересечения фигур, заданных уравнениями системы. Первое из них представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 4, а второе — уравнение прямой (первый этап). На втором этапе осуществляется построение окружности и прямой и нахождение координат их точек пересечения.

При пересечении окружности и прямой получаем точки пересечения: А(4; 0), В(0; -4). На третьем этапе выполняется перевод с геометрического языка на алгебраический; координаты точек пересечения окружности и прямой являются решением данной системы уравнений. То есть, ответом этого решения являются числа: (4;0) и (0;-4).

2. В правильной четырехугольной призме АВСОА1В1С1В1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА1 взята точка М так, что АМ = 8 см. На ребре ВВ1 взята точка К так, что В±К = 8 см. Найдите угол между плоскостью 0±МК и плоскостью СС±0.

Рис.2

Введем систему координат с началом в точке А1 (рис. 2). Составим уравнения плоскостей 0±МК и СС±0, через координаты трех точек им принадлежащим.

Плоскость В1МК задаем точками £>х(0; 12; 0), М(0; 0; 13), К( 12; 0; 8). Подставим координаты точек в уравнение плоскости Ах + Ву + Cz + 1 = 0 :

0 • А + 0 • В + 13-С + 1 = 0, 12-А + 0 • В + 8 • С + 1 = 0, 0 • А + 12-В + 0 • С + 1 = 0

или

Г 13^ С + 1 = 0, <¡12 • А + 8 • С + 1 = 0, [ 12^ В + 1 = 0.

Отсюда: С = - —, В = - —, А = -—.

13 12 156

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

5 1 1 ! П

--х--у--z +1 = 0

156 12 13

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения плоскости на (-156). Получим уравнение плоскости 0±МК:

5х + 13у + 12z - 156 = 0. Аналогично составляем уравнение плоскости СС±0, для которой Сх(12; 12; 0), С(12;12;21), ,0(0; 12; 21):

Г12^ А + 12^ В + 0 • С + 1 = 0, <12^ А + 12^ В + 21 С + 1 = 0, I 0• А + 12^В + 21 С + 1 = 0

или

Г 12^ А + 12^ В + 1 = 0, <12^ А + 12^ В + 21 С + 1 = 0, I 12^ В + 21 С + 1 = 0.

1 4 1

Из первого и третьего уравнений последней системы находим: А = - В--С = — В--.

12 ' 7 21

Полученные выражения для А и С подставим во второе уравнение указанной системы: В = - -1

. Далее имеем А = С = 0 .

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости СС±0 и получим

- — у +1 = 0 12

или в более удобной форме:

у - 12 = 0.

Находим угол между плоскостями 0±МК и СС±0

_ |5 • 0 +13-1 + 12-0 _ 13 _ 13 _ 1

Ф=752 +132 +122 -V02 +12 + 02 = л/338 = ].3/2 = л/2 . Следовательно, угол ф = 45°.

Таким образом, «метод координат» - это мощный аппарат для решения многих геометрических задач. Но, несмотря на множество преимуществ указанного метода, отметим и некоторые отрицательные моменты его использования:

- одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат;

- при решении не нужна высокая степень сообразительности, что негативно сказывается на творческих способностях учащихся;

- часто полностью отсутствует доказательная часть, обоснование того или иного применения теорем стереометрии и планиметрии.

Заключение

Применение метода координат при решении геометрических задач способствует развитию творческого, эвристического мышления учащихся, поскольку задание системы координат как вспомогательного элемента - это нестандартный способ решения задач. Формирование последовательности действий будет способствовать эффективному и осмысленному применению метода координат в различных ситуациях. Средством обучения учащихся этому методу являются геометрические задачи определенных типов. Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить время для нахождения решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, различных олимпиадах. В дальнейшем, при изучении математики в высших учебных заведениях, учащийся также сможет использовать полученный опыт [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

2. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2010. - 248 с.

3. Атанасян, Л.С. Геометрия, ч.1 Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1973. -478 с.

4. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.

5. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.: Дрофа, 2008. -173 с.

6. Сидорякина В.В., Кружилина Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 130-134.

А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ДВУМЕРНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТРАНСПОРТ НАНОСОВ В МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМАХ *

Аннотация. В настоящей работе рассматривается линеаризованная пространственно-двумерная модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Приводится схема доказательства положительности решений, соответствующей линеаризованной начально-краевой задачи при некоторых предположениях относительно начальных, граничных условий и функции правой части.

Ключевые слова: пространственно-двумерная модель транспорта наносов, прибрежная зона, нелинейная задача, линеаризованная задача, положительность решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.