Научная статья на тему 'О некоторых особенностях решений линеаризованной двумерной начально-краевой задачи, описывающей транспорт наносов в мелководных водоемах'

О некоторых особенностях решений линеаризованной двумерной начально-краевой задачи, описывающей транспорт наносов в мелководных водоемах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
43
6
Поделиться
Ключевые слова
ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ / ПРИБРЕЖНАЯ ЗОНА / НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА / ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ ЗАДАЧА / ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сухинов Александр Иванович, Сидорякина Валентина Владимировна

В настоящей работе рассматривается линеаризованная пространственно-двумерная модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Приводится схема доказательства положительности решений, соответствующей линеаризованной начально-краевой задачи при некоторых предположениях относительно начальных, граничных условий и функции правой части.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сухинов Александр Иванович, Сидорякина Валентина Владимировна,

SOME FEATURES solution of the linearized two-dimensional INITIAL-boundary value problem describing sediment transport in shallow waters

In this paper we consider the linearized spatial-dimensional model of sediment transport by wave action in the coastal zone. The scheme of the proof of a positive decision, the corresponding linearized initial boundary value problem under certain assumptions about the initial, boundary conditions and function right.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «О некоторых особенностях решений линеаризованной двумерной начально-краевой задачи, описывающей транспорт наносов в мелководных водоемах»

1 4 1

Из первого и третьего уравнений последней системы находим: А = - В--С = — В--.

12 ' 7 21

Полученные выражения для А и С подставим во второе уравнение указанной системы: В = - -1

. Далее имеем А = С = 0.

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости СС±0 и получим

- — у +1 = 0 12

или в более удобной форме:

у - 12 = 0.

Находим угол между плоскостями 0±МК и СС±0

_ |5 • 0 +13-1 + 12-0 _ 13 _ 13 _ 1

Ф=752 + 132 +122 -V02 +12 + 02 = л/338 = ].з/2 = л/2 . Следовательно, угол ф = 45°.

Таким образом, «метод координат» - это мощный аппарат для решения многих геометрических задач. Но, несмотря на множество преимуществ указанного метода, отметим и некоторые отрицательные моменты его использования:

- одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат;

- при решении не нужна высокая степень сообразительности, что негативно сказывается на творческих способностях учащихся;

- часто полностью отсутствует доказательная часть, обоснование того или иного применения теорем стереометрии и планиметрии.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Заключение

Применение метода координат при решении геометрических задач способствует развитию творческого, эвристического мышления учащихся, поскольку задание системы координат как вспомогательного элемента - это нестандартный способ решения задач. Формирование последовательности действий будет способствовать эффективному и осмысленному применению метода координат в различных ситуациях. Средством обучения учащихся этому методу являются геометрические задачи определенных типов. Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить время для нахождения решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ, различных олимпиадах. В дальнейшем, при изучении математики в высших учебных заведениях, учащийся также сможет использовать полученный опыт [6].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2000. - 173 с.

2. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2010. - 248 с.

3. Атанасян, Л.С. Геометрия, ч.1 Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1973. -478 с.

4. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.

5. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.: Дрофа, 2008. -173 с.

6. Сидорякина В.В., Кружилина Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 130-134.

А.И. Сухинов, В.В. Сидорякина

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ДВУМЕРНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТРАНСПОРТ НАНОСОВ В МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМАХ *

Аннотация. В настоящей работе рассматривается линеаризованная пространственно-двумерная модель транспорта наносов под воздействием волн в прибрежной зоне. Приводится схема доказательства положительности решений, соответствующей линеаризованной начально-краевой задачи при некоторых предположениях относительно начальных, граничных условий и функции правой части.

Ключевые слова: пространственно-двумерная модель транспорта наносов, прибрежная зона, нелинейная задача, линеаризованная задача, положительность решения.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ по проектам № 15-01-08619, 16-07-00100, 15-07-08626, 15-07-08408 и по проекту № 00-16-13 в рамках Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 1.33П.

A.I. Sukhinov, V.V. Sydoryakina

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

SOME FEATURES SOLUTION OF THE LINEARIZED TWO-DIMENSIONAL INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM DESCRIBING SEDIMENT TRANSPORT

IN SHALLOW WATERS

Abstract. In this paper we consider the linearized spatial-dimensional model of sediment transport by wave action in the coastal zone. The scheme of the proof of a positive decision, the corresponding linearized initial boundary value problem under certain assumptions about the initial, boundary conditions and function right.

Key words: spatio-dimensional model of sediment transport, coastal zone, nonlinear problem, the linearized problem, positive solutions.

Введение

В настоящей работе получены достаточные условия положительности решения двумерной нелинейной начально-краевой задачи транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов в гильбертовом пространстве Zj. При возникновении ветрового волнения в мелководных водоемах, к которым относятся подавляющее большинство прибрежных систем, возникают течения сложной пространственной структуры [1-3].

Представленные в работе результаты являются продолжением исследований авторов, ранее опубликованных в работах [4], [5]. На основе анализа существующих результатов математического моделирования гидродинамических процессов, протекающих в мелководных водоемах, авторским коллективом была разработана нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта наносов с учетом всех основных влияющих на нее факторов и процессов, определяющих состояние берегов [6]. Были разработаны консервативная дискретная модель, аппроксимирующая соответствующую начально-краевую задачу и построены эффективные методы ее численной реализации, в том числе на многопроцессорных системах [6-9]. Постановка начально-краевой задачи для нелинейной пространственно-двумерной модели транспорта наносов, осуществлялась с учетом пористости грунта, критического значения касательного напряжения, при котором начинается перемещение наносов, турбулентного обмена, динамически изменяемой геометрии дна, ветровых течений и трения о дно. Линеаризация 2D нелинейной модели транспорта наносов проводилась на основе построения взаимосвязанных по начальным условиям - финальным решениям цепочки линеаризованных смешанных задач Коши на равномерной временной сетке. Методами функционального анализа ранее авторами доказано существование и единственность решения указанной начально-краевой задачи.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Следуя [5,6], рассматривается уравнение транспорта наносов:

(l -s= div k--—— gradH - div(k-Ту ), (1)

dt ^ sin <pq j

где H = H(x,y,t) - глубина водоема; s - пористость донных материалов; т^ - вектор касательного тангенциального напряжения на дне водоема; тус - критическое значение тангенциального напряжения; тус = asinpQ, q>Q - угол естественного откоса грунта в водоеме; k = k(H,x,y,t) -нелинейный коэффициент, определяемый соотношением:

P-1

Arnd

k = -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Thc

ту---gradH

sin q>Q

(2)

((р - ро У У

(р1, ро - плотности частиц донного материала и водной среды соответственно; g - ускорение силы тяжести; ® - частота волны; А и ¡3 - безразмерные постоянные; d - характерные размеры частиц грунта).

Пусть D с Кп - область, где происходит процесс, и 5 - ее граница, которая является кусочно-гладкой линией. Областью задания уравнения (1) считаем цилиндр Цт = D х (о,Т) высоты

T с основанием D . Его граница состоит из боковой поверхности S х[0,Т] и двух оснований: нижнего D х{0} и верхнего D х {т}. Далее для простоты уравнение (1) рассматривается в прямоугольной области D(x,y) = { < x < Lx,0 < y < Ly }.

Дополним уравнение (1) начальным условием предполагая, что функция начальных условий принадлежит соответствующему классу гладкости:

H(x,y,0) = Но(x, y), Но(x, y)e С2(D)nС(d), grad(x,y)H() e С(d), (x, y)e D . (3)

Сформулируем условия на границе области D :

Ч = 0, (4)

y=o

Н(Lx,y,t) = Н2(y,t), 0 < y < Ly. (5)

Н(0,y,t) = Hi(y,t), 0 < y < Ly, (6)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

H(x,0,t) = Н3 (x), 0 < x < Lx. (7)

H\x,L'y,t) = Н4(x,t), 0 < x < Lx, L'y < Ly. (8)

Дополнительно к граничным условиям (5)-(8) предполагаем выполнение условий их гладкости - существование непрерывных производных на границе области D :

grad^x,y)Н e С(Цт Ь С1(Цт ) (9)

Считаем, что всегда есть слой жидкости конечной толщины в рассматриваемой области и для указанного временного промежутка не происходит осушения области, т.е.

Н(x,y,t) > c0 = const > 0, 0 < x < Lx, 0 < y < L'y, 0 < t < T. (10)

Условие невырожденности оператора задачи имеет вид:

k > k0 = const > 0, V(x,y) e D, 0 < t < T. (11)

Вектор тангенциального напряжения на дне выражается с использованием единичных ортов системы координат естественным образом:

Tb = nbx + JTby, rbx =rbx (x,y,t), Tby = Tby (x,y,t) (12)

2. Линеаризация нелинейной начально-краевой задачи транспорта наносов

Методами, изложенными в работе [5], создадим линеаризованную модель на временном отрезке 0 < t < T, построив равномерную сетку aT с шагом т, т.е. множество точек

ат ={tn = пт, n = 0,1,...,N, Nt = т} и осуществим линеаризацию начально-краевой задачи

(1)-(8).

Введем обозначения:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Tb• gradH(n~l)(x,y,tn) ,n = 1,2,...,N. (13)

k

(n-l)=_ A(°d

((P1 - P0 )sdY

sin^o

Тогда уравнение (1) после линеаризации запишем в виде:

(1 - е). = divi k (n-1) • • gradH (n)"] - div(k (n-1) • тЬ ) tn < t < tn,n = 1,..., N (14)

dt ^ sin q>Q j v '

и дополним его начальными условиями:

H(1)(x,у, tQ) = Но(x,y),H(n)(x, y, tn_1 ) = H(n-1)(x, y, tn_1), (x,y)eD, n = 2, ...,N. (15)

Член вида diVk(n 1 • Tb) является при такой линеаризации известной функцией правой части; граничные условия (4)-(8) предполагаются выполненными для всех промежутков времени

tn-1 < t < tn,n = 1,2,...,N .

Отметим, что коэффициенты k (n-1), n = 1,2,..., N зависят от пространственных переменных x,y и временной переменной tn_1, n = 1,2,..., N, определяемой выбором шага т сетки ат , т.е. k(n-1)= k(n-1)(x,y,tn-1), n = 1,2,...,N.

3. Положительность решений линеаризованной начально-краевой задачи транспорта наносов

Существование и единственность решения линеаризованной задачи (14) с начальными условиями (15) и с условиями на границе (4)-(8) обосновано авторами в работах [4]-[5]. Обозначим решение линеаризованной задачи через H (x,y,t), (x,y)е D. Решение H (x,y,t), (x,y)е D зависит от шага т сетки о>т ={tn = пт, n = 0,1,...,N, N-т = т}. По существу мы имеем семейство решений п = 1,2,..., N, зависящее от параметра т. Убедимся в положительности решений указанной линеаризованной задачи.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Под положительным решением рассматриваемой начально-краевой задачи понимается

функция H(n)(x,y,t), tn-1 <t<tn, n = 1,2,...,N классаC2(ЦТ)nс(цТ),

grad^xy)H(n) G C(ц т ), удовлетворяющая уравнению (14) с начальными и граничными условиями (15), (4)-(8), для которой H(n)(x,y,t)> cq > 0, cq = const, n = 1,2,...,N при любом n = 1,2,...,N .

Относительно рассматриваемой задачи будем предполагать положительность функций, определяемых начальными условиями (15):

H0(x,y), H(n)(x,y,tn-1 )> с0 =const> 0, (x,y)e D, n = 2,...,N, (16)

и граничных условий (5)-(8):

H1 (y,t), H 2 (y,t), H 3 (y,t), H 4 (y,t)> с 0 = const > 0. (17)

Теорема. Пусть даны уравнения (14)

(1 - е).^ = div[ k(n-1) - -Г^- - gradH W] - div(k(n-1) - Th ) tn-1 < t < tn,n = 1,2,..., N,

sin q>Q

Ш)

~ P-1

в Цт = D x (0, T), D с Rn , где k(n-1) ^ p • Ту - gradH(n-1) (x, y, ^-1) ,

((P1 - Pq )gd )P sin?0 |

div (k (n-1) ту )< 0 с начальными условиями H (\x,y,t0 ) = H0 (x,y),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

H(n)(x,y,tn-1 ) = H(n-1)(x,y,tn-1), (x,y)g D, n = 2,...,N и c граничными условиями (4)-(8), удовлетворяющими условию (16)-(17). Тогда, если k(n-1)> k0 > 0, k(n-1)gC1(d) , то для любого n = 1,2,...,N решение H(n)(x,y,t), tn-1 < t < tn, n = 1,2,...,N уравнения номера n в цилиндре Цт = D x (0,T) является положительным и имеет место оценка:

H(n)(x,y,t)> с0 = const > 0, tn-1 < t < tn, n = 1,2,..., N. (18)

Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Уравнения (14), дополненные условиями (15), (4)-(8), при любом n = k, k = 1,2,...,N представляют смешанную задачу для линейного

уравнения параболического типа с начальным условием H (k)(x,y,tk-1 ) = H(k-1) (x,y,tk-1), имеющим гладкость такую же, как и начальное условие для уравнения (14) номера n = k -1. Решение уравнения (14), tk- < t < tk существует и единственно. Обозначим данное решение

H(k\x,y,t). Известно, что функция H(k\x,y,t) принадлежит классу C2 (ц^ )n C(Ц ),

grad(x,y)H(2)g ).

Согласно [10], для любого номера k, k = 1,2,...,N функция решения H(k)(x,y,t), tk-1 < t < tk, k = 1,2,...,N класса C2 Ц )nCЦ ), grad(x>y)H(k) g c(Ц^) начально-краевой задачи (14), (15), (4)-(8) в параллелепипеде Pk = D x [tk-1 ,tk ] достигает экстре-

мума на нижнем основании указанного параллелепипеда или его боковых границах, где в силу условия (16)-(17), будет выполняться

#(k)(x,y,?)> c0 = const> 0, к, к = 1,2,...,N. Заключение

Авторами предложена нелинейная математическая пространственно-двумерная модель транспорта наносов. Исследование указанной модели проводится путем ее линеаризации. Получены условия положительности решений линеаризованной начально-краевой задачи, представленные в виде соответствующей теоремы. Кроме того, получена априорная оценка положительного решения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Alekseenko. E.V. Numerical realization of the three-dimensional model of hydrodynamics for shallow water basins on a high-performance system // Mathematical Models and Computer Simulations, October 2011, Volume 3, Issue 5, pp 562-574. doi:10.1134/S2070048211050115.

2. Alekseenko, E., Roux, B., Sukhinov, A., Kotarba, R., Fougere, D. 2013. Coastal hydrodynamics in a windy lagoon. Computers and Fluids, 2013, 77, pp. 24-35 doi:10.1016/j.compfluid.2013.02.003.

3. Леонтьев, И.О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов. - М.: ГЕОС, 2001. - 272 с.

4. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Существование и единственность решения линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов // В книге: Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование. Тезисы докладов XIII Международной научной конференции. 2016. - С. 184-185.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О единственности решения линеаризованной двумерной начально-краевой задачи транспорта наносов // Вестник Таганрогского института имени А.П. Чехова. 2016. № 2.- С. 270-274.

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов//Математическое моделирование. 2013. N. 25, № 12, С.65-82.

7. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Математическое моделирование транспорта наносов в прибрежных водных системах на многопроцессорной вычислительной системе // Выч. мет. Программирование. 2014. 15:4, 610-620.

8. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Adaptive modified alternating triangular iterative method for solving grid equations with a non-self-adjoint operator// Mathematical Models and Computer Simulations, July 2012, Volume 4, Issue 4, pp 398-409. doi:10.1134/S2070048212040084.

9. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Чистяков А.Е., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2015. Т. 16. № 3. - С. 328-338.

10. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М., 1979. - 392 с.

И.В. Яковенко

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА ТЕПЛА В ГАЗОТУРБИННОЙ УСТАНОВКЕ

Аннотация. Целью работы является расчет параметров математической модели транспорта тепла в паровой турбине на основе вычислительных методов, позволяющих значительно повысить точность расчетов. Практическая значимость состоит в разработке и программной реализации модели тепловых процессов на корпусе газотурбинной установки.

Ключевые слова: математическая модель, термодинамика, паровая турбина, вычислительные эксперименты.

I.V. Yakovenko

OPTIMIZATION OF THE PARAMETERS OF THE DISCRETE MATHEMATICAL MODEL OF TRANSPORT OF HEAT IN THE GAS TURBINE INSTALLATION

Abstract. The aim of this work is to calculate the parameters of the mathematical model for heat transport in PA-world turbine-based computational methods to significantly improve the accuracy of calculations. Practical value consists in development and software implementation of models of thermal processes on the housing of the gas turbine installation.

Key words: mathematical model, thermodynamics, steam turbine, computational experiments.

Теория теплопроводности широко используется для решения различных производственных задач, связанных с определением температурных полей и тепловых поток. Как правило, используются методы математической физики, рассматривающие протекание наблюдаемого процесса в произвольно выбранном элементарном объеме в течение бесконечно малого промежутка времени. Такой подход позволяет учитывать только существенно вляющие величины и значительно упростить вычислительный процесс.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.