Технологический подход к обучению учащихся аналитическим методам решения геометрических задач в курсе стереометрии старшей профильной школы Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 51:372. 8

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ СТАРШЕЙ ПРОФИЛЬНОЙ ШКОЛЫ

© 2011 Л. М. Ноздрачёва

канд. пед. наук, доцент каф. алгебры, геометрии и теории обучения математике e-mail: nozlm @yandex. ru

Курский государственный университет

В статье изложены возможности использования технологического и индивидуального подходов к обучению учащихся аналитическим методам решения геометрических задач в курсе стереометрии старшей профильной школы. Рассматриваются особенности обучения учащихся с различными стилями восприятия математической информации. Предлагаются рекомендации по разработке многовариантной системы задач и расширению спектра заданий. Материал может использоваться для разработки методики обучения решению задач в классах физико-математического, естественно-научного и гуманитарного профилей.

Ключевые слова: векторный, векторно-координатный, координатный методы решения стереометрических задач, технологический и индивидуальный подходы к разработке системы задач, обучение аналитическим методам в классах различного уровня и профиля математической подготовки.

Переход к профильному обучению математике в старшей школе привел к расширению и углублению применения координат и векторов в теории и при решении задач. В курсах стереометрии гуманитарного и естественно-научного профилей появились «нетрадиционные» темы: «Уравнения прямой в пространстве»,

«Аналитическое задание пространственных фигур», «Многогранники в задачах оптимизации», «Полярные координаты на плоскости», «Сферические координаты в пространстве» [Смирнова 2004: 182-202; Смирнова, Смирнов 2001: 185-215]. Попытки современного углубленного изложения школьной геометрии в доступной для увлекающихся математикой учащихся были предприняты ещё до перехода к профильному обучению в книге [Болтянский 1985: 38-60]. Автор излагает школьный курс геометрии на основе векторной аксиоматики Вейля. Рассматриваются систематическое изложение элементарной теории движений и элементы линейного программирования. Вводятся понятия опорной прямой и опорной плоскости. Доказывается теорема о линейной функции на многоугольнике и многограннике. Эта теорема дает геометрический способ нахождения вершин многоугольника (многогранника), в которых рассматриваемая функция достигает наибольшего (наименьшего) значения. Утверждение теоремы лежит в основе алгоритма решения задачи оптимизации: надо найти координаты всех вершин многоугольника

(многогранника), вычислить значения линейной функции в его вершинах и выбрать из этих значений наибольшее (наименьшее).

В комплекте по стереометрии для профильных математических классов [Потоскуев 2005: 104-172; 2005а: 86-112] векторный, координатный и векторнокоординатный методы используются при решении широкого круга содержательных задач по темам: «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей», «Вычисление величин углов и расстояний между двумя прямыми, двумя плоскостями,

прямой и плоскостью», «Вычисление площадей поверхностей и объёмов

геометрических фигур». Работая по этому комплекту, учащиеся имеют возможность сравнивать методы решения, выбирать из них более простой и овладевают современными методами решения задач.

В настоящее время координаты и векторы входят в обязательный минимум Стандарта среднего (полного) общего образования по математике. Знания векторной алгебры и метода координат удовлетворяют многим критериям ведущих знаний школьного курса математики (дидактической значимости, активности и применения, обобщения, широты, развития, научности, доступности, языка, интенсификации обучения). Однако отсутствие задач на применение координат и векторов в КИМах Единого государственного экзамена даёт повод считать, что учащиеся слабо подготовлены к применению аналитических методов к решению геометрических задач. Решение проблемы овладения методами аналитической геометрии учащимися различных уровней и профилей обучения значительно усложняется не только в связи с расширением номенклатуры вопросов программы и высоким уровнем трудности вновь включаемого материала. Недостаточно учитываются психолого-педагогические аспекты обучения учащихся новым способам деятельности. Это относится более всего к индивидуальным особенностям познавательной деятельности детей, их когнитивным стилям [Методика и технология... 2007: 59-73]. Число учащихся с ярко выраженным стилем восприятия и переработки учебной информации невелико даже в профильном математическом классе. Поэтому процесс обучения математике в классе любого профиля должен разрабатываться и осуществляться с учётом стиля познавательной деятельности каждого ребёнка и многообразия стилевых проявлений детей. Необходимо предоставлять ученику возможность работать в предпочитаемом стиле и развивать у него другие стили восприятия информации. В целях повышения результативности обучения применению аналитических методов учащихся различных профилей нам представляется продуктивным использование технологического подхода.

Традиционная коллективная форма обучения и индивидуальный характер усвоения материала наиболее остро вступают в противоречие именно при обучении математике. Это обусловлено сложностью усвоения математического содержания (особенно нетрадиционного материала школьного курса математики, к которому относятся координаты и векторы) для многих учащихся. Изменение целей обучения математике, гуманизация и гуманитаризация обучения ставят учителя перед необходимостью осуществления личностно ориентированного процесса обучения математике. Личностно ориентированная модель обучения предполагает организацию индивидуализированного обучения. При этом возможна различная степень свободы, предоставляемая учителем учащемуся. Приоритетность развивающих целей обучения математике перед обучающими делает основной задачей индивидуализации обучения достижение именно развивающих целей. Важным является и направление индивидуализации обучения, заключающееся в целенаправленном формировании желаемых индивидуальных особенностей ученика при обучении математике, их выявлении и развитии. Одинаково успешно оба направления индивидуализации могут успешно развиваться при использовании в обучении аналитическим методам решения геометрических задач технологического подхода.

Технология индивидуализации обучения учащихся конкретному математическому содержанию, в частности, применению координат и векторов к решению стереометрических задач, может быть разработана с помощью выделения последовательности шагов, предлагаемых в книге [Методика и технология. 2007: 205-206]:

У изучение особенностей личности ученика, лежащих в основе индивидуализации обучения;

У подбор средств воздействия в соответствии с целями индивидуализации;

У индивидуализированное обучение;

У анализ результата в динамике, корректировка процесса обучения.

Одним из основных средств обучения математике является задача. Для формирования конкретного элемента знания, умения, навыка, овладения конкретным способом деятельности используется система задач. Из системы могут быть сформированы подсистемы задач, индивидуальные для каждого учащегося. Применим технологию разработки и применения индивидуализированной системы задач, описанную в книге [Там же: 207-208].

Информация в школьных задачах для обучения методам векторов и координат в основном представлена тремя способами: аналитическим (А), вербальным (В) и геометрическим (Г). Условимся также выделять три уровня сложности, определяемых

У количеством подзадач, на которые можно разбить исходную задачу;

У прозрачностью связей между данными и очевидностью способа решения;

У объемом теоретических знаний, необходимых для обоснования решений.

Полученные девять групп задач представим в таблице 1. Приведём примеры задач каждой из групп (таблицы 2-4).

Таблица 1

Способ представления информации в задаче Способ представления информации в задаче и уровень её сложности

1 2 3

А А 4 Аз

В Ві В2 В 3

Г Г і Г 2 Г 3

Таблица 2

Задачи, информация в которых представлена аналитическим способом

Уровень сложности Условие задачи

А Найдите расстояние от вершины А треугольника АВС до его центроида М, если А(-2;1;-3), В(-1;0;4), С(1;2;6)

А Дан треугольник АВС, вершины которого имеют координаты А(1;5;3), В(3;6;5), С(1;1;0). Найдите координаты точки пересечения стороны ВС и биссектрисы угла А

Аз Даны точки А(1;3;5) и В(2;1;-7). Найдите на оси абсцисс все такие точки С, что треугольник АВС - прямоугольный

Таблица 3

Задачи, информация в которых представлена вербальным способом

Уровень сложности Условие задачи

Ві Найдите площадь фигуры, ограниченной линией пересечения двух сфер, заданных уравнениями (х - 3)2 + (у + 4)2 + г2 = 64 и (х - 3)2 + (у - 2)2 + (г - 8)2 = 36

В2 Из начала координат проведены всевозможные прямые, касающиеся сферы с уравнением (х - 4)2 + (у - 3)2 + (г - 12)2 = 144. Найдите уравнение плоскости, в которой лежат все точки касания

Вз Ребро куба равно а. Найти радиус двух равных шаров, которые можно поместить в куб так, чтобы они не могли двигаться внутри куба при его перемещении

Таблица 4

Задачи, информация в которых представлена геометрическим способом

Уровень сложности Условие задачи

Г і Н к Іайдите уравнения всех сфер с центром в начале координат, асающихся прямой 'х = 3 - 2і, У = 1 + і, £ = 5.

Г 2 Найдите все точки на оси вг, через которые проходит хотя бы одна прямая, касающаяся сферы (х -1)2 + (у + 2)2 + (г + 2)2 = 9 в точке Р(3;-1;-4)

Г 3 Н н а 1а сфере х2 + у2 + г2 = 1 айдите точки, расстояния от которых до прямой 'х = 3 + /, У = 2 -£ = 1 - 2/. ) наименьшее, б) наибольшее (рис. 1)

Отнесение условия задачи к тому или иному способу представления информации иногда затруднительно в связи с использованием в условии нескольких способов. Поэтому надо ориентироваться на преимущественно используемый способ в условии данной задачи. Многие учащиеся нуждаются в помощи учителя при переводе условия задачи в предпочтительный для себя способ. Поэтому в начале обучения методам учитель оказывает помощь. Эффективны переформулирование задачи, использование готовых чертежей, применение к решению одной и той же задачи различных способов, например координатного и геометрического.

Для каждой задачи определённого способа представления информации можно подобрать девять различных пар задач по одной задаче из двух оставшихся способов представления информации и трех уровней сложности. Получим двадцать семь индивидуальных подсистем задач, содержащих три задачи. После знакомства учащихся с аналитическими методами можно провести первичную диагностику индивидуальных особенностей способов деятельности учащихся с помощью самостоятельной работы. Каждому ученику предлагается девять задач трех уровней сложности, заданных каждым из трёх способов представления информации (см., например, табл. 2-4). Для решения ученику надо выбрать одну задачу из девяти. Уровень сложности задачи выбирается по желанию ученика.

Проверка работы позволяет учителю выявить предпочтительные для каждого учащегося способ представ-ления информации в задаче и уровень сложности. Обозначим результаты первичной диагностики формулой Д В& Г к, в которой индексы г,

g, к обозначают уровень сложности заданий, и каждый индекс принимает значения из множества {1,2,3}. На основании проведенной диагностики можно осуществить подбор индивидуальных подсистем задач для дальнейшего обучения. Каждая из подсистем начинается с задач, которые соответствуют способу задания и уровню сложности задачи, выбранному учеником при первичной диагностике. Подсистема также включает задачи более высоких уровней сложности, заданные предпочтительным способом, а также задачи трёх уровней сложности, условие в которых представлено другими способами. При необходимости можно дополнять подсистему, добавляя в неё задачи требуемых уровней и способов задания условия.

В книге «Методика и технология обучения математике» [2007: 72]

рекомендуются правила обучения математике с учётом особенностей познавательных процессов учащихся (когнитивных стилей): обучение в предпочитаемом стиле, закрепление в наиболее трудном для ученика стиле, контроль в предпочитаем стиле. Учитывая эти рекомендации, учитель применяет при работе с каждым учащимся индивидуальную подсистему задач. Дальнейшая работа начинается каждым учеником с решения им задач предпочтительного для него способа представления информации и предпочтительного для него уровня сложности. Рассмотрение и решение задач, условие в которых представлено другими способами, начинается с заданий первого уровня сложности с постепенным переходом к более высокому уровню.

В этой же книге выделяются три группы учащихся, входящие в «группу риска» при обучении математике:

У ученики «художественного типа»;

У ученики, чей стиль обучения не соответствует стилю преподавания

учителя;

У ученики, чей стиль обучения не совпадает с усреднённым стилем класса

[Методика и технология... 2007: 72].

Обучение математике с учетом стилей восприятия и переработки математической информации должно осуществляться в комфортной бесконфликтной для учащихся «группы риска» среде. Учитель может создать такую среду с помощью расширения «репертуара» способов освоения информации, расширения спектра учебных заданий и создания возможностей их выбора [Там же: 64].

Во многих задачах школьных учебников [Александров 2001; Потоскуев 2005] по рассматриваемой теме задания представлены аналитическим или вербальным способом. Поэтому учащимся, предпочитающим геометрический способ представления условия, в начале обучения аналитическим методам необходимо предлагать готовый чертёж вместе с условием задачи. Например, задача Г3 таблицы 3 в задачнике Потоскуева (№7.214 140) дана без рисунка. Если дополнить условие задачи готовым чертежом (рис. 1), то способ представления информации становится геометрическим. Кроме того, готовый чертёж на первых порах облегчает понимание условия задачи ученикам с недостаточно развитым пространственным воображением и во многом способствует успеху в решении. На чертеже изображены сфера и прямая, до которой находится наименьшее и наибольшее расстояния от сферы, а также сечение комбинации данных фигур плоскостью, проходящей через центр сферы перпендикулярно данной прямой. В дальнейшем таким учащимся можно предлагать начинать решение не с применения аналитического метода, а с изображения данных в условии фигур на чертеже или рисунке.

Представляет интерес предлагаемая в книге «Методика и технология обучения математике» (с. 64) рекомендация использовать для обучения задачи с «открытыми» вопросами, направленные на интегрирование собственных понятий и образов учащихся. Приведём пример такой задачи по теме «Векторный метод в пространстве. Понятие вектора»: «Дан набор математических понятий: точка; прямая; отрезок; пространство; длина отрезка; порядок концов отрезка; направленный отрезок; направление луча: одинаково направленные лучи; коллинеарные отрезки;

сонаправленные отрезки; противоположно направленные лучи; противоположно

направленные отрезки; равенство отрезков; равенство длин отрезков; транзитивность, симметричность, рефлексивность отношения; множество; свойство равенства направленных отрезков; вектор; модуль вектора; длина вектора; противоположные векторы; ненулевой вектор; равные векторы. Используя их, составьте максимально возможное число верных утверждений».

Примеры верных утверждений

1. Определение направленного отрезка: «Отрезок АВ, у которого указан

порядок концов, называется направленным отрезком: точка А называется “началом”, а точка В - “концом” направленного отрезка».

2. Определение вектора: «Ненулевым вектором в пространстве называется

множество всех равных между собой направленных отрезков пространства».

3. Определение равных векторов: «Два вектора называются равными, если

они совпадают, т. е. если они сонаправлены и имеют одинаковую длину».

4. Определение длины вектора: «Длиной ненулевого вектора АВ

называется длина отрезка АВ».

Расширение спектра учебных заданий можно осуществить, рассматривая задачи с межпредметным содержанием. Таких задач в учебниках геометрии недостаточно. Рассмотрим следующую задачу. «Дан прямоугольный параллелепипед АВСПА1В1С101, в котором АВ = АБ = а, ЛЛХ = 2а. В вершинах Вх и помещены заряды q, а в вершине А - заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке А1; б) в точке С; в) в центре грани Л1В1С101, г) в центре грани АВСБ» [Геометрия 2008: 100]. Приведём решение задачи пункта б).

Изобразим прямоугольный параллелепипед АВСОА1В1С1В1 (рис. 2). Введём систему координат с началом в вершине А. Ось Ох направим по ребру АО, ось Оу направим по ребру АВ, ось О2 направим по ребру АА1. Так как длины рёбер соответственно равны а, а, 2а, то вершины прямоугольного параллелепипеда будут иметь координаты А(0;0;0), В(0; а;0), С (а; а;0), 0(а;0;0), А1(0;0;2а),

В1(0;а;2а), С1(а;а;2а), £\(а;0;2а). Вектор напряжённости электрического поля Ес, создаваемого в точке С каждым из трёх данных зарядов, будет равен сумме векторов напряжённости электрического поля, создаваемого в точке С каждым из трёх данных зарядов. Получим

Ес = ЁА + ЕВ1 + ЁВ1.

Модуль напряжённости электрического поля Ес будет равен квадратному корню из скалярного квадрата векторного равенства

(Ес )2 = (Ел + ЕВі +

+Ей)2 (і).

Получим

Ес = ^ (Еа + ЕВі + ЕВі) .

Из физики известно, что модуль вектора напряжённости электри-ческого поля, создава-емого зарядом q в точке, находящейся на рассто-янии г от заряда, вычисляется по формуле

Е - ^ (2).

Г

Вычислим скалярный квадрат векторного трёхчлена, стоящего под знаком квадратного корня:

7(Еа + ЕВі + ЕВі)2 - д/(Ел)2 + (ЕВі)2 + (Е0ї)2 + 2ЕлЕВі + 2ЁЛЁд + 2ЕВіЕВі

Для вычисления скалярных произведений векторов найдём косинусы углов, образованных векторами АС, В1С , ДС, соответственно сонаправленными векторам Еа , Ев,, Ео, . Векторы АС, ВХС , ДС имеют координаты

АС (а;а;0), В С (а;0;-2а), ДС(0;а;-2а)

и модули

АС = уіа2 + а2 + 02 = ал/2, ВС = ^а2 + 02 + (-2а)2 = ал/5, ДС = ^02 + а2 + (-2а)2 = ал/5.

Обозначим угол между векторами АС и .^С через <рх, угол между векторами

АС и ДС через (р2, угол между векторами ВХС и ДС через , Косинусы углов р2, р3 можно найти как частное скалярного произведения соответствующей

пары векторов и произведения их модулей. Получим

СОБ^ =

а

1

а

!л/!о лЯо

С0Б^2 =

4а2

ау[5 ■ ^л/5 5

4

= —; соб^з =

а

1

а4ї ■ ал/5 л/10

Модули векторов Еа , Ев , Ев найдём по формуле (2)

Е,

(ал/2)2 2а

к • д кд

Ег

Е,

к ■ д кд

Ег

+

а

+

кд 5 а #

+2

к д

2 „2

1 + 2-кд

1 „ к2 д2 4

+ 2 ■—2---

5а4 -УЇО 5а4 -,/ЇО 25а4 5

к ■ д / 1 1 4л/1о 4л/Ї0 8 к ■ д

—2— л/1 +---------------------------1-1-1-1--= —2~л

а2 V 25 25 100 100 125 а2 V

500 + 20 + 20 + 20л/10 + 20л/Ї0 + 32

125 ■ 4

кд 5л/5а2 ”\

5л/5<

а

Библиографический список

Александров А. Д. Геометрия: учеб. для 10-11 классов общеобразоват. учреждений. 3-е изд. М.: Просвещение, 2002. 272 с.

Болтянский В. Г. Элементарная геометрия: кн. для учит. М. Просвещение,1985.

320 с.

Геометрия, 10—11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и

профильный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 17-е изд. М.: Просвещение, 2008. 255 с.

Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. В. В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. 320 с.

Погорелов А. В. Геометрия: учеб. для общеобразоват. учреждений. 4-е изд., дораб. М.: Просвещение, 2004. 128 с.

Потоскуев Е. В. Геометрия. 10 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики. 3-е изд. М.: Дрофа, 2005. 223 с.

ПотоскуевЕ. В. Геометрия. 10 кл.: задачник. 3-е изд. М.: Дрофа, 2005а. 256 с. Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 кл. (гуманитарный профиль). М.: Дрофа, 2004.

223 с.

Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. 10-11 кл. (естественно-научный профиль). М.: Просвещение, 2001. 239 с.