CC BY
53
УДК 371.24+371.212 В.И. ГОРБАЧЕВ
доктор педагогических наук, профессор, директор естественнонаучного института, Брянский государственный университет имени И.Г. Петровского Е- mail: enibgu@mail.ru
y/JK 371.24+371.212 V.I. GORBACHEV
Doctor of Pedagogics, Professor, Director of the Institute of Natural Sciences, Bryansk State University named after
I.G. Petrovski E- mail: enibgu@mail.ru
ТЕОРИЯ ТРЕХМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В МЕТОДОЛОГИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ТИПА МЫШЛЕНИЯ
THE THEORY OF THREE-DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE IN THE METHODOLOGY OF THEORETICAL TYPE OF THINKING
В соответствии с положениями теории развивающего обучения В.В. Давыдова исследуются представление трехмерного евклидова пространства, его теоретические закономерности. В методологии теоретического типа мышления установлено содержание учебной геометрической деятельности, выделена система учебных задач.
Ключевые слова: технология развивающего обучения В.В. Давыдова, учебная математическая деятельность, теоретический тип мышления, трехмерное евклидово пространство, учебные задачи.
Representation of three-dimensional Euclidean space and its theoretical regularities are analyzed according to V.V Davydov's theory of developmental education. The content of educational geometrical activity is described in the methodology of theoretical type of thinking, the system of training tasks is selected.
Keywords: V.V. Davydov's theory of developmental education, educational mathematical activity, theoretical type of thinking, three-dimensional Euclidean space, training tasks.
Направление развития евклидовой геометрии в содержании абстрактных представлений геометрического пространства, содержательных и формальных логических процедур доказательства свойств геометрических фигур в системах аксиом типа Д. Гильберта в методике обучения геометрии выступает значимым, приоритетным, но не единственным. Категории геометрической фигуры и геометрического пространства евклидовой геометрии в принципиально иной системе аксиом Г. Вейля получают существенное дополнение как в категориях вектора и векторного пространства так и в содержании векторного метода, сила и изящество которого проявляется «при решении задач и доказательстве теорем» [3, с.69].
Наряду с важным для понимания сущности аксиоматического метода в математике свойством эквивалентности геометрических теорий Д. Гильберта и Г Вейля в методическом плане выделены аргументы приоритетности векторного изложения геометрии: «Во-первых, вейлевское изложение является наиболее современным в научном отношении; оно позволяет нам познакомиться с понятием векторного пространства, играющего важнейшую роль во всей современной математике и в ее приложениях. Во-вторых, вейлевское изложение позволяет овладеть наиболее эффективными (векторными) методами решения задач пространственной геометрии. В-третьих, изложение геометрии на основе вейлевской аксиоматики является (по сравнению со всеми другими способами аксиоматизации) наиболее коротким» [4,
с.6]. Не случайно А.Н. Колмогоров и И.М. Яглом отмечают. что основную часть курса геометрии в старших классах должно составлять изучение геометрии, широко использующее метод координат и элементы векторного исчисления[8, с. 60-61].
Закономерностью классической методики обучения геометрии выступают различные подходы к формированию понятия вектора в геометрическом (не векторном) пространстве, выделение классов теорем, аффинных и метрических задач, исследуемых векторным методом [5, 10]. Высокая методическая культура формирования аппарата векторной алгебры, векторного метода решения геометрических задач при этом сочетается с неоправданным слиянием в методическом подходе двух различных математических теорий методологической и общекультурной значимости.
В рамках методологии развивающего обучения (В.В. Давыдов [6, 7], Н.И. Чуприкова [11]) закономерностями дидактического адаптирования современных аксиоматических теорий евклидовой геометрии выступают:
- геометрическое пространство и векторное пространство - различные абстракции математического отражения реального мира;
- как понятия геометрической фигуры и геометрического пространства, так и понятия вектора и трехмерного векторного пространства связаны парными категориями абстрактного и конкретного;
© В.И. Горбачев © V.I. Gorbachev
- восхождение от абстрактного понятия геометрической фигуры к понятию геометрического пространства осуществляется в математической теории геометрических фигур, восхождение от абстрактного понятия вектора к понятию векторного пространства происходит в теории трехмерного евклидова пространства:
- учебная деятельность в геометрическом пространстве направлена на аналитико-синтетический метод исследования пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур, в векторном пространстве - на векторный (аналитический) метод исследования объектов векторного пространства, геометрических фигур.
Трехмерное евклидово пространство как предмет разделенных деятельности представливания и теоретико-геометрической деятельности исследуется в содержании теоретического типа мышления - в представлении исходной формальной целостности, в процессе восхождения от абстрактного к конкретному, в учебной деятельности, структурируемой системой учебных задач.
Теория трехмерного евклидова пространства. Геометрическое пространство, как одна из основных категорий в содержании фундаментальных учебных математических теорий, изучается не только евклидовой геометрией в системе свойств, преобразований геометрических фигур. Закономерности модельно-теоретического представления геометрического пространства как трехмерного векторного, евклидова в содержании арифметической модели - предмет математической теории евклидова пространства:
- реализуемой в аналитической геометрии - отдельном виде геометрической деятельности, основанном на методах современной линейной алгебры;
- с представлением геометрического пространства как трехмерного векторного в соответствующей системе категорий (вектор, базис, пространство, координаты), с векторным методом исследования геометрических фигур;
- моделирующей векторное пространство как евклидово со свойствами меры на базе скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе;
- с арифметической моделью геометрического пространства, наследующей свойства непрерывности, континуальности системы действительных чисел, знаковыми моделями геометрических фигур, исследуемыми в содержании координатного метода аналитическими средствами;
- существенно дополняющей пространственные представления, углубляющей пространственное мышление, обогащающей базовые методы исследования евклидовой геометрии;
- аксиоматизирующей фундаментальные свойства трехмерного евклидова пространства, позволяющей в системе аксиом доказать справедливость базовых теорем евклидовой геометрии с позиции обоснования эквивалентности различных аксиоматических теорий геометрического пространства.
Закономерностями развития теории трехмерного евклидова пространства выступают:
- ее становление на базе содержательно-абстрактных и логико-содержательных представлений геометрического пространства;
- опора на сформированность во внутреннем плане субъекта системы аксиом, базовых понятий, теоретических фактов, методов доказательства евклидовой геометрии;
- раздельное формирование деятельности представливания в содержании трехмерного евклидова пространства, его арифметической модели и теоретико-геометрической деятельности в схематичном построении абстрактной аксиоматической теории евклидова пространства;
- выделение в векторно-геометрической деятельности задачи представления векторного пространства, векторного метода исследования фигур в произвольным базисе из трех векторов, задачи представления евклидова пространства, координатного метода исследования метрических и пространственных свойств геометрических фигур в ортонормированном базисе, задачи представления арифметического пространства с аналитическим методом исследования геометрических фигур;
- проектирование абстрактной теории евклидова пространства в процедуре аксиоматизации аппарата векторной алгебры, размерности пространства, скалярного произведения векторов, характеризация геометрических фигур их знаковыми моделями в форме уравнений, неравенств, систем, аналитическое доказательство аксиом евклидовой геометрии как фактор эквивалентности теорий геометрического пространства.
Системно-структурное представление теории трехмерного евклидова пространства. Геометрическое пространство, представленное как в качестве геометрического образа реального физического пространства в процедуре абстрагирования и идеализации его свойств (содержательно-абстрактный этап), так и в спектре классов геометрических фигур с доказуемой системой пространственно-метрических свойств (логико-содержательный этап), выступает исходной формальной целостностью в становлении теории трехмерного евклидова пространства. На основе геометрического отражения динамических процессов в физическом пространстве в форме абстракций «величина» и «направление» и на базе геометрической модели системы действительных чисел в геометрическом пространстве вводится новое понятие - «вектор».
Фундаментальное, наряду с понятиями числа, функции, геометрической фигуры, математическое понятие «вектор» характеризуется свойствами:
- величиной, описываемой длиной отрезка на геометрической модели системы действительных чисел;
- направлением, совпадающим с направлением положительного отсчета, либо противоположным на геометрической модели системы действительных чисел;
- представлением класса эквивалентности, позволяющим откладывать вектор из любой точки геометрического пространства;
- действием умножения на действительное число, определяемым величиной и направлением на геометрической модели системы действительных чисел;
- операцией сложения, определяемой величиной и направлением по «правилу параллелограмма».
В условиях мировоззренческих прикладных представлений понятия вектора В.А. Гусев, Ю.М. Колягин, Г. J1. Луканкин отмечают, что « вектор - чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике и других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук» [5, с.З].
Понятие вектора, операции над векторами позволяют установить важные «векторные» характеристики геометрического пространства:
- с помощью понятия-категории «базис» устанавливается число векторов базиса прямой, плоскости, пространства, обосновывая размерность геометрического пространства (трехмерное), плоскости (двумерное), прямой (одномерное);
- в трактовке векторного пространства как совокупности всех линейных комбинаций из трех базисных (некомпланарных) векторов геометрическое пространство становится трехмерным векторным пространством, обогащается векторным методом исследования геометрических фигур;
- с введением скалярного произведения векторов геометрическое пространство становится евклидовым, допускающим аналитическое исследование пространственных, метрических свойств геометрических фигур [5, с.28];
- в системе координат (общей, аффинной) из фиксированной точки и трех базисных векторов в условиях однозначного разложения произвольных векторов по базисным с упорядоченной тройкой координат (коэффициентов разложения по базисным) геометрическое пространство отождествляется (изоморфно) с арифметическим трехмерным пространством R3, развивается в содержании координатного метода исследования геометрических фигур;
Представление геометрического пространства в векторной, координатной моделях выступает значительным результатом логико-содержательного этапа деятельности представливания:
- формирующееся пространственное мышление приобретает комплексный характер, наряду с синтуитив-ным. образным, аналитическим, логико-символическим уровнями становится ана литию-алгебраическим, знаковым;
- в содержании векторно-координатного, аналитического методов базовые геометрические фигуры получают полное описание в форме алгебраических уравнений, неравенств, систем.
Теоретическое обоснование аналитико-геометрической деятельности, синтезирование целостных пространственно-геометрических представлений осуществляется в теоретико-геометрической деятельности евклидова пространства:
- в процедуре аксиоматизации аппарата вектор-
ной алгебры, размерности векторного пространства, свойств скалярного произведения;
- в определении базовых геометрических фигур на основе первичных понятий вектора, операций над векторами, исследовании справедливости аксиом евклидовой геометрии;
- в развитии аналитического метода исследования геометрических фигур;
- в теоретическом описании геометрического пространства как евклидова, интегрированном с евклидовой геометрией.
Восхождение от абстрактного к конкретному в теории евклидова пространства. Геометрическое пространство. развиваемое в содержании эквивалентных математических теорий средствами деятельности представливания и теоретико-геометрической деятельности, оказывается сложно структурируемым, многокомпонентным:
- является абстракцией реального физического пространства с идеализированными свойствами формы, меры, ориентации, взаимного расположения объектов, с множеством образов - геометрических фигур, расположенных на прямой, на плоскости, в пространстве;
- обладает фиксированной либо подвижной системами отсчета, насыщено классами геометрических фигур с пространственными, метрическими, конструктивными свойствами в их взаимной связи, инвариантно относительно преобразований движения, подобия, проектирования;
- выступает трехмерным векторным пространством с векторно-координатным методом исследования пространственных свойств геометрических фигур в общей системе координат;
- является евклидовым пространством с векторно-координатным методом исследования пространственных. метрических свойств геометрических фигур в ортонормированной системе координат;
- имеет арифметическую модель с аналитическим методом исследования геометрических фигу р;
- в евклидовой геометрии как абстрактной аксиоматической теории фундаментальные свойства геометрического пространства исследуются в системе свойств классов геометрических фигур;
- в абстрактной аксиоматической теории векторного, евклидова пространств свойства пространства являются первичными, свойства геометрических фигур обосновываются аксиомами векторного, евклидова пространств аналитическими средствами;
- свойства геометрического пространства в евкли-довойгеометриидоказываютсяаналитико-синтетическим методом в понятийной логико-содержательной форме, в теории евклидова пространства базовыми выступают векторный, координатный, аналитический методы исследования.
Генетически исходной содержательной абстракцией геометрического пространства в форме векторного, евклидова пространств с арифметической моделью выступает абстрактное понятие вектора:
- фундаментальное понятие математических моделей в изучении явлений, процессов естествознания;
- ведущая характеристика понятий, законов современной физики;
- базовое понятие математических теорий векторного пространства, преобразований, отображений;
- понятие-категория геометрического пространства, выделяющее в системе операций, отображений структуру трехмерного векторного, евклидова пространств;
- фундаментальное средство формирования базиса, системы координат, координат векторов, точек пространства в выделенном базисе;
- первичный термин теории трехмерного евклидова пространства, позволяющий определить базовые понятия, свойства евклидовой геометрии.
Закономерностями восхождения от абстрактного понятия «вектор» к конкретному в форме системно-структурного представления евклидова пространства, его арифметической модели в единстве с векторно-координатным. аналитическим методами исследования геометрических фигур выступают.
1. Приоритет деятельности представливания в процедурах построения векторного, евклидова, арифметического пространств в единстве с векторным, координатным, аналитическим методами исследования геометрических фигур над их теоретическим обоснованием, рефлексией в теоретико-геометрической деятельности:
- введение понятия вектора на интуитивном, мировоззренческом уровнях в отражении понятий физики (перемещение, сила, напряжение), в процедуре математического абстрагирования и идеализации;
- развитие аппарата векторной алгебры в геометрическом пространстве, выделение векторных характеристик базовых геометрических фигур (прямые, плоскости, многогранники), их свойств;
- введение базиса геометрического пространства, его представление как трехмерного векторного пространства с общей (аффинной) системой координат;
- введение ортонормированного базиса векторного пространства на базе понятия скалярного произведения векторов с расширением возможностей исследования пространственных, метрических свойств геометрических фигур;
- построение в содержании координатного метода арифметической модели трехмерного евклидова пространства с аналитическим методом исследования прямых, окружностей, плоскостей, их представителей в геометрических фигурах.
2. Схематично-структурное построение абстрактной математической теории аксиоматизацией фундаментальных свойств евклидова пространства:
- понятие вектора выступает первичным термином теории;
- операции над векторами задаются системой аксиом векторного пространства;
- в аксиоматическом определении базиса фиксируется размерность векторного пространства;
- аксиомы скалярного произведения дополняют структуру векторного пространства в форме евклидова пространства.
3. Сконструированное в абстрактном геометрическом пространстве трехмерное евклидово пространство становится моделью аксиоматической теории, векторный, координатный, аналитический методы исследования геометрических фигур, базирующиеся на аксиомах, получают теоретическое обоснование.
Учебная деятельность в теории евклидова пространства. В теории евклидова пространства, как и в евклидовой геометрии, учебная математическая деятельность структурируется деятельностью представливания и теоретико-геометрической деятельностью. В.А. Гусев, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин [5, с. 28] теоретико-геометрическую деятельность встраивают в деятельность представливания с векторным (особым) методом решения различных геометрических задач в качестве основной цели. З.А. Скопец [10, с. 184-185] исследует возможности векторного метода решения не только традиционных, но и новых классов геометрических задач - аффинных (на параллельность, перенос, гомотетию, принадлежность точек прямой, плоскости) и метрических (при вычислении расстояний, углов, площадей, нахождении множества точек), специально предназначенных для его применения.
Деятельность представливания, как ведущая в учебной геометрической деятельности, в целевом, методологическом, содержательном планах характеризуется:
- направленностью на развитие пространственного мышления средствами аналитической геометрии;
- схемой формирования «геометрическое пространство - трехмерное векторное пространство - трехмерное евклидово пространство - арифметическое трехмерное пространство - аналитический метод исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве»;
- становлением логико-содержательных представлений каждого из пространств методологической схемы вместе с адекватным пространству методом исследования (векторным, координатным, аналитическим) геометрических фигур.
Обобщенными действиями учебной деятельности представливания, опосредованными становлением соответствующих пространственных представлений векторного, евклидова, арифметического пространств, структурируется имеющий итоговый характер аналитический метод исследования геометрических фигур.
1. В схеме «геометрическое пространство - трехмерное векторное пространство»:
- введение в геометрическом пространстве аппарата векторной алгебры;
- введение понятия базиса системы векторов с разложением векторов прямой, плоскости, пространства по базисным векторам;
- представление геометрического пространства как трехмерного векторного, прямых и плоскостей в качестве подпространств соответствующих размерностей;
- выбор подходящего базиса в задаче исследования
геометрической фигуры, системы векторов, характеризующих фигуру с их разложением по базисным векторам:
- построение векторной модели задачи исследования посредством перевода ее содержания и требования на язык векторной алгебры;
- исследование векторной модели средствами аппарата векторной алгебры (условиями равенства, коллинеарности, комплонарности векторов);
- интерпретация результатов исследования векторной модели с позиции содержания задачи.
2. В схеме «трехмерное векторное пространство -трехмерное евклидово пространство»:
- введение в трехмерном векторном пространстве скалярного произведения векторов в рамках задачи поиска «векторного» способа вычисления метрических характеристик геометрических фигур, исследование свойств скалярного произведения;
- поиск способов вычисления метрических свойств (длины, величины угла, площади, объема) геометрических фигур на плоскости, в пространстве на базе векторных операций, скалярного произведения;
- введение ортонормированного базиса евклидова пространства, вывод координатной формы скалярного произведения векторов, построение координатной модели задачи исследования метрических свойств геометрических фигур, преобразований движения, подобия:
- характеристика векторного пространства со скалярным умножением как евклидова с системой одномерных (прямые), двумерных (плоскости) подпространств, «векторно-координатных» пространственных, метрических свойств геометрических фигур, преобразований пространства;
- анализ задачи установления пространственных, метрических свойств геометрической фигуры включением ее в ортонормированный базис евклидова пространства, последовательным построением, исследованием векторной и координатной моделей, содержательной интерпретацией результата.
3. В схеме «трехмерное евклидово пространство - арифметическое трехмерное пространство - аналитический метод исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве»:
- представление векторов, точек, линейных комбинаций векторов евклидова пространства упорядоченными парами, тройками координат в фиксированном ортонормированном базисе с соответствующими арифметическими операциями над координатами;
- построение алгебраических уравнений (плоских аналитических моделей) прямых, базовых линий второго порядка как объектов плоскости (двумерного евклидова пространства с фиксированным базисом) представлением их определений в форме векторной, координатной моделей;
- исследование задачи расположения в фиксированном базисе, взаимного расположения прямых, базовых линий второго порядка как объектов плоскости в евклидовом пространстве посредством анализа соответствующих алгебраических уравнений (плоских
арифметических моделей);
- построение алгебраических уравнений (пространственных арифметических моделей) прямых, плоскостей, базовых поверхностей второго порядка как объектов трехмерного евклидова пространства с выбранным базисом, представлением их определений в форме векторной, координатной моделей;
- исследование задачи расположения в фиксированном базисе, взаимного расположения прямых, плоскостей, базовых поверхностей второго порядка евклидова пространства посредством анализа соответствующих уравнений (пространственных арифметических моделей);
- исследование плоских, пространственных геометрических фигур, их комбинаций соответствующими аналитическими моделями прямых, плоскостей, базовых линий и поверхностей второго порядка как объектов трехмерного евклидова пространства.
Системно-структурное представление трехмерного евклидова пространства с его арифметической моделью и аналитическим методом исследования выступает предметом аксиоматической теории евклидова пространства. Теоретико-геометрическая деятельность, опосредованная схемой «геометрическое пространство - трехмерное евклидово пространство - теория евклидова пространства», структурируется обобщенными действиями выделения первичных терминов теории, фиксации аксиом трехмерного векторного пространства, скалярного произведения, доказательства базовых теорем евклидовой геометрии в системе аксиом евклидова пространства с позиции эквивалентности теорий.
Учебные задачи в теории евклидова пространства. Учебная математическая деятельность в исследовании трехмерного евклидова пространства структурируется последовательным формированием деятельности представливания и теоретико-геометрической деятельности в спектре учебных задач.
1. Векторное представление геометрического пространства:
- введение понятий вектора, операций над векторами в геометрическом пространстве в точечно-векторной форме;
- представление вектора как класса эквивалентности в форме его откладывания из любой точки геометрического пространства;
- введение понятий базиса прямой, плоскости, геометрического пространства;
- разложение векторов пространства по базисным векторам, введение координат вектора, точки в базисе;
- представление геометрического пространства как трехмерного с общей системой координат с базисом из трех произвольных некомпланарных векторов;
- представление произвольной плоскости геометрического пространства как двумерного подпространства с общей системой координат с базисом из двух неколлинеарных векторов (координатной плоскости);
- представление произвольной прямой геометрического пространства как одномерного подпростран-
ства с общей системой координат с базисом из одного ненулевого вектора (координатной прямой);
- исследование координатной формы операций над векторами, взаимного расположения векторов в общей системе координат одномерного, двумерного подпространств, трехмерного векторного пространства.
2. Становление векторного метода исследования пространственных свойств геометрических фигур:
- представление указанной в исходной практической задаче геометрической фигуры как объекта подпространства конкретной размерности (прямая, плоскость, пространство) векторного пространства.
- построение изображения геометрической фигуры в условном изображении соответствующего подпространства по свойствам параллельного проектирования;
- выбор базиса соответствующего подпространства, в котором удобно представить в векторной форме компоненты геометрической фигуры (стороны, вершины, изображенные и достраиваемые отрезки), описать пространственные свойства фигуры;
- актуализация определения, признаков геометрической фигуры как объекта геометрического пространства;
- разложение по векторам выбранного базиса векторов. характеризующих компоненты геометрической фигуры;
- построение векторной модели исходной практической задачи посредством перевода ее содержания и требования на язык векторной алгебры;
- исследование векторной модели средствами аппарата векторной алгебры (условиями равенства, коллинеарности, комплонарности векторов);
- интерпретация результатов исследования векторной модели с позиции содержания задачи.
3. Представление геометрического пространства как трехмерного евклидова:
- постановка задачи исследования метрических свойств геометрических фигур в трехмерном векторном пространстве, двумерном подпространстве;
- определение скалярного произведения векторов, исследование свойств скалярного произведения, взаимного расположения векторов, прямых;
- исследование пространственных и метрических свойств векторного пространства (длина отрезка, величина угла, площадь многоугольника, объем многогранника) в содержании определения, свойств скалярного произведения векторов;
- введение ортонормированного базиса, прямоугольной декартовой системы координат в трехмерном векторном пространстве, двумерном подпространстве на основе скалярного произведения векторов;
- вычисление координатной формулы скалярного произведения векторов, исследование пространственных и метрических характеристик геометрических фигур в ортонормированном базисе на плоскости, в пространстве;
- представление геометрического пространства как трехмерного евклидова пространства с произволь-
но выбранной прямоугольной декартовой системой координат.
4. Становление координатного метода исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в евклидовом пространстве:
- представление геометрической фигуры, указанной в исходной практической задаче исследования метрических и пространственных свойств, как объекта подпространства конкретной размерности (прямая, плоскость, пространство) трехмерного евклидова пространства;
- построение изображения геометрической фигуры в условном изображении соответствующего подпространства по свойствам параллельного либо центрального проектирования;
- выбор ортонормированного базиса, прямоугольной декартовой системы координат соответствующего подпространства, в которой удобно представить в векторной форме компоненты геометрической фигу ры (стороны, вершины, изображенные и достраиваемые отрезки), описать пространственные и метрические свойства фигуры;
- актуализация определения, признаков, способов вычисления метрических характеристик геометрической фигуры как объекта геометрического пространства;
- разложение по векторам выбранного базиса векторов. характеризующих компоненты геометрической фигуры, установление их координат;
- построение векторной модели исходной практической задачи в форме векторного равенства посредством перевода ее содержания и требования на язык векторной алгебры;
- переход от векторной модели исходной практической задачи к ее координатной модели в форме уравнений на базе координатного определения равенства векторов;
- исследование координатной модели аналитическими средствами на базе координатных условий принадлежности точек, векторов прямой, плоскости;
- интерпретация результатов исследования координатной модели, их применение в вычислении метрических свойств геометрической фигуры.
5. Представление арифметической модели трехмерного евклидова пространства:
- представление векторов трехмерного евклидова пространства упорядоченными тройками координат в фиксированном ортонормированном базисе, представление векторов координатной плоскости (двумерного подпространства) упорядоченными парами координат в фиксированном базисе;
- установление соответствия между линейными комбинациями векторов трехмерного евклидова пространства и линейными комбинациями каждой из координат упорядоченных троек, между линейными комбинациями векторов координатной плоскости (двумерного подпространства) и линейными комбинациями каждой из координат упорядоченных пар:
- установление соответствия между скаляр-
ным произведением векторов трехмерного евклидова пространства, двумерного подпространства и действительным числом, равным сумме произведений соответствующих координат упорядоченных троек, пар;
- представление арифметического пространства Н~ всех упорядоченных троек действительных чисел в качестве арифметической модели трехмерного евклидова пространства, арифметического пространства Я3 всех упорядоченных пар в качестве арифметической модели двумерного подпространства:
- постановка задачи поиска аналогов прямых, плоскостей, линий, поверхностей в арифметическом пространстве Я3, двумерном подпространстве Я'.
6. Становление аналитического метода исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в двумерном евклидовом пространстве:
- представление прямых, базовых линий на плоскости как объектов двумерного евклидова подпространства характеристическими свойствами точек, векторов;
- построение арифметических образов (моделей) прямых, базовых линий в арифметической модели К1 двумерного евклидова пространства координатным методом в форме у равнений с двумя переменными;
- исследование расположения прямых, линий относительно системы координат, их взаимного расположения алгебраическими средствами анализа соответствующих арифметических моделей;
- представление плоской геометрической фигуры, указанной в исходной практической задаче исследования метрических и пространственных свойств, в ортонормированном базисе двумерного евклидова пространства векторно-координатными характеристиками структурирующих ее вершин, изображенных и достраиваемых прямых, линий, точек их пересечения;
- построение аналитической модели практической задачи в форме координат вершин, уравнений изображенных и достраиваемых прямых, линий;
- исследование аналитической модели исходной практической задачи алгебраическими средствами на базе координатных условий принадлежности, коллинеарности. ортогональности;
- интерпретация результатов исследования аналитической модели, их применение в вычислении пространственных, метрических свойств геометрической фигуры в евклидовом пространстве.
7. Становление аналитического метода исследования пространственных и метрических свойств геометрических фигур в трехмерном евклидовом пространстве:
- представление плоскостей, базовых поверхностей, прямых, линий их пересечения как объектов трехмерного евклидова подпространства характеристическими свойствами точек, векторов;
- построение арифметических образов (моделей) плоскостей, базовых поверхностей, прямых, линий их пересечения в арифметической модели Н3 трехмерного евклидова пространства координатным методом в фор-
ме уравнений с тремя переменными, их систем;
- исследование расположения плоскостей, поверхностей, относительно системы координат, их взаимного расположения алгебраическими средствами анализа соответствующих арифметических моделей;
- представление пространственной геометрической фигуры, указанной в исходной практической задаче исследования метрических и пространственных свойств, в ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства векторно-координатными характеристиками структурирующих ее вершин, изображенных и достраиваемых плоскостей, поверхностей, прямых, линий, точек их пересечения;
- построение аналитической модели практической задачи в форме координат вершин, уравнений изображенных и достраиваемых плоскостей, поверхностей геометрической фигуры;
- исследование аналитической модели исходной практической задачи алгебраическими средствами на базе координатных условий принадлежности, коллинеарности, ортогональности компонентов геометрической фигуры;
- интерпретация результатов исследования аналитической модели, их применение в вычислении пространственных, метрических свойств геометрической фигуры в евклидовом пространстве.
8. Аксиоматическое описание геометрического пространства как трехмерного евклидова:
- постановка задачи аксиоматизации геометрического пространства на базе понятия вектора, операций над векторами, содержательных представлений евклидова пространства;
- выделение в качестве первичных терминов теории понятий «точка» и «вектор» с отношениями «сложение векторов», «умножение числа на вектор», «скалярное произведение векторов»;
- определение базовых понятий евклидовой геометрии (прямая, плоскость, пространство) в абстрактной «точечно-векторной» терминологии;
- фиксация в перечне аксиом абстрактной алгебраической структуры трехмерного векторного пространства, характеристических свойств скалярного произведения векторов;
- представление трехмерного евклидова, арифметического пространств в качестве взаимосвязанных векторно-координатной и, соответственно, аналитической моделей аксиоматической теории;
- доказательство аксиом, базовых теорем евклидовой геометрии в системе аксиом, определений теории евклидова пространства;
- отражение свойств геометрического пространства в различных, дополняющих друг друга аксиоматических подходах, модельных представлениях, методах исследования, обладающих фундаментальным свойством эквивалентности.
Библиографический список
1. ¿АлександровА.Д. О геометрии //Математика в школе. 1980. № З.С. 56-62.
2. Александров А. Д. Что такое вектор // Математика в школе. 1984. № 5. С. 39-46.
3. Болтянский В.Г., Ягпом II.М. Векторное обоснование геометрии // В кн.: Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972. С. 64-92.
4. Болтянский В.Г., Вомович М.Б., Семуиит АД. Векторное изложение геометрии (в 9 классе средней школы). Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. 143 с.
5. Гусев В.А., Калягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Векторы в школьном курсе геометрии. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1976.48 с.
6. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. 423 с.
7. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: Интор, 1996. 544 с.
8. Колмогоров А.Н., Ягпом ИМ. О содержании школьного курса математики//Математика в школе. 1965. №4. С.53-61.
9. Потоскуев Е.В. Векторно-координатный метод при решении стереометрических задач // Математика в школе. 1995. №1. С. 23-25.
10. Скопец З.А. Векторное решение стереометрических задач// В кн.: Преподавание геометрии в 9-10 классах. М.: Просвещение, 1980. С.184-230.
11. 4ynptiKoeaH.II. Умственное развитие и обучение (Психологические основы развивающего обучения). М.: АО «Столетие», 1994. 192 с.
12. ЯгтыП.М. О школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1963. № 2. С. 53-57.
References
1. Aleksandrov A.D. About geometry// Mathematics in school. 1980. № 3. Pp. 56-62.
2. Aleksandrov A.D. What is a vector // Mathematics ill school. 1984. № 5. Pp. 39-46.
3. Boltycmskiy KG., Yaglom I.M. Vector geometry study // In: New in school mathematics, M.: Znaniye, 1972. Pp. 64-92.
4. Boltyanskiy KG., Volovich M.B., Senntshin A.D. Vector geometry presentation (in tie ninth year of high school).Manual for teachers. M.: Prosveshcheniye, 1982. 143 p.
5. Gusev V. 1.. Kolyagin Yn.M., Lykankin G.L. Vectors in the school geometry course. Manual for teachers. M.: Prosveshcheniye, 1976. 48 p.
6. Davydov V.V. Types of generalization in training. M.: Pedagogy, 1972 . 423 p.
7. Davydov VV Theory of developmental education. M.: Intor, 1996. 544 p.
8. Kolmogorov A.N., Yaglom I.A I. About the content of school mathematics// Mathematics in school. 1965. №4. Pp. 53-61.
9. Potoskuev E.V Vector-coordinate method for solution of stereometric tasks // Mathematics in school. 1995. №1. Pp. 23-25.
10. Skopets Z.A. Vector solution of stereometric tasks I I In: Teaching geometry in grades 9-10. M.: Prosveshcheniye, 1980. Pp. 184-230.
11. Chuprikova N.I. Mental development and training (Psychological bases of developmental education).M.: Publishing house «AO «Stoletiye», 1994. 192 p.
12. Yaglom I.M. About school geometry course // Mathematics in school. 1963. № 2. Pp.53-57.
