CC BY
83
О.А. Тулинова
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация. В целях повышения уровня математической подготовки будущих учащихся необходимо на школьных уроках геометрии особое внимание уделять тем вопросам, без прочного знания которых невозможно успешное овладение предметом и качественная подготовка к сдаче ЕГЭ по математике. В данной статье на примере решения ряда задач по стереометрии демонстрируются преимущества применения координатно-векторного метода. Содержание статьи представляет интерес для преподавателей вузов, учителей, старшеклассников.
Ключевые слова: геометрическая задача, обучение решению задач, координатно-векторный
метод.
O.A. Tulinova
ON THE EFFICIENCY OF USING THE COORDINATE-VECTOR METHOD AT THE SOLVING OF STEREOMETRIC PROBLEMS IN THE MIDDLE SCHOOL
Annotation. In order to improve the level of mathematical preparation of future students, it is necessary to pay special attention to those issues in school geometry lessons, without a strong knowledge of which it is impossible to successfully master the subject and qualitative preparation for the passing of the USE in mathematics. In this paper, the advantages of applying the coordinate vector method are demonstrated using the example of solving a number of stereometric problems. The content of the article is of interest to teachers of universities, teachers, high school students.
Ke ywords: geometric problem, learning to solve problems, coordinate-vector method.
Алгебра - не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия - это просто алгебра, воплощенная в фигурах.
/Софий Жермен/
Координатно-векторный метод является универсальным способом сопоставления геометрическим объектам (фигурам, линиям), тех или иных алгебраических соотношений. Иначе, координатно-векторный метод - это некий способ перевода с геометрического языка на язык алгебры, после чего геометрические соотношения и факты превращаются в алгебраические, и у появляется возможность применять алгебраические методы для решения геометрических задач.
Можно достоверно сказать, что в определенных случаях координатно-векторный метод дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическим способом. Освоение координатно-векторного метода на современном этапе организации учебной деятельности является неотъемлемой частью курса геометрии в общеобразовательной школе.
Основной характеристикой координатно-векторного метода является перенесение в курс геометрии способов решения алгебраических задач, обладающих общностью изложения [1].
Не секрет, что решение геометрических задач, как правило, требует пространственного мышления и наглядного представления сложных конфигураций. Координатно-векторный метод позволяет избавить учащихся от этой необходимости. Решение задач указанным методом большей частью алгоритмизировано, что в значительной степени упрощает поиск и само решение задачи. Можно с уверенностью утверждать, что овладение школьниками координатно-векторного метода является необходимым условием освоения школьного курса геометрии [2-4]. Основными целями изучения координатно-векторного метода являются:
> установить связь между алгеброй и геометрией;
> познакомить с действенным способом решения геометрических задач различного уровня;
> формировать вычислительные умения и навыки учащихся;
> развитие графических приемов решения задачи.
Для того чтобы применять координатный метод при решении конкретных задач учащиеся должны уметь:
> переводить геометрические задачи на координатный язык и наоборот;
> по заданным координатам строить точку;
> находить координаты заданных точек;
> уметь определять расстояния между точками, с заданными координатами;
> выбирать систему координат, наиболее удобную для решения задачи;
> составлять уравнения заданных геометрических фигур;
> за алгебраическим уравнением видеть конкретный геометрический образ;
> выполнять преобразования алгебраических выражений.
Таким образом, в школьном курсе координатно-векторный метод позволяет проводить доказательства и находить решение задачи более рациональным способом, в отличие от исключительно геометрического [5]. Однако, может появиться некоторая геометрическая сложность, которая связана с тем, что одну и ту же задачу можно аналитически представить по-разному в зависимости от выбора системы координат. Причем выбрать наиболее подходящую систему координат для решения задачи позволит лишь достаточный опыт.
Операции, выполняемые в ходе решения задач с векторами в средней школе, основаны на следующих умениях:
1) на язык векторов переводить геометрические термины (переход от соотношения между фигурами на соотношения между векторами);
2) выполнять над векторами различные операции (находить сумму векторов, разность векторов, умножать вектор на число, вычислять скалярное произведение двух векторов);
3) преобразовывать различные векторные соотношения;
4) осуществлять переход от соотношений между векторами к соотношениям между их длинами;
5) определять длину вектора через его скалярный квадрат;
6) находить с помощью скалярного произведения выражение величины угла между векторами, заданных своими координатами [6-8].
Исходя из представленных выше особенностей материала, имеем алгоритм освоения коор-динатно-векторного метода:
1) определение «ключевых» объектов и введение ключевых векторов в структуру задачи;
2) введение базиса и/или фиксирование системы координат;
3) выполнение операции разложения вектора по базису, нахождение координат «ключевых» векторов;
4) преобразование полученных соотношений средствами векторной алгебры, получение новых соотношений;
5) осуществлять переход от найденных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи.
Данные этапы носят вариативный характер и представленный выше алгоритм является весьма условным.
Покажем реализацию этого алгоритма на примере решения следующей задачи. I. Ознакомление с задачей. Составление чертежа (рис. 1), краткая запись условия и требования. Установление соотношений между объектами задачи.
1 В: А / С;.
* 9Х * у*
/в Ус
и -►
Ох
Рис. 1
Дано: ЛБСПЛ1Б1С101 - единичный куб.
Найти: е^(ЛБ1,БС1).
Решение.
Из условия задачи следуют соотношения:
ЛБ = БС = СБ = ЛБ = ЛЛ1 = ББ1 = СС1 = 001 = Л1Б1 = Б1С1 = С1Б1 = Л1Б1 = 1.
II. Введение в структуру задачи векторов, выделение «ключевых» векторов. Рассмотрим в качестве «ключевых» векторы Л В ± и Б С±.
III. Введение базиса, определение координат «ключевых» векторов.
Введем систему координат так, чтобы вектор АН имел направление оси Оя, вектор АН имел направление оси Оуу, вектор АА- имел направление оси Ог. Тогда для точек А, В, В^ С найдем координаты:
А(0,0,0), В(0,1,0), 51(0,1,1), £4(1,1,1).
Потому
А? = {0; 1; 1}, ВС- = {1; 0; 1}.
IV. Преобразования с учетом полученных соотношений. Тогда
(ЛВ1,ВС1)
cose =
cose :
ITBvHBCLP
O^l+ЪО+М l
V02 + l2 + l2Vl2+02 + l2 2
Поскольку cose = +, получаем E =
Ответ. e = ^ 4
Заключение
В заключение хочется подчеркнуть огромную значимость координатно-векторного метода в процессе обучения решению геометрических задач. Широкий спектр возможностей применения векторного аппарата и его несомненно важную роль в повышении и развитии математической культуры учащихся невозможно переоценить. Решение многих геометрических задач координатно-векторным методом становится значительно проще их решения средствами элементарной геометрии. Традиционные способы решения геометрических задач часто являются громоздкими и сложными, как правило, требуют больших временных затрат, что не допустимо, например, в условиях сдачи экзаменов в форме ЕГЭ и ОГЭ, когда время ограничено. Координатно-векторный метод для решения самого широкого спектра геометрических задач является наиболее эффективным и позволяет экономить время ее решения.
Использование координатно-векторного метода при решении стереометрических задач способствует развитию творческого мышления учащихся. Например, задание системы координат как вспомогательного элемента является по сути нестандартным способом решения задач указанного вида. Формирование последовательности действий будет способствовать эффективному и осмысленному применению координатно-векторного метода в различных ситуациях. Средством обучения учащихся этому методу являются геометрические задачи определенных типов.
Координатно-векторный метод является необходимой составляющей изучения геометрии в общеобразовательной школе. Данный метод может упростить процесс и сократить время для нахождения решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ и ОГЭ, в различных олимпиадах. В последствии, при изучении математики в высших учебных заведениях, учащийся также сможет использовать полученный опыт работы по использованию этого метода на практике.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сидорякина, В.В., Кружилина, Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2. - С. 130-134.
2. Бузнякова А.А., Макарченко М.Г., Сидорякина В.В. Основные принципы построения объяснения доказательства теоремы школьного курса математики// Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1. -С. 179-184.
3. Сидорякина В.В., Тулинова О.А., Кружилина Е.В. О некоторых методических особенностях обучения школьников решению геометрических задач векторным методом // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 1.- С. 261-266.
4. Сидорякина В.В., Аксайская Л.Н., Кумакова Е.А. Специфика использования метода координат при решении стереометрических задач в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2017. № 2.- С. 241-245.
5. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя. М.: Просвещение, 2010. - 248 с.
6. Атанасян, Л.С. Геометрия, ч.1 Учебное пособие для студентов физ.-мат фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1973. -478 с.
7. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.
8. Потоскуев Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.: Дрофа, 2008. - 173 с.
