CC BY
12
УДК 539.3
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-298-306
ВАРИАЦИЯ КОНТАКТНОГО ТРЕНИЯ И ЕЕ УЧЕТ В РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОБОЙНИКА
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ирина Валерьевна Гутарова
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, старший преподаватель кафедры математики и естественных наук, тел. (383)243-94-75, e-mail: max_ira@ngs.ru
Ирина Владимировна Фролова
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, старший преподаватель кафедры математики и естественных наук, тел. (383)243-94-75, e-mail: sten9@rambler.ru
Рассматривается движение пробойника в грунте, когда сила трения не является постоянной величиной, а зависит от координаты погружения. При этом различаются минимальное значение силы трения и максимальное. Исследуется вопрос о влиянии степени изменения этой реактивной силы (от минимального до максимального значений) на характер движения самого пробойника при заданной начальной его скорости. При этом анализируется влияние слагаемого, учитывающего вязкость, а также нарастание сил бокового давления вследствие внедрения пробойника в грунт. Для расчетов построена конечно-разностная схема типа крест со вторым порядком аппроксимации условий Коши на границе области интегрирования. Полученное численное решение сравнивалось с тестовым, при этом имеет место хорошее совпадение численного решения с аналитическим.
Ключевые слова: боковое давление, вязкость, грунт, пробойник, переменная сила трения, перемещение, закон движения.
CONTACT FRICTION VARIATION AND ITS ROLEINA SOLUTION OF A PUNCH MOTION PROBLEM
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Irina V. Gutarova
Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Senior Lecturer, Department of Mathematics and Natural Sciences, phone: (383)243-94-75, e-mail: max_ira@ngs.ru
Irina V. Frolova
Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Senior Lecturer, Department of Mathematics and Natural Sciences, phone: (383)243-94-75, e-mail: sten9@rambler.ru
The article reviewsmotion of the punch in the ground when the friction force is not constant, but it depends on the submergence coordinate. In this case, the minimum and the maximum values of the friction force differ. The influence of the reaction force variation degree (from the minimum to the maximum values) on the punch motion at a given initial velocity is investigated. At the same time, the influence of the summand that takes viscosity into account is analyzed, as well as an increase in lateral pressure forces due to the introduction of a punch into the ground. A finite-difference scheme of a cross type is constructed with the second order of approximation of the Cau-chy conditions at the integration domain boundary. The obtained numerical solution has been compared to the test one, and there is a good agreement between the numerical solution and the analytical one.
Key words: lateralpressure, viscosity, soil, punch, variable friction force, displacement, law of motion.
Введение
В горном деле сложилось представление о том, что все тела состоят из блоков. Блоки могут быть самых разных размеров - от нескольких десятков и сотен километров до мельчайших частиц в виде, например, наночастиц. В этой связи необходимо говорить о взаимодействии блоков, о том, как поведение одного блока влияет на поведение соседних [1-22]. Говоря о блоках, следует иметь в виду то, что блоки имеют поверхность, шероховатую поверхность, взаимодействующие блоки имеют поверхности разной шероховатости. Это означает, что при взаимодействии блоков будет проявляться коэффициент трения как что-то среднее, отражающее шероховатости контактирующих поверхностей. Традиционно коэффициент трения задается в виде некоторого постоянного числа. На самом деле он таковым может не являться - все зависит от координат точек соприкосновения одного блока с другим. В данной работе ставится задача определения влияния неоднородного распределения коэффициента трения на характер изменения пути движения одного блока по другому от времени ?.
Постановка задачи
Представим себе следующую ситуацию. Пусть имеется тело с массой т, находящееся на горизонтальной поверхности (рис. 1). К телу прикладывается сила Р, действует реакция или сопротивление Я, препятствующее движению. Пусть под действием силы /< тело приобрело начальную скорость у0 . Пусть на движущееся под действием сил инерции тело действуют сила трения Ртр и сила
вязкого трения /<в тр. Если сила трения Р обусловливается только напряжени-
ем выступов на шероховатых поверхностях (как на рис. 2), то силу трения ^ возможно определить как
тр
К
тр
-Ххг ,
(1)
где X - коэффициент пропорциональности, л: - смещение, / - орт оси Ох. Отметим, что такой вид сопротивления свойственен упругости. Другое сопротивление, обусловленное наличием вязкого материала на контакте «тело-поверхность», может быть задано в виде
К
в.тр
уосг ,
(2)
где |ы- коэффициент пропорциональности, х - скорость смещения тела вдоль контактной поверхности.
0
Я
1
ГУУуууууул/УУУУУУК
Рис. 1. Абсолютно твердое
тело, движущееся по шероховатой поверхности
Рис. 2. Напряжение выступов на шероховатых поверхностях без перекосов одних выступов через другие
В совокупности с уравнением движения Ньютона из (1), (2) получаем уравнение для определения х:
тх = -Ъс - цх, (3)
решение которого приводится и анализируется во многих работах, например [1-5].
В отличие от предыдущего будем считать, что уже процесс напряжения выступов на рис. 2 преодолен и теперь одно тело скользит по другому. В этом случае предельная сила трения постоянна и равна
/;тр = (4)
где ктр - коэффициент трения скольжения. При этом вместо (3) необходимо решать следующее уравнение, вытекающее из уравнения движения Ньютона:
тх = ^щк^ -\лх. (5)
Для (5) поставим условия Коши:
4=0 = °> 4=0 = уо- (6)
Решением (5) при условии (6) служит выражение
ц t
* = - У + 8Кр -)(1 - ^ - ) - —. (7)
ц ц ц
Время , при котором происходит остановка тела, определяется формулой
—
г 1 — V
Уо + ёКр-ц
t* = ln
Ir т ктр g
р П
(8)
В отличие от предыдущего будем считать, что при движении исходного тела на него в поперечном направлении действует сила m0g (т0 ^ т) и коэффициент трения скольжения в (4) не является константой. Пусть он имеет переменный характер, зависящий от координат тела на поверхности скольжения:
ктр = ктр (1 + B sin рх), (9)
где параметры B и р - постоянные, |B| < 1, ктр - коэффициент трения скольжения при B = 0. Можно допустить, что за счет подходящего выбора отношения масс то / т, значений коэффициентов B и р возможно получить распределение трения вдоль пути движения блока массы т на рис. 1, близкое к реальному. Нас интересуют следующие вопросы: каково влияние коэффициентов B и р на зависимость смещения х от t. Отметим, что вид (9) распределения коэффициента трения вдоль оси х, взят только из-за простого решения задачи.
Реализация идеи
Для решения задачи имеем уравнение типа (5):
тх = -m0gk^ (1 + В sin Рх) -\лх. (10)
Учитывая (6), это уравнение при t = 0 приводит к условию:
(mx)t=о = -mQgkw - |uv0 (11)
Для решения (10) используем конечно-разностную схему[23]:
ГП+1 -1 ГП + ГП~1 Ш I I Yn+l - ГП~1
x- 9 + x =- kTP (1 + B sin pxn)X-—. (12)
-2 m р m 2x
x
Для определения значений x0 и x1 используем начальные условия (6)
и формулу Тейлора:
lí=0 2
1 _ 0 *
JC — JC I J^CI Т I
12+..........(13)
t=0
С применением (11) и (6) отсюда получаем
x1 = V0X +1(-g^ kтр -HV-
2 m m
2 3
Значения x , x и так далее получаются на основе (12):
xn+1 =-1-Í2xn - xn-1 - gmokтрx2(1 + BsinPxn) + bxn-11}. (14)
(1 + ^1) l m р m 2 J
m 2
На рис. 3 приведен график изменения x от времени t для разных значений Р
, В, и k™, при ц = 0,2, m = 150 кг, g = 10 м, n = 5, L = 5. Линия 1 - Р = 0, B = 0,
р с2
и k^ = 0,5; линия 2 - Р = 0, B = 0, и k^ = 0,8; линия 3 - Р = 1, B = 0,2, и k^ = 1;
линия 4 - Р = 1, B = 0,2, и k^ = 1; линия 5 - Р = 0,7, B = -0,2, и k^ = 1.
1 1.2
Y t, с
Рис. 3. Зависимость максимальной глубины проникания пробойника от времени для разных значений Р, В, и ктр
Как видно из рисунка глубина проникания пробойника при переменном трении находится в коридоре между глубиной проникновения при максимальном трении (линия 1) и при минимальном (линия 2).
Обсуждение результатов
Используем (10) для построения интеграла энергии. Умножим (10) нах. В результате преобразований получаем тождество
Л
—т(х)2 2
= -mgk
(1х тёКг>В ¿/СОБрХ . б/х
тп — +----М-Х-.
р с!( Р Ж Л
(15)
Умножая (15) на Ж и интегрируя от х = 0 до значения х = х* (где произошла остановка тела), получим
1 2
-ШУ0 = mgkтр х* +
mgkтр Б(1 - соб Рх*)
Р
+ |ы | Мх. о
(16)
Как видно из (16), кинетическая энергия расходуется здесь на преодоление постоянного трения, на преодоление трения, вызванного изменением его в процессе движения, и на преодоление вязкого трения. Последнее зависит от того как меняется х в зависимости от х. Отметим, что коэффициент Р в (15), (16) стоит в знаменателе и возникает такое подозрение, что при Р^ 0 энергия, затрачиваемая на продвижение тела может неограниченно возрастать в связи с уменьшением Р . Однако нетрудно видеть в (16), что это слагаемое становится пренебрежимо малым в следствие того, что при Р^0 выражение 1 -соб(Рх)
2 2
имеет следующий порядок малости Р х* /2.
Заключение
Глубина проникания пробойника при синусоидальной зависимости силы трения находится в коридоре между глубиной проникновения при максимальном трении и при минимальном.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ (№ 18-0500757 А).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Опарин В. Н., Юшкин В. Ф., Пороховский Н. Н., Гришин А. Н., Кулинич Н. А., Рублев Д. Е., Юшкин А. В. О влиянии массового взрыва в карьере строительного камня на формирование спектра сейсмических волн // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2014. № 5. С. 74-89.
2. Опарин В. Н., Потапов В. П., Гиниятуллина О. Л., Харлампенков И. Е. Фрактальный анализ траекторий миграции геодинамических событий в Кузбассе // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2012. № 3. С. 75-81.
3. Данилов Б. Б., Смоляницкий Б. Н., Чещин Д. О. Обоснование принципиальных схем отклоняющих устройств в установках горизонтального направленного бурения скважин // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2015. № 3. С. 106-116.
4. Данилов Б. Б., Смоляницкий Б. Н. Согласование пневмоударного устройства с пнев-мотранспортной магистралью установок для бурения горизонтальных скважин в грунте // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2013. № 3. С. 119-126.
5. Опарин В. Н., Данилов Б. Б., Смоляницкий Б. Н. Обоснование принципов построения конструктивной схемы подземной ракеты // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2010. № 5. С. 44-56.
6. Александрова Н. И., Шер Е. Н. Распространение волн в двумерной периодической модели блочной среды. Ч. 1: особенности волнового поля при действии импульсного источника // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2010. № 6. С. 57-68.
7. Александрова Н. И., Айзенберг-Степаненко М. В., Шер Е. Н. Моделирование распространения упругих волн в блочной среде при импульсном нагружении // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2009. № 5. С. 21-32.
8. Александрова Н. И., Шер Е. Н., Черников А. Г. Влияние вязкости прослоек на распространение низкочастотных маятниковых волн в блочных иерархических средах // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2008. № 3. С. 3-13.
9. Aleksandrova, N.I. (2014). Asymptotic formulae for the Lommel and Bessel functions and their derivatives // Royal Society Open Science Volume 1, Issue 2, October 2014, № 140176, 8 p.
10. Jentschura, U.D. & Lotstedt, E. (2012). Numerical calculation of Bessel, Hankel and Airy functions // Computer Physics Communications Volume 183, Issue 3, March 2012, Pages 506-519.
11. Gil, A., Segura, J. & Temme, N.M. (2011). Basic methods for computing special functions // Recent Advances in Computational and Applied Mathematics, Pages 67-121.
12. Makarov, V.V., Guzev, M.A., Odintsev, V.N. & Ksendzenko, L.S. (2016). Periodical zonal character of damage near the openings in highly-stressed rock mass conditions // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical EngineeringVolume 8, Issue 2, 1 April 2016, Pages 164-169.
13. Guzev, M.A. & Makarova, N.V. (2004). Experimental and theoretical investigation of concrete fracture on the basis of energy criteria // Proceedings of the Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium2004, Pages 129-133. Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium; Vladivostok; Russian Federation.
14. Guzev, M.A. (2014). Non-classical solutions of a continuum model for rock descriptions // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical EngineeringVolume 6, Issue 3, June 2014, Pages 180-185.
15. Saraikin, V.A., Chernikov, A.G. & Sher, E.N. (2015). Wave propagation in two-dimensional block media with viscoelastic layers (Theory and experiment) // Journal of Applied Mechanics and Technical PhysicsVolume 56, Issue 4, 1 July 2015, Pages 688-697.
16. Sadovskii, V.M., Sadovskaya, O.V. & Varygina, M.P. (2013). Analysis of resonant excitation of a block medium on the basis of Cosserat moment continuum equations // Radioelektron. Nanosist. Informats. Tekhnol., 5 (1), Pages 111-118.
17. Saraikin, V.A. (2010). Propagation of a low-frequency wave component in a model of a block medium // Journal of Applied Mechanics and Technical PhysicsVolume 50, Issue 6, January 2010, Pages 1063-1070.
18. Чанышев А.И. Построение определяющих соотношений деформируемых сред при сложном нагружении на примере экспериментальных данных стали 40х // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2014. № 5. С. 44-50.
19. Chanyshev, A.I., Belousova, O.E. &Abdulin, I.M. (2017). Static and dynamic overdetermined problems in elasticity, plasticity and post-limit deformation // Journal of Physics:
Conference Series Volume 894, Issue 1, 22 October 2017, № 012121. All-Russian Conference with International Participation on Modern Problems of Continuum Mechanics and Explosion Physics: Dedicated to the 60th Anniversary of Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, MPCMEP 2017; Technopark Novosibirsk, Akademgorodok; Russian Federation.
20. Qi, C.Z., Li, K.R., Bai, J.P., Chanyshev, A.I. & Liu, P. (2017). Strain Gradient Model of Zonal Disintegration of Rock Mass near Deep-Level Tunnels //Journal of Mining ScienceVolume 53, Issue 1, 1 January 2017, Pages 21-33.
21. Bu, W., Liu, X., Tang, Y. & Yang, J. (2015). Finite element multigrid method for multi-term time fractional advection diffusion equations // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 6 (1).
22. Buterin, S.A. (2018). On an inverse spectral problem for first-order integro-differential operators with discontinuities // Applied Mathematics Letters, - Volume 78. Pages 65-71.
23. Самарский А. А. Теория разностных схем. - М. : Наука, 1983. - 616 с.
REFERENCES
1. Oparin, V.N., Yushkin, V.F., Porokhovsky, N.N., Grishin, A.N., Kulinich, N.A., Rublev, D.E. & Yushkin, A.V. (2014). Effect of large-scale blasting on spectrum of seismic waves in a stone quarry // Journal of Mining Science. 2014. Т. 50. № 5. Pages 865-877.
2. Oparin, V.N., Potapov, V.P., Giniyatullina, O.L. &Kharlampenkov, I.E. (2012). Fractal analysis of geodynamic event migration paths in the Kuzbass area // Journal of Mining Science. 2012. Т. 48. № 3. Pages 474-479.
3. Danilov, B.B., Smolyanitsky, B.N. &Cheshchin, D.O. (2015). Justification of basic diagrams of horizontal drilling deflectors // Journal of Mining Science. 2015. Т. 51. № 3. Pages 553-561.
4. Danilov, B.B. & Smolyanitsky, B.N. (2013). Concerted operation of pneumatic percussion tool and air-aided chips removal line in horizontal hole drilling machines // Journal of Mining Science. 2013. Т. 49. № 3. Pages 459-464.
5. Oparin, V.N., Danilov, B.B. & Smolyanitsky, B.N. (2010). "Underground rocket" design principles // Journal of Mining Science. 2010. Т. 46. № 5. Pages 536-545.
6. Aleksandrova, N.I. & Sher, E.N. (2010). Wave propagation in the 2d periodical model of a block-structured medium. Part i: characteristics of waves under impulsive impact // Journal of Mining Science. 2010. Т. 46. № 6. Pages 639-649.
7. Aleksandrova, N.I., Ayzenberg-Stepanenko, M.V. & Sher E.N. (2009). Modeling the elastic wave propagation in a block medium under the impulse loading // Journal of Mining Science. 2009. № 5. Pages 427-437.
8. Aleksandrova, N.I., Sher, E.N. & Chernikov, A.G. (2008). Effect of viscosity ofpartings in block-hierarchical media on propagation of low-frequency pendulum waves // Journal of Mining Science. 2008. T.44 № 3. Pages 225-234.
9. Aleksandrova, N.I. (2014). Asymptotic formulae for the Lommel and Bessel junctions and their derivatives // Royal Society Open ScienceVolume 1, Issue 2, October 2014, № 140176, 8p.
10. Jentschura, U.D. &Lotstedt, E. (2012). Numerical calculation of Bessel, Hankel and Airy functions // Computer Physics Communications Volume 183, Issue 3, March 2012, Pages 506-519.
11. Gil, A., Segura, J. & Temme, N.M. (2011). Basic methods for computing special functions // Recent Advances in Computational and Applied Mathematics, Pages 67-121.
12. Makarov, V.V., Guzev, M.A., Odintsev, V.N. & Ksendzenko, L.S. (2016). Periodical zonal character of damage near the openings in highly-stressed rock mass conditions // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical EngineeringVolume 8, Issue 2, 1 April 2016, Pages 164-169.
13. Guzev, M.A. & Makarova, N.V. (2004). Experimental and theoretical investigation of concrete fracture on the basis of energy criteria // Proceedings of the Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium2004, Pages 129-133. Sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium; Vladivostok; Russian Federation.
14. Guzev, M.A. (2014). Non-classical solutions of a continuum model for rock descriptions // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering Volume 6, Issue 3, June 2014, Pages 180-185.
15. Saraikin, V.A., Chernikov, A.G. & Sher, E.N. (2015). Wave propagation in two-dimensional block media with viscoelastic layers (Theory and experiment) //Journal of Applied Mechanics and Technical PhysicsVolume 56, Issue 4, 1 July 2015, Pages 688-697.
16. Sadovskii, V.M., Sadovskaya, O.V. & Varygina, M.P. (2013). Analysis of resonant excitation of a block medium on the basis of Cosserat moment continuum equations // Radioelektron. Nanosist. Informats. Tekhnol., 5 (1), Pages 111-118.
17. Saraikin, V.A. (2010). Propagation of a low-frequency wave component in a model of a block medium // Journal of Applied Mechanics and Technical PhysicsVolume 50, Issue 6, January 2010, Pages 1063-1070.
18. Chanyshev,A.I. (2014). Construction of constitutive equations for deformable media under complex loading in terms of steel 40x test data // Journal of Mining Science. 2014. Т. 50. № 5. Pages 841-846.
19. Chanyshev, A.I., Belousova, O.E. & Abdulin, I.M. (2017). Static and dynamic overdetermined problems in elasticity, plasticity and post-limit deformation //Journal of Physics: Conference Series Volume 894, Issue 1, 22 October 2017, № 012121. All-Russian Conference with International Participation on Modern Problems of Continuum Mechanics and Explosion Physics: Dedicated to the 60th Anniversary of Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, MPCMEP 2017; Technopark Novosibirsk, Akademgorodok; Russian Federation.
20. Qi, C.Z., Li, K.R., Bai, J.P., Chanyshev, A.I. & Liu, P. (2017). Strain Gradient Model of Zonal Disintegration of Rock Mass near Deep-Level Tunnels //Journal of Mining ScienceVolume 53, Issue 1, 1 January 2017, Pages 21-33.
21. Bu, W., Liu, X., Tang, Y. & Yang, J. (2015). Finite element multigrid method for multi-term time fractional advection diffusion equations // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing, 6 (1).
22. Buterin, S.A. (2018). On an inverse spectral problem for first-order integro-differential operators with discontinuities // Applied Mathematics Letters, - Volume 78. Pages 65-71.
23. Samarsky, A.A. (1983). Teoriya raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]. Moscow: Nauka [in Russian].
© А. И. Чанышев, И. В. Гутарова, И. В. Фролова, 2018
