CC BY
9
УДК 539.3
DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-266-275
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЛОЧНЫХ СРЕД. УЧЕТ РАЗМЕРОВ БЛОКОВ И КОНТАКТНОГО ТРЕНИЯ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: [email protected]
Ильгизар Маратович Абдулин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, научный сотрудник, тел. (383) 335-97-50, e-mail: [email protected]
Ольга Евгеньевна Белоусова
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Лариса Леонидовна Ефименко
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, тел. (383)224-27-31, e-mail: [email protected]
Традиционно для горных пород паспортными зависимостями считаются зависимости, связывающие нагрузку при сжатии образцов с осевой деформацией. При этом совсем неважно, действует ли боковое давление или нет (эксперимент Ставрогина А.Н. демонстрирует это влияние). Исходя из этих зависимостей, делаются определенные выводы относительно усиления прочности горных пород за счет действия нагрузок в других направлениях. Рассмотрение этих и других подобных зависимостей в упругости, пластичности, при разрушении указывает только лишь на тот факт, что они не являются паспортными. Паспортными являются зависимости, которые не зависят ни от вида, ни от способа нагружения. В работе показывается, что эти зависимости следует искать через собственные базисы упругости, т. е. рассмотреть закон упругости (в виде закона Гука), найти для него собственный тензорный базис. Этот базис, определенный в упругости, во многих случаях является собственным для пластичности, для разрушения, для состояний ползучести. В работе показывается, что в основе этого явления лежит «единая» феноменологическая структура среды, в рамках которой тело претерпевает различного рода деформации. При этом паспортная зависимость «касательное напряжение - сдвиг» отражает изменение предельной силы трения на контактах структурных элементов.
Ключевые слова: тензорный базис, главные оси тензоров, собственный базис, структура, блоки, касательное напряжение, сдвиг, размеры блоков, контактное трение, блочные структуры.
MATHEMATICAL MODELS OF BLOCK MEDIA. CONSIDERATION OF BLOCK SIZE AND CONTACT FRICTION
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: [email protected]
Il'gizar M. Abdulin
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Researcher, phone: (383)335 97 50, e-mail: [email protected]
Olga E. Belousova
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Ph. D., Senior Researcher, phone: (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Larisa L. Efimenko
Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Assistant Professor, Department of Mathematics and Natural Sciences, phone: (383)224-27-31, е-mail: [email protected]
Traditionally, for rocks passport dependencies are those making a connection between the load (when samples are compressed) with axial deformation. At the same time, it does not matter whether lateral pressure is acting or not (the experiment of A.N. Stavrogin demonstrates this influence). According to the dependences, certain conclusions are made regarding the strengthening of rocks due to the action of loads in other directions. The consideration of these and other similar dependencies of elasticity and plasticity indicates only the fact that they are not passport. Passports are dependencies that are not affected by either the form or the loading method. It is shown that these dependences should be sought through their own bases of elasticity, that is, to consider the law of elasticity (in the form of Hooke's law), and to find its own tensor basis for it. This basis, defined in elasticity, in many cases is proper for plasticity, for fracture and for creep states. The paper shows that this phenomenon is based on the "unified" phenomenological structure of the medium, within which the body undergoes various kinds of deformations. In this case, the passport dependence "shear stress-shift" reflects the change in the limiting friction force at the contacts of the structural elements.
Key words: tensor basis, principal tensor axes, proper basis, structure, block, shear stress, shift, block size, contact friction, block structure.
Введение
В работе показывается, что существуют паспортные или «единые» зависимости материалов, которые не зависят от вида нагружения, с их помощью возможно предсказать поведение сред при любом наперед заданном виде нагруже-ния. Вопрос заключается в том, что отражают эти паспортные характеристики, как получить структуру этих выражений?
Суть проблемы
Отметим, что долгое время в горном деле за основу бралась зависимость главного напряжения при сжатии в зависимости от деформации сжатия. Примером может служить зависимость а = а(е) (рис. 1), предложенная в [1-3].
Рис. 1. Зависимость а = а(е), отражающая ниспадающую ветвь [1, с. 8],
где ц* = агС^ М - модуль спада
Как следует из работ [4], эта зависимость не является «единой», она зависит от бокового давления, действующего на сжимаемые в осевом направлении образцы (рис. 2).
<4 б „иПа _/ 1 (,
ВО
50 /50МПа
ЛЛ Ш Чмпа
ш т 301 А
о 1 щ у /г ,типа
/5иПа
2,5 МПа ! МПа 1 бг=0 |
ег Ю'3 100 50 0 50 100 150 200 250 300 350 с,1р~}
Рис. 2. Зависимость осевого напряжения от осевой деформации, полученная в [4] при двухстороннем сжатии образцов горных пород
Можно продолжить череду этих экспериментов.
Особенность этих и других опытов состоит в том, что зависимостям, представленным на рис. 1, 2, придается особый физический смысл. Как иллюстрацию сказанного возьмем соотношение закона Гука
1
х — Е
уа
у
и программу нагружения образца в виде рис. 3а. Будем считать, что хХу — 0 и напряжения а х, а у, а 2 являются главными. Пусть а г — 0.
Из рис. 3, а следует, что на участке ОА напряжение а у — 0, прикладывается только напряжение ах. На рис. 3, б этому нагружению отвечает участок ОА, где отрезок ОА наклонен к оси абсцисс под углом а (а — Е).
а)
б)
Рис. 3. Гипотетическая программа нагружения образца (а) и диаграмма изменения осевого напряжения (б) (в зависимости от программы
нагружения на рис. 3, а)
Далее за участком ОА на рис. 3, а следует участок АВ, на котором напряжение ах сохраняется величиной постоянной. Рост ех при этом на участке АВ
рис. 3, б происходит за счет отрицательного значения напряжения а у на рис. 3, а. В силу того, что Ла х — 0, Да у < 0 из формулы (1) следует прирост деформации
ех до значения е^х^. Далее на рис. 3, а следует участок нагружения ВС, на котором Ла у — 0, значение а х изменяется от значения а х в точке В до значения ах в точке С. На рис. 3, б этому этапу нагружения соответствует участок «упругой» разгрузки ВС. Таким образом достигается значение ех в точке С. Если
теперь рассмотреть рис. 3, б, то в целом наблюдается картина, похожая на диаграмму упругопластического деформирования материалов.
Находясь в точке С, невозможно обнаружить отличие между указанной на рисунке диаграммой изменения напряжения ах от деформации ех и диаграммой изменения такого же напряжения от деформации ех для идеально-
пластического материала. Здесь имеется участок упругости ОА, участок идеальной пластичности АВ, участок упругой разгрузки ВС. Отличие от упруго-
пластической диаграммы нагружения заключается в том, что после снятия напряжения а у деформация 8 х из точки С возвратится в точку О (потому что тело изначально и затем находится в состоянии упругости, а не в состоянии пластичности!). Поэтому особого смысла в таких диаграммах нет и говорить о том, что материал перешел, например, в состояние пластичности не приходится.
Отметим, что такие же диаграммы деформирования, зависящие от действия напряжений на других площадках и направлениях, можно видеть в работах, где исследуются упругопластические деформации [5-10] сложного нагружения материалов. Одним из проявлений сложного нагружения здесь является то, что диаграмма деформирования ах = ах (ех), полученная при сложном нагружении, в некоторых случаях оказывается выше упругопластической диаграммы а х = а х (е х), полученной при одноосном виде нагружения [4]. На этом основании
здесь делается вывод о том, что путем сложной догрузки возможно повысить предельные деформационные прочностные характеристики деформируемых сред.
Эти и другие результаты заставляют задать следующий главный вопрос: какая диаграмма деформирования материала является паспортной? И тут же получить на него ответ: которая не зависит от способа и вида нагружения и с помощью которой (или которых) возможно с удовлетворительной точностью предсказывать поведение материала в других направлениях и на других площадках.
Очевидно то, что кривая ах = ах (ех) не является паспортной хотя бы потому, что она зависит от способа и вида нагружения. Как искать кривую, которая не зависит от способа и вида нагружения? Ясно, что она должна быть собственной, т. е. связывать собственные координаты тензоров напряжений и деформаций. Что при этом понимается под собственными координатами?
Вариант решения проблемы
Представим себе для простоты рассмотрения материал, который является первоначально изотропным и деформируемым в упругости по закону Гука. Пусть х1; х2, хз - главные оси тензоров напряжений и деформаций, в которых эти тензоры имеют вид
(а1 0 0 1 (р 81 0 01
Т = 0 а 2 0 Т = ' 8 0 8 2 0
V 0 0 аз, V 0 0 8з,
Закон Гука представим в виде:
8! = аа\ - Ьа2 - Ьаз, 82 = -Ъа\ + аа2 - Ьаз, 83 =-Ьа1 - Ьа2 + ааз, а = 1/ Е, Ь = у/ Е.
Тензоры Та, Те будем рассматривать в следующем тензорном базисе
Г1 0 01 Г 0 0 01 Г 0 0 01
Т = 0 0 0 , Т2 = 0 1 0 , Т3 = 0 0 0
V 0 0 0) V 0 0 0) V 0 0 1)
В базисе (3) тензоры Та ,Т имеют координаты В координатах (4) закон (2) имеет векторное представление
(4)
Г°11 Г а -Ъ -Ъ1 Г %1
= -Ъ а -Ъ
1«3) -Ъ -Ъ а у V )
(5)
Матрица, связывающая координаты тензоров Та ,Т в базисе (3), симметрическая. Приведем ее к диагональному виду. Имеем характеристическое уравнение
а - X -Ъ -Ъ -Ъ а - X -Ъ Ъ -Ъ а - X
= -X3 + 3аХ2 - (3а2 - 3Ъ2)х + а3 - 2Ъ3 - 3аЪ2 = 0, (6)
корнями которого служат выражения
Х1 = Х2 = а + Ъ, Х3 = а - 2Ъ.
(7)
динаты
Собственный вектор для собственного числа Х3 в базисе (3) имеет коор-
(\ 0 0Л
Г 1 1 1 ^ т « - т 1
Тогда собственный тензор 73 = —¡=
>/3
ственные тензоры ТЪТ2 для собственных
чисел Х1 — Х2 равны
0 1 0
0 0 1
Соб-
ъ =
>/2
10 0 ООО ч0 0 -1,
Т2 =
л
-10 0 0 2 0 ч0 0 -1,
Координаты тензоров (1) в базисе /¡, /2, Т3 получаются равными
1
Из (7), (8) следует, что паспортными зависимостями, не зависящими от вида нагружения в упругости, являются следующие:
1
^ + 6(-1 )2 = ^^ + 6(- -3)2
(9)
—1 + —2 + -3
Тз
81 +82 +83
Тз
Оказывается, что эти зависимости являются собственными или паспортными характеристиками для металлов в пластичности [5, 11], при разрушении [8], поскольку они там не зависят от вида нагружения.
Таким образом собственный тензорный базис для металлов получается состоящим из двух единичных тензоров:
¿> = 0080^+8^07^, тз,
Л 2 —9 - — - — _ 289 - 81 - 8о Др
где 0 = ——1-3 = £т: = ^ = —1-3 = п8, Д—> Д8 - параметры Ло-
>/3 (—!-—3 ) л/3
Тз (8! -83 ) л/3
де - Надаи.
Вариант решения проблемы для горных пород
Для горных пород предлагается собственный тензорный базис 73,1) для металлов повернуть на некоторый угол ф* и подобрать его таким, чтобы новый базис Тт, Т оказался собственным для горных пород [12-14] и таких материалов как чугуны [15].
т
Рис. 4. Поворот собственного базиса для металлов на угол ф*, так чтобы новый базис оказался собственным для горных пород
272
<
Значения угла ф* получены для разных горных пород (гранит, песчаник, каменная соль).
Как показано в [12-15], собственный тензорный базис отражает поведение материала в блочной структуре, при этом орт Tm отвечает простому удлинению блочной структуры в направлении нормали к блокам, T¡ - простым сдвигам. Диаграмма деформирования среды вдоль орта T¡ по существу совпадает с диаграммой изменения предельной силы трения с ростом сдвигов. Отметим, что исследованиям контактного трения на границах блоков экспериментально и теоретически посвящены работы [16-18], в которых отмечается нестационарный характер движения блоков.
Заключение
1. Показано, что кривая ax = a x (s x) не является паспортной не только для
горных пород, но и для металлов.
2. Построен собственный тензорный базис для горных пород.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ (№ 18-05-00757 А).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Петухов И. М., Линьков А. М. Механика горных ударов и выбросов. - М. : Недра, 1983. - 280 с.
2. Петухов И. М., Егоров П. В., Винокур Б. Ш. Предотвращение горных ударов на рудниках. - М. : Недра, 1984. - 230 с.
3. Петухов И. М., Батугина И. М. Геодинамика недр. - М. : Недра коммюникейшенс, 1999. - 287 с.
4. Ставрогин А. Н., Протосеня А. Г. Прочность горных пород и устойчивость выработок на больших глубинах. - М. : Недра, 1985. - 271 с.
5. Жуков А. М. Некоторые особенности кривой нейтрального нагружения // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 8.
6. Аннин Б. Д., Жигалкин В. М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения Научное издание. - Новосибирск : Изд-во СО РАН, 1999. - 342 с.
7. Zhigalkin V. M., Semyonov V. N., Usoltseva O. M., Chanyshev A. I., Abdulin I. M. Theoretical and experimental modeling of material hardening and softening by compression tests. 2012 Harmonising Rock Engineering and the Environment - Proceedings of the 12th ISRM International Congress on Rock Mechanics. 2012. pp. 563-568.
8. Стружанов В. В., Миронов В. И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. - Екатеринбург : УрО РАН, 1995. 191 с.
9. Вильдеман В. Э., Ломакин Е. В., Третьяков М. П. Закритическое деформирование сталей при плоском напряженном состоянии // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 1. С. 26-36.
10. Вильдеман В. Э., Ильиных А. В. Моделирование процессов структурного разрушения и масштабных эффектов разупрочнения на закритической стадии деформирования неоднородных сред // Физ. мезомех. 2007. Т. 10. № 4. С. 23-29.
11. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М. : Изд-во АН СССР, 1963.
12. Чанышев А. И. Построение паспортных зависимостей горных пород в допредельной и запредельной областях деформирования // ФТПРПИ. -2002. - №5.
13. Чанышев А. И., Абдулин И. М. Характеристики и соотношения на характеристиках на запредельной стадии деформирования горных пород // ФТПРПИ. - 2008, № 5. C. 27-41.
14. Чанышев А. И., Абдулин И. М. Деформирование и разрушение первоначально изотропных сред с условием нарушения прочности Мизеса // ФТПРПИ. - 2006. - № 4. C. 17-30.
15. Чанышев А.И., Жигалкин В.М., Усольцева О.М. О построении уравнений состояния полухрупких материалов по данным двухосных испытаний // ФТПРПИ. - 2003. - № 4. С. 63-71.
16. Tarasov B.G. Hitherto unknown shear rupture mechanism as a source of instability in intact hard rocks at highly confined compression // Tectonophysics Volume 621, 7 May 2014, pp. 69-84.
17. Tarasov B.G., Guzev M.A., Sadovskii V.M., Cassidy M.J. Modelling the mechanical structure of extreme shear ruptures with friction approaching zero generated in brittle materials // International Journal of Fracture 207(1), 2017. pp. 87-97.
18. Tarasov B.G., Sadovskii V.M. Mathematical modeling of fan-structure shear ruptures generated in hard rocks // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 10187 LNCS, 2017, pp. 648-656.
REFERENCES
1. Petukhov, I.M. & Linkov, A.M. (1983). Mekhanika gornykh udarov I vybrosov [Mechanics of mountain impacts and emissions]. Moscow: Nedra [in Russian].
2. Petukhov, I.M., Egorov, P.V. & Vinokur, B.Sh. (1984). Predotvrashcheniye gornykh udarov na rudnikakh [Prevention of mining impacts at mines]. Moscow: Nedra [in Russian].
3. Petukhov, I.M. & Batugina, I.M. (1999). Geodinamika nedr [Geodynamics of subsoil]. Moscow: Nedra communication [in Russian].
4. Stavrogin, A.N., Protosenya, A.G. (1985). Prochnost' gornyh porod i ustojchivost' vyrabotok na bol'shih glubinah [Rock strength and stability of developments at big depths]. - M.: Nedra [in Russian].
5. Zhukov, A.M. (1958). Nekotorye osobennosti krivoj nejtral'nogo nagruzheniya [Some features of a curve of neutral loading]. Academy of Sciences of the USSR, OTN, No. 8. [in Russian].
6. Annin, B.D., Zhigalkin, V.M (1999). Povedenie materialov v usloviyah slozhnogo nagruzheniya [Behavior of materials under conditions of complex loading]. - Novosibirsk: Izdatel'stvo SO RAN [in Russian].
7. Zhigalkin, V.M., Semyonov, V.N., Usoltseva, O.M., Chanyshev, A.I., Abdulin, I.M. (2012) Theoretical and experimental modeling of material hardening and softening by compression tests. 2012 Harmonising Rock Engineering and the Environment - Proceedings of the 12th ISRM International Congress on Rock Mechanics.
8. Struzhanov, V.V, Mironov, V.I. (1995). Deformacionnoe razuprochnenie materiala v ehlementah konstrukcij [Deformation softening of the material in structural elements]. -Ekaterinburg: UrO RAN [in Russian].
9. Vildeman, V.E., Lomakin, E.V., Tretyakov, M.P. (2014). Zakriticheskoe deformirovanie stalej pri ploskom napryazhennom sostoyanii [Supercritical deformation of steels under a plane stressed state], Izv. RAS. MTT. 2, [in Russian].
10. Vildeman, V.E., Ilyinikh, A.V. (2007) Modelirovanie processov strukturnogo razrusheniya i masshtabnyh ehffektov razuprochneniya na zakriticheskoj stadii deformirovaniya neodnorodnyh sred [Simulation of the processes of structural destruction and scale softening effects at the supercritical stage of deformation of inhomogeneous media], Fiz. mesomech. 10, 4, [in Russian].
11. Ilyushin, A.A. (1963) Plastichnost'. Osnovy obshchej matematicheskoj teorii. [Plasticity. Fundamentals of general mathematical theory]. - Moscow: Publishing House of the USSR Academy of Sciences [in Russian].
12. Chanyshev, A.I. (2002) Constitutive dependences for rocks in the pre- and post-limit deformation stages. Journal of Mining Science 38(5).
13. Chanyshev, A.I., Abdulin, I.M. (2008) Characteristics and the relations on them at the stage of post-limit deformation in rocks. Journal of Mining Science 44(5).
14. Chanyshev, A.I., Abdulin, I.M. (2006) Deformation and failure of originally isotropic media under the Mises strength condition. Journal of Mining Science 42(4).
15. Chanyshev, A.T., Zhigalkin, V.M., Usol'tseva, O.M (2003) Construction of equations of state for semi-brittle materials by the triaxial test data. Journal of Mining Science 39(4).
16. Tarasov, B.G. (2014). Hitherto unknown shear rupture mechanism as a source of instability in intact hard rocks at highly confined compression. Tectonophysics Volume 621.
17. Tarasov, B.G., Guzev, M.A., Sadovskii, V.M., Cassidy, M.J. (2017) Modelling the mechanical structure of extreme shear ruptures with friction approaching zero generated in brittle materials. International Journal of Fracture 207(1).
18. Tarasov, B.G., Sadovskii, V.M. (2017) Mathematical modeling of fan-structure shear ruptures generated in hard rocks. Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 10187 LNCS.
© A. H. Hiauwwee, H. M. ASdynuu, O. E. Eenoycoea, H. H. e^umchko, 2018
