CC BY
31
УДК 539.374
ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЕРВОНАЧАЛЬНО АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ В ЗАДАЧЕ О ЕЕ СДВИГЕ ЖЕСТКИМ ОТВАЛОМ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Лариса Леонидовна Ефименко
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, Каменская, 52, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, тел. (383)224-27-31, e-mail: efimenko.larisa@gmail.com
Ольга Анваровна Лукьяшко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, инженер лаборатории разрушения горных пород, тел. (383)335-97-50, e-mail: lykola@yandex.ru
Пластическое деформирование среды связывается с законами ее упругости. Предполагается, что собственные векторы матрицы упругих жесткостей (податливостей) совпадают с собственными векторами матриц соответствующих жесткостей (податливостей) пластичности, разрушения. На этом пути строятся определяющие соотношения пластичности. В качестве приложения рассматривается задача о пластическом сдвиге первоначально анизотропного грунта жестким отвалом.
Ключевые слова: анизотропия, пластичность, определяющие соотношения, жесткий отвал, предельная нагрузка.
PLASTIC-RIGID MODEL OF THE INITIALLY ANISOTROPIC MEDIUM
IN THE PROBLEM ON SHEARING OF THE MEDIUM BY THE RIGID DOZER BLADE
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Physics and Mathematics, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Larisa L. Efimenko
Novosibirsk State University of Economics and Management, 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamenskaya St., PhD Physics and Mathematics, Assistant Professor, Chair of Higher Mathematics, tel. (383)224-27-31, e-mail: efimenko.larisa@gmail.com
Olga A. Lukyashko
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Engineer, tel. (383)335-97-50, e-mail: lykola@yandex.ru
Plastic deformation of a medium is related with the medium elasticity laws. It is assumed that eigenvectors of matrix of elastic rigidities (yielding) coincide with eigenvectors of matrices of the corresponding rigidities (yielding) of plasticity and failure. The constitutive equations of plasticity are constructed. By way of application, the authors consider the problem on plastic shearing of initially anisotropic soil by rigid dozer blade.
Key words: anisotropy, plasticity, constitutive equations, rigid blade, ultimate load.
В теории пластичности широко развиты решения о вдавливании жесткого штампа и о внедрении жесткого клина [1]. Как правило, эти решения рассматриваются в рамках осесимметричных постановок. Ниже предлагается решить неосесимметричную задачу - о пластическом сдвиге жестким отвалом некоторого слоя с высотой H первоначально анизотропной породы. При этом предполагается учесть трение на контакте «отвал -порода».
Будем рассматривать некоторую упрощенную постановку. Пусть в системе координат х()у~ выполняется условие е2 = 0 (плоская деформация). При этом будем считать известной (из каких-то общих соображений) функцию изменения напряжений (т2 от напряжений ах,ау,сгху ,
гарантирующую выполнение условия плоской деформации.
Далее для компонент напряжений и деформаций в плоскости хОу строим двухмерные аналоги тензоров напряжений и деформаций Та и Те\
Та =
ху
Ктху
а
Т =
* Б
У J
ySxy
■ху
'у;
(1)
Соотношения между тензорами Та и ТЕ в упругости зададим в виде:
ах - ausx + а\2 £у-
ау - а12 £х + а22 £у ■
Тху — а33 Sxy ■
(2)
где а^ - известные из экспериментов константы, характеризующие жесткости
среды в тех или иных направлениях.
Введем в рассмотрение тензорный базис с ортами
Ti =
fl 0) ГО 1 ГО П
vO 0, ,Т2 = ,0 к Дз "л/2 J 0,
(3)
Эти тензоры ортогональны и имеют единичную длину. Координаты тензоров Та
Те в этом базисе обозначим как
S®, S2 . Имеем
S1 =(Jx>S2 =<ту,-,С1з =^2£ху
X
X
Закон Гука тогда может быть записан в матричном виде:
'sn a11
s¡ = a12
3 0
a12
a22 0
0 ^ 0
a
33 y
Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы жесткостей в (4). Имеем характеристическое уравнение \A-aE\- 0, корни которого равны
^ _ Ct\ i +¿?22 !
х2 =
2
all + а22
1
ап а22
\2
+ а
12:
1
С1\ 1 6/22
+ а12, А,3 =а33.
Собственные векторы имеют вид:
b1 = ^osor, sin а, 0^ b2 = ^-sina, cosor, 0^ b3 = 0,1,
2<2I
где tgla =
42
all ~a22
(для первоначально изотропного тела ап = а22 и угол
а = п! 4). Деформационные кривые ^ = ^ <32 Фз _ представлены на рис. 1.
K S1
>яр, = oct
Q,
Рис. 1. Кривые = Ь) О, ^ С = 1, 2, 3 деформирования в упругости и в пластичности, тангенс угла Д совпадает с собственным значением Л1
В дальнейшем используется следующая гипотеза: собственные векторы матрицы упругих жесткостей (податливостей) остаются собственными и для неупругих деформаций (или их приращений), то есть для матриц неупругих жесткостей (податливостей). Она подтверждается обработкой многочисленных экспериментальных данных как для первоначально изотропных сред, так и для первоначально анизотропных [2]. В ее основе лежит «единая» структура среды (блочная феноменологическая структура), которая не зависит от вида деформаций (упругость, неупругость), для которой законы упругости и неупругости являются лишь ее откликами при том или ином виде нагружения.
2
2
Критерии пластичности при этой гипотезе зависят от кратности собственных чисел [3]. Если все числа различные, то они имеют вид:
(5)
где К1, К2, К3 - количественные величины, определяющие указанные критерии пластичности.
Для решения исходной задачи рассмотрим два условия пластичности: одно, связанное с величиной 8 2:
1^2 | =
■<тх бш а + (7у соб а
= К2 , ({о ~ С0П^ 5
(6)
другое, связанное с величиной 8 :
\ = 42тху = К^, Сз _ сода/1
3' ^з
(7)
Отметим, что в случае а = я/4 условие (6) переходит в условие типа условия Треска:
= 42К,
другое связано со скольжением вдоль координатных плоскостей. Добавляя к критериям пластичности (6), (7) уравнения равновесия
Эсг.
'ху
дх дт
ху
ду да,
дх ду
0, 0,
получаем в том и другом случаях статистически определимые задачи. В первом случае характеристики и соотношения на них имеют вид: для одного семейства:
dy
dx
= -^а, (ту + т^ 4^а = const,
(8)
для другого:
dy
dx
= (Ту - т 4*ё<* = соп
Напряжение о
вычисляется из (6), при этом
о- =±-
К,
х sin а у
+ (Jvctga.
(10)
Во втором случае имеем следующие выражения
Кг
= f(y\ о-у = (р(х\
(11)
где /, (р - некоторые функции координат у, х соответственно (характеристиками здесь являются линии у = const, л- = const.
Обратимся теперь к постановке и решению задачи. Имеем рис. 2, где в виде отрезка OD изображен отвал, наклоненный к оси абсцисс под углом у/.
о
Рис. 2. Отвал OD и пластические зоны среды AOB и BOD при сдвиге
Здесь же на этом рисунке в виде треугольника АОВ изображено поле характеристик, соответствующее уравнениям (8), (9). Прямые линии, параллельные осям координат Ох, Оу, отвечают характеристикам (11). На отрезке AD напряжения гп, равны нулю. Рассмотрим напряженное
состояние в треугольнике АОВ. Используя (8), (9), замечаем, что во всем треугольнике реализуется однородное напряженное состояние такое, что
К,
ау=0, т = 0, <гх=-^-, (12)
' sin а
где K2 - характеристика материала, имеющая положительное значение, знак минус указывает на то, что здесь происходит сжатие.
Рассмотрим линию ОВ. Обозначим угол, образуемый ОВ с осью Ох как X ■ Тогда косинус между нормалью к ОВ и осью Ох будет равен: cos(п,х) = - sin х, а косинус между нормалью и осью Оу будет следующим: cos(w, у) = cos ^ Запишем теперь третий закон Ньютона (сила действия равна силе противодействия) на линии OB. Имеем
о-+&тг + т+ с обг =-сг Бтг + т с об г,
х л ху л
-т+ БШ% + <У+ £05% = -т~ $т% + (Т~
ху ху ^у
где значком «+» отмечены величины точек среды левее линии ОВ, значком «-» - правее. В силу того, что слева от ОВ = ау = 0, то в итоге находим
соотношения
ху
4^а
ху
+ сг:
У
ху
Учитывая (12), (11), получаем, что во всем треугольнике ОВВ
К
2
бш а
42
фсЩа,
(13)
а в треугольнике ОВС
а
у\ос-
К3
42
(14)
С другой стороны в силу (11) в треугольнике ВСВ
(15)
то есть линия ВС является линией разрыва тангенциального к ней напряжения сту. Полученные напряжения (13)-(15) определяют предельную
горизонтальную и вертикальную силы, необходимые для сдвижения представленной на рис.2 массы первоначально анизотропной среды. Есть еще один случай, исследуемый в работе, когда отвал находится в пределах треугольника АОВ. Здесь также может быть получена предельная нагрузка в зависимости от свойств среды и коэффициента трения на контакте «порода-инструмент».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Качанов Л. М. Основы теории пластичности // М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1969. 420с.
2. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов / Справочник. Изд.2, перераб. и доп. 1980, 248 с.
3. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. 1984.-№2
X
© А. И. Чанышев, Л. Л. Ефименко, О. А. Лукьяшко, 2014
