CC BY
9
УДК 539.3
ОБ ОДНОЙ ОСОБЕННОСТИ ЗНАЧЕНИЙ РАБОТЫ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕНИЙ НА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ СМЕЩЕНИЯХ ПЛОЩАДКИ С ПРОИЗВОЛЬНО ВЫБРАННОЙ НОРМАЛЬЮ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, зам. директора по науке, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Лариса Леонидовна Ефименко
Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, тел. (383)224-27-31, e-mail: [email protected]
Ольга Анваровна Лукьяшко
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, инженер, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Рассматривается скалярное произведение вектора напряжений Коши и вектора приращений деформаций Коши на одной и той же площадке. Показано, что производимая работа этих усилий на относительных смещениях на всех площадках за исключением равнонаклон-ных к главным осям тензора напряжений площадок зависит от пути нагружения даже в случае упругости.
Ключевые слова: вектор напряжений Коши, вектор деформаций Коши, работа на площадке, история нагружений, равнонаклонные площадки.
A FEATURE OF WORK DONE BY STRESS VECTOR ON RELATIVE DISPLACEMENTS IN AREA WITH ARBITRARILY CHOSEN NORMAL
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Larisa L. Efimenko
Novosibirsk State University of Economics and Management, 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamenskaya Str., Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate Professors at the Department of Higher Mathematics, tel. (383)224-27-31, e-mail: [email protected]
Olga A. Luk'yashko
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Engineer, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Under analysis is the dot product of the vector of Cauchy's stresses and the vector of increments in Cauchy's strains in the same area. It is shown that work done by these forces on relative displacements in all areas except for the areas equally inclined towards principal axes of the stress tensor depends on the loading path, even in elasticity.
Key words: vector of Cauchy's stresses, vector of Cauchy's strains, work done in area, history of loading, equally inclined areas.
Рассматривается прямоугольная декартова система координат х, у, г и в ней два тензора Та и Т£ {Та - тензор напряжений, Т£- тензор деформаций ). Предполагается, что они связаны законом Гука в виде
Т =В--Т
е ^ а
где В - тензор четвертого ранга упругих податливостей. Из этих тензоров можно составить скалярное произведение
Га,
где с1Те- дифференциал тензора Т£. При этом можно вычислить интеграл при изменении напряжений а у от какого-то состояния (М) до состояния (N). Как
результат получается внутренняя энергия деформирования тела в виде произведения
1 1 А 2 2 2
2аи£и =2 ^ +
+( N)
, , (1)
(М)
где Л1,Л2,...,Л6 - собственные числа тензора упругих податливостей;
- координаты Та в собственном тензорном базисе [1,2].
Как следует из (1), эта энергия не зависит от пути изменения напряжений при переходе из состояния (М) в (Ы), зависит только от начальных и конечных значений напряжений, что определяется известной симметрией тензора В. Представляет интерес вопрос: а что при этом происходит на площадках с нормалью п ? Оказывается, что работа вектора напряжений рп на площадке на изменениях вектора деформаций дп не является в общем случае потенциальной, зависит от пути изменения напряжений а у при переходе из состояния (М) в состояние (Ы). Покажем это.
Рассмотрим произвольную площадку с нормалью п и на ней два вектора: вектор напряжений рп и вектор деформаций дп, при этом
Рп = > 4п = ,
где е^ - орты системы координат, п^ - направляющие косинусы п. Далее пойдем по упрощенной ситуации. Будем считать, что оси тензоров Та и Т£ совпадают, дальнейшее рассмотрение будем вести в системе координат, связанной с главными осями этих тензоров. Пусть х1, х2, х3 -главные оси и е1, е2, е3 - их орты. Кроме п на площадках введем в рассмотрение базис, связанный с произвольной площадкой с нормалью п. Кроме п введем еще два единичных вектора 1Х и г2 на этой площадке, ортогональных между собой и с п:
(1-И! )е1 -щп2ё2 -пхпъёъ
V1- «1
¿2 =
А/1"«!2
(2)
Легко проверить, что в последовательности Г1? Г2, п данные векторы образуют правую тройку векторов (в этом случае смешанное произведение равно +1). Находим проекции вектора напряжений рп на эти орты. Обозначая их собственно как тът2, получаем
2 2 (СГ! -СГ2>72 +(сг1-сг3)п3
V1" «1
«15 Г2
(,а2-а3)п2п3
V1" «1
(3)
Далее используем закон Гука, который в главных осях тензоров Та и Т!: имеет вид:
е1 = I"! - у(сг2 + сг3)] г?2 = |-2 - + сг3)] = ^ |-3 - Ко"! + <72) > (4)
Е
Е
Е
где Е- модуль Юнга материала, V - коэффициент Пуассона. Если вектор напряжений рп в базисе Г2, п имел координаты т1? г2, стп, определяемые (3) и выражением
(5)
то для вектора с]п аналогичные координаты обозначим как /2■> £п. С учетом (4) легко видеть, что
2 2
--п\=—' ^2=-— = — , (5)
2ц
\-п{
2ц
где 2ц = Е/(\ + у).
2 2 2
Для выражения координаты £п = б1п1 + в2п2 + б3п3 через координаты вектора рп необходимы связи с^, сг2, сг3 через т1,т2,сгп. На основе (3), (5) получаем
о~ I
1- п;
«1
-т1+с7п,
сг9 = -
1- п I2
п
^2 +
(6)
п
«2 ДА-«1
п
1 п2
«ЗЛ/1" «1
1
3
1
Подстановка (6) в (4) и далее в определение бп дает:
V (3^-1) и (п\-п\) 1-2V
Е
«1л/1 ~ «1
Е
«2 «3
■т2 +
Е
(7)
Вычисляя указанную работу, имеем
(ЛО (ЛО
А = \Рп ■ <Щп = 1(^1 +^2^2
(М) (М)
(8)
Отметим, что при получении (8) неявно предполагается, что в процессе на-гружения площадки с нормалью п главные оси тензоров Та, ТЕ остаются совпадающими и неподвижными. Однако этот факт не оказывает существенного влияния на конечный результат потому, что в общем случае кроме имеющейся правой части в (8) появится еще дополнительное слагаемое, связанное с поворотом самой площадки. Про работу (8) следует еще сказать то, что площадка с нормалью п может смещаться по нормали и по касательной, что определяется вектором . Здесь А характеризует работу усилий рп на относительных перемещениях самой площадки в предположении, что все ее точки за счет рп смещаются одинаково.
Анализируя (8), находим, что
(ЛО
V; (ЛО ат 1
(м)
(м)
(N) (м)
(ЛО 1
1*2^2 = —
(м)
А/и
т1
(N) (М)
Вычисляем третий интеграл в (8), с учетом (7) он равняется следующему выражению:
и =
у (3п1-\) 7
)<гп<Ь 1 +
Е
Щл! 1
п1 (М)
Е
«2 «3
1
п1 (М)
(Ю , 0 2
V , 1-2у ап }апЛт2+ п
Е 2
(N)
(М)
(9)
Основная его особенность состоит в том, что для вычисления первого и второго интегралов необходимо задавать в плоскостях (г1, стп), (т2, <7п) пути интегрирования или пути нагружения (они не известны, о них можно только догадываться). В зависимости от путей интегралы могут быть и положительными, и отрицательными, могут по модулю неограниченно возрастать для петлеобразных траекторий (рисунок).
п
п
Рис. Один из возможных путей нагружения площадки с нормалью п в плоскости ,<?„), ведущий к бесконечному значению работы
Придавать особое значение этим и подобным площадкам с заданием траектории нагружения нет смысла потому, что существуют такие площадки как равнонаклонные к осям х-^, х3, на которых зануляются коэффициенты при этих интегралах:
Зи, -1 = 0,
Щ = о.
При этом нет необходимости задавать и следить за путями интегрирования. Тогда работа А представляется здесь суммой
лЛ
2
Л
2// К
(Ю
см)
не зависящей от пути интегрирования или нагружения, при этом К = Е/{ 1 - 2у)
(сравни с (1)). Эти площадки определяются законом Гука, на этих площадках формулируются основные законы неупругого деформирования первоначально изотропных сред [3], не противоречащие экспериментальным данным [4].
Еще одно замечание, касающееся (9). Здесь щ Ф 0, п2 Ф 0, пъ Ф 0. В случае, если п2 = п3 = 0, то имеем главную площадку, нормальную орту ёл. В этом случае работа А на основании (4) равняется
(ЛО 1
А = [сг, с1ел = —
(М) ^
(N)
--[сьб/сг?--[сг^стт,,
(М) Р * У ' П {М) П (М)
(ЛО
у
(Ю
т.е. имеем опять ситуацию, связанную с заданием и слежением за путем интегрирования или нагружения уже в плоскостях (сг2, сг,), (а3, <Т|).
2
2
п
п
2
1
В случае = 0 получаем = <?,, Г2 = я3е2 ~«2^3 и тогда г, = О, =(Р2 ~°ъ)п2пъ-
Для компонент у2 вектора дп имеем /}=0, у2=т2! 2 ¡и. Далее находим
ПЪ______«2
= + Т2 — , = 0"« - Г2 — •
Отсюда
«2 «3
V 1 - V V (пI -nl)
£п =~т;ст1 +—^гС7п + —-
h h Ь п2щ
Составляя работу A, получаем
J A,-dqn == — т2 -- Jcrwi/cr1+-- \(jndT
1-у о-;
пыи 1 т ^ J^w"^ + П
(М) (М) Е (М) Е П2ПЪ (М) Е 2
(W)
(M)
Здесь опять имеем интегралы, требующие задания и слежения за путем интегрирования в плоскостях (CTj, ап), (т2, сг„).
Выводы.
Определена работа вектора напряжений Коши на произвольно-ориентированной площадке на изменениях вектора деформаций Коши. Показано, что только на равнонаклонных к главным осям тензора напряжений площадках эта работа не зависит от пути нагружения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Рыхлевский Я. К. О законе Гука // ПММ. — 1984. — Т. 48. — Вып. 3.
2. Чанышев А. И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. — 1984. — № 2
3. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. — 376 с.
4. Жуков А.М. Пластические деформации стали при сложном нагружении. - Изв. АН СССР, ОТН, 1954, №11, с. 53-61.
© А. И. Чанышев, Л. Л. Ефименко, О. А. Лукьяшко, 2016
