CC BY
17
УДК 539.374
СТРУКТУРА И ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, зам. директора по науке, тел. (383) 335-97-50, e-mail: [email protected]
Ольга Евгеньевна Белоусова
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат технических наук, научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Продольные и поперечные волны определяются через структуру среды. Для сред, подчиняющихся при упругом деформировании закону Гука, строится структура, состоящая из жестких недеформируемых частиц, то есть устанавливаются ориентации контактных площадок в зависимости от достигнутого напряженно-деформируемого состояния. Знание контактных площадок есть инструмент для отыскания направлений распространения продольных и поперечных волн. Решается также вопрос о распространении волн, движущихся в направлении приложенной нагрузки.
Ключевые слова: структура, площадка, нормаль, касательная, продольная и поперечная волны, стержневая волна.
STRUCTURE AND WAVES IN ELASTIC MEDIUM
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Olga E. Belousova
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Candidate of Engineering Sciences, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
P- and S-waves are determined in terms of the structure of a medium. For media obeying the Hooke law when deforming elastically, the authors compose a set-up of nondeformable particles, i.e. orientations of contact areas are determined depending on the steady-state stress-strain state. The knowledge on contact areas is a tool to find directions of P- and S-waves. In addition, the authors study the issue on propagation of waves in the direction of the applied load.
Key words: structure, area, normal, tangent, P- and S-waves, rod-shaped wave.
Традиционно считается, что если частицы колеблются в направлении распространения волны, то волна называется продольной, если частицы колеблются поперек распространению волны, то это соответствует поперечной волне.
Применим эти определения к распространению волн в упругой среде, подчиняющейся при деформировании закону Гука. Пусть к элементу среды при-
ложен тензор напряжений Та, который вызывает тензор деформации Т8 по закону Гука: ТЕ=В--Та, где 1) - тензор четвертого ранга упругих податливостей. Предполагаем, что механизм деформирования такой среды определяется гипотезой, согласно которой все материалы состоят из жестких недеформируемых частиц, которые соединяются друг с другом внутренними силами, например, силами межмолекулярного взаимодействия и внешними, например, поверхностными силами натяжения. Частицы действуют друг на друга через контактные площадки, межконтактное пространство при этом заполняется материалом, более ослабленным по жесткостным свойствам по сравнению с самими частицами.
По этой причине можно допустить, что при нормальном воздействии на частицы (перпендикулярно их контактной плоскости!) деформация системы «частицы - межблоковое пространство» произойдет по схеме, представленной на рис. 1а. (частицы остаются жесткими, при этом деформируется само пространство). Если приложенная нагрузка есть р и деформацию, направленную в ту же сторону, что и р, назвать д., то в силу сказанного выше можно записать, что
Я = Р/К, (1)
где К - определяет жесткость «пружин», расположенных между частицами (этот вид деформации связан с распространением продольных волн).
Рис. 1. Основные виды деформации элемента блочной среды
Другой вид деформации изображен на рис. 1б, он обусловлен приложением касательной нагрузки р , вызывающей изменение угла в направлении ее
действия или деформацию д = где и - смещение одной частицы относительно другой, Н - высота, характеризующая размер частиц. При этом в упругости
Ч=Р! 2-М, (2)
где 2¡л - жесткость сдвига. Простой сдвиг на рис. 16 связан с преодолением сил трения на контактной площадке [1].
По существу оба вида деформации (1) и (2) характеризуют контактную площадку и являются ее определением. Чтобы восстановить ориентацию площадки и соответственно направления распространений продольных и поперечных волн, необходимо исследовать закон сам Гука, привести его к видам (1) и
(2) одновременно. Покажем, как это возможно сделать для двухконстантного закона Гука. Пусть хг, х2, х3 - главные оси тензора напряжений Та. В главных осях закон Гука есть следующие выражения:
1 v v v <Jj v v V СГо £\ = —<7л--<Т9--СГо , =--<7л Л-----<7, £4 =--<7л--<7л H---, (3)
Е Е Е ЕЕЕ Е Е Е
где v - коэффициент Пуассона, E - модуль Юнга.
Далее рассматривается произвольная площадка с нормалью п и вектор напряжений р на ней: р = + <т2/?2е2 + ■> где п\-> !Ь ~ направляющие косинусы нормали n, ex, e2, e3 - орты. Аналогично находится вектор деформаций q: q = s^n^ + s2n2e2 + £зпз^з ■ На площадке с нормалью Я устанавливается ортонормированный и ортогональный базис n, tx, t2 :
г> -(г, г, г, Л 7 _ (1-^1 -ЩП^-ЩП^ 7 _П2ё2-П1ё3 п\ -\пЪп2->пЪ) ■> l\ ~ I-т > l2 ~ I-г •
Координаты векторов p и q в этом базисе есть следующие выражения:
2 2
г -стп2+стп2+стп2 Т -g-з_(С72-С73)п2п3 Tn~(Jlnl +<J2n2 +<J2n2-> T\- I-7 пЪ T2~ I-7 глл
VI "И? V1"«! (4)
Подстановка (3) в (4) приводит к тому, что величины ух, у2 оказываются всегда пропорциональными г1; т2, причем коэффициент пропорциональности 2// = /:'/(! + к), то есть ^ = г,/2//, у, = г2/2/./. Другими словами, сдвиговая деформация, характеризуемая вектором = г,/, + г2/*2, пропорциональна сдвиговому вектору = г,/*, + г/2 на всех без исключения площадках, нормальная составляющая 8п связана с ип формулой
2 2 2
Ещ^Х-п2 Еп2п3^\-п2 Е Для независимости £п от стп необходимо и достаточно, чтобы
3«!2-1 = 0, п1 -«з2 =0. (6)
В сочетании с тем, что |я| = 1, имеем отсюда
пх =±1/л/3, я2 =±1/л/3, «з =±]/л/з. (7)
Тогда составляющая вектора деформации д в направлении п действительно будет пропорциональна аналогичной составляющей вектора р с коэффициентом пропорциональности
К = Е/(\-2У). (8)
Несколько слов о скоростях волн. Из (7) находим, что структуру среды с законом упругости в виде (3) определяют равнонаклонные к осям х1, х2, х3 площадки, в направлении нормали к которым происходят деформации простого удлинения, в плоскости контакта - деформации простого сдвига.
Возьмем любое из направлений, определяемых (7), и уравнение равнове-
дсгп д2и сия вдоль него: —- = р
дп ' дг1
Подставляя сюда зависимость <уп = Кеп = К дип /дп, получаем
д ип = рд ип
дп2 К Ы1 ' К )
Это означает, что скорость продольной волны будет следующей
У1=4Щ> = ^ЕКР(\-2У)). (10)
Другую скорость получаем, рассматривая уравнение равновесия: - р" , где / - координата точки в касательной плоскости. Поставляя сю-
дтп _ рд1 и
дп а?2
1 (дип диЛ
да соотношение тп = 2руп =2р— —-л--L в предположении, что ип= 0, по-
2 \ д1 дп )
лучаем скорость распространения поперечной волны:
У2=^ = ^Е/(2р(\ + у)), (11)
связанной с изменением касательного смещения и1 вдоль нормали п .
Рассмотрим теперь другие скорости, вытекающие из закона Гука (3) и его представления в виде:
(\-у)Е уЕ
СГ| =-----£л Л--(£7 +Б-1), <Т9 = ..., СГо = ... . (12)
1 (1 + у)(\ - 2у) 1 (1 + у)(\ - 2у) 2 3 2 3
Если в процессе нагружения выполняются условия: сг2 =сг3 =0, то из (3) следует, что
£1 =СУ11Е, £2 =£3=-УСГ1/Е. 95
дстл д2щ
- р—, что полу-
Это означает на основании уравнения равновесия
дх1 ' д!
чаем скорость распространения волны есть У3 = ^Е/р , справедливую для рас пространения волн в стержнях. Если в процессе нагружения £2=£3=0 (стес ненный вид деформации), то тогда из (12) находится другая скорость распро странения волны (вдоль первого главного направления) в виде
У4 =
(1 -у)Е
{\ + у){\-2у)р
(14)
Напряжения сг2, сг3 при этом не могут быть произвольными, они связаны с <Т| зависимостями сг3 = сг2 = 1/сг1/(1 - у).
Замечание. Скорость (14) традиционно называется продольной скоростью распространения волны. По смыслу логично называть продольной скоростью формулу (10), характеризующую колебания частиц вдоль направления распространения волны.
Представим теперь случай, когда производится осевое (динамическое) нагружение по полупространству (полуплоскости). На рис. 2 представлена система координат, составленная из главных осей тензора Iа, в этом случае показаны равнонаклонные к осям площадки.
J 1 1 Х2
/ л лл
Рис. 2. Иллюстрация полупространства с направлениями распространения волн
По нормали к ним в соответствии с изложенным должны распространяться продольные волны со скоростью V, также вдоль этих направлений должны распространяться поперечные волны со скоростью У2. Это видно из разложения тензора Та по собственному базису рассматриваемого закона Гука [2,3]:
ООО 0 <т2 0 ООО
^л/э 0 0 1/л/3
0 0
V
0
0 1/л/3
2<Тп
л/б
■1/76 0 0 0 2/л/б 0
0 0 -1Д/6
Рассматривая первое слагаемое в (15) справа, видим, что во всех главных направлениях действуют одни и те же нагрузки (равные по величине сг2/3), которые в тех же самых направлениях вызывают деформации, равные по величине б = + ¿2 + ¿з/З, модуль пропорциональности здесь один и тот же, равный
модулю К .Получается так, что по всем трем главным направлениям бегут волны со скоростями V, на самом деле они являются проекциями результирующего движения, происходящего в направлении нормали к равнонаклонным площадкам. То же самое можно сказать и про второе слагаемое в (16) - здесь результирующее движение также представляет собой движение по нормали к этим площадкам на счет колебаний частиц поперек к ним.
Вывод: по закону Гука восстановлена структура среды, состоящая из частиц - блоков, в соответствии с которой устанавливаются направления продольных и поперечных волн.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чанышев А.И. Механическая модель упруго пластического тела // ПМТФ. 1989. -№ 5. - С. 380-391.
2. Рыхлевский Я. О законе Гука // ПММ. - 1984. - Т. 48. - Вып. 3. - С. 420-435.
3. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. 1984. - № 2. -С. 149-151.
© А. И. Чанышев, О. Е. Белоусова, 2016
