Численно-аналитическое исследование влияния неоднородностей среды на процессы сжатия при статическом и динамическом нагружениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ СРЕДЫ НА ПРОЦЕССЫ СЖАТИЯ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ И ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИЯХ

Анвар Исмагилович Чанышев

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Ольга Евгеньевна Белоусова

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат технических наук, научный сотрудник лаборатории разрушения горных пород, тел. (383) 335-97-50, e-mail: belousova_o@ngs.ru

Неоднородность среды проявляется во многих компонентах и в том числе в значениях модулей Юнга, коэффициенте Пуассона, модуле сдвига. В работе решается вопрос о проявлении неоднородностей в таких простейших задачах как сжатие стержня в статической и динамической постановках. Исследуется вопрос: каков средний модуль Юнга в статике и каким он будет в случае прохождения волн?

Ключевые слова: неоднородность, сжатие, стержень, модуль Юнга, модуль сдвига, статика, динамика.

COMPUTATIONAL AND ANALYTICAL STUDY OF THE EFFECT OF HETEROGENEITY ON THE STATIC AND DYNAMIC COMPRESSION OF A MEDIUM

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Physics and Mathematics, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Olga E. Belousova

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, PhD Eng, Researcher, Rock Failure Laboratory, tel. (383)335-97-50, e-mail: belousova_o@ngs.ru

Heterogeneity of a medium makes itself felt in many factors, including Young’s modulus, Poisson’s ratio and shear modulus. The article deals with the task of including the medium heterogeneity in the simplest problems on the static and dynamic compression of a rod. The question is: What is the average Young modulus in static condition and in case of wave propagation?

Key words: heterogeneity, compression, rod, Young’s modulus, shear modulus, statics, dynamics.

Известно, что при однородном нагружении образцов различных сред на их поверхностях обнаруживаются линии или полосы локализации деформаций Чернова-Людерса. Линии определяются блочной структурой среды, блоки имеют ориентированные контактные площадки, имеют размеры. Существует множество работ (например, [1-8]), посвященных описанию блочной структуры в теоретических построениях. В то же время появилось множество экспериментальных работ (например, [9,10]), основной результат которых -

однородного деформирования однородно нагружаемых образцов не существует. Вывод из этих работ [1-10] таков: все тела неоднородны по строению, проявлениями неоднородностей являются блочная структура и неоднородный характер деформирования (даже при однородном нагружении).

Цель данной работы - определить как, например, «неоднородный» модуль Юнга скажется на макроповедении образца из такой среды при статическом и динамическом сжатии? Будет ли существовать какая-то связь между макрохарактеристиками образца, полученными при статическом нагружении, с характеристиками (скорость распространения волн), полученными в динамике?

Рассматривается следующая упрощенная ситуация. Имеется некоторый стержень с постоянным сечением по длине, пусть для него модуль Юнга имеет распределение

Е = Е 0 + Е1Бт ах, (1)

где Е0, Е1,а - заданные числа, х - координата. Очевидно, что модуль Юнга Е имеет максимальное значение в точках с координатами

X = —

а

---ь 2пк

2

к е Z

V2 У

минимальные значения Е находятся в точках с координатами

1 ( п^9 Л

X = — ь 2пк

а V 2

к е Z

Em = 1 f |Еп +Ei sin — x dx = ЕП —— [cos пп -11, cp L iV 0 1 L У пп

V 2 У

Таким образом стержень можно трактовать как бы состоящим из некоторых элементов с максимальной жесткостью Е = Е 0 +Е1, разделенных прослойками с минимальной жесткостью Е = Е 0 -Е1, длина блоков здесь

/ 2п ^

определяется через параметр а: l = —. Легко видеть, что среднее значение

а

модуля Юнга для стержня длины L = nl /2 (п число полуволн) есть

л

X

У

что означает стремление Е cp к Е 0 при п ^ го.

Пусть стержень грузится статически. Для определения его состояния имеем уравнение равновесия, закон Гука, соотношения Коши.

Граничные условия возьмем в виде:

и\ x=0 = 0, ах\ x=L = -а0 . (2)

Из указанных уравнений и (2) следует, что напряжение ох можно считать константой: <7х = -а0, для определения смещения и имеется уравнение:

du (3)

Е0 + Е sin ах dx

которое при интегрировании при условии (2) и того, что < |Е0| , дает

значение

ыЕп

2

а

2

а

г& — х

V 2 у

І

Еі

Е'

аг^

Е

Е

о

і - Е

Е2

2

(4)

УУ

(4) - решение для статического сжатия стержня. Оно сложным образом зависит от Е1 и Е0, в то же время при а ^ 0 левая его часть стремится к X. На рис.1 показана зависимость относительного смещения слева в (4) от х.

—иЕо

°0

і

ь

— иЕо

Рис. 1. Зависимость смещения-------от координаты X.

^0

Линия 1 соответствует Е1 = 0, линии 2 и 3 соответствуют значению Е1 = 0,9 Е0, для линии 2- п = 5, для линии 3 - п = 50 Видно, что модуль Юнга, определяемый величиной Е0/к , где к -

—ыЕсл

отношение относительного смещения -------------0 в точке х к значению х ,

^0

уменьшается с ростом отношения Е1/Е0. Так для Е1/Е0 = 0,9 значение модуля Юнга в 2,5 раза меньше, чем для Е1/Е0 = 0. Этот факт должен отразится в динамике - скорость движения продольной волны в неоднородном стержне должна быть меньше, чем в однородном с модулем Юнга Е0.

Далее исследуем динамическое сжатие стержня, при этом основное внимание обращается на скорость распространения волны от параметров 1 = V Е0 и п . Для решения задачи введены безразмерные величины:

г =

Е° г безразмерное время, безразмерная координата ~ = х/Ь .

р(х) Ь

Уравнение равновесия переписывается в виде:

д и

(і + 7БІИ(П ЖХ))-д-и + 7ПЖС0Б(пЖХ) — = —^

У 'д Х 2 д Х дХ 2

Данное уравнение решалось методом конечных разностей по явной схеме. Поскольку скорость волны зависит от х , то шаг по времени в расчетах соответствовал минимальному значению скорости движения волны.

Начальные условия для стержня нулевые. В момент г = 0 к левому концу стержня подавался импульс. Рассматривался момент прихода возмущения в правый конец. Результаты расчетов представлены на рис. 2. Здесь сплошной линией отмечена зависимость скорости V от % при п = 5 , пунктирной при п = 30. Видно, что скорость распространения волны при % = 0,9 почти в два раза меньше, чем при % = 0,1.

V

0,2 0,4 0,6 0,8 1

X

Рис. 2. Зависимость скорости V от % при п = 5, пунктирная при п = 30

На рис. 3 показана зависимость относительного смещения

иЕ„

от

количества шагов по координате и от количества полуволн в разные моменты времени (здесь нет отражения волны от противоположного края стержня).

0

— иЕц

Рис. 3. Зависимость смещений----------от количества шагов по координате

^0

і (от 0 до 100) и от количества полуволн п (от 1 до 30) в разные моменты времени. Первый раз до конца стержня волна приходит в момент времени 300

Из рассмотренных примеров можно заключить, что неоднородность среды влияет на значения макрохарактеристик среды, в большей степени они зависят от различия в свойствах блоков и прослоек.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Христианович С.А. Деформация упрчняющегося пластического материала, Известия Российской академии наук, Механика твердого тела, 1974, № 2.

2. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной, Известия Российской академии наук, Механика твердого тела, 1967, № 4.

3. Райс Дж. Р. Локализация пластической деформации. - В кн.:Теоретическая и прикладная механика. Пер.с англ./Под ред.В.Койтера. - М.: Мир, 1979.

4 .Rudnicki J.W., Rice J.R. J.Mech and Phys.Solids, 1975, v.23.

5. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды, Прикладная математика и механика, 1971, Т. 35, № 6.

6. Чанышев А.И.Механическая модель упруго пластического тела. (статья) ПМТФ. - 1989-№5

7. Сарайкин В. А. Учет упругих свойств блоков в низкочастотной составляющей волны возмущений, распространяющейся в двумерной среде // ФТПРПИ. — 2009. — № 3.

8. Александрова Н. И., Шер Е. Н. Моделирование процесса распространения волн в блочных средах // ФТПРПИ. — 2004. — № 6.

9. Шляхова Г.В., Баранникова С.А., Зуев Л.Б., Косинов Д.А. Локализация пластической деформации в монокристаллах легированного у - железа при электролитическом насыщении водородом, Известия высших учебных заведений, Черная металлургия, 2013, № 8.

10. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Баранникова С.А. Физика макролокализации пластического течения, Новосибирск, «Наука», 2008г.

© А. И. Чанышев, О. Е. Белоусова, 2014