Определение модуля Юнга тонких пластин и стержней с помощью колебательной системы с присоединенной массой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.7; 620.17.081

В. Д. Кревчик, А. В. Рудин, С. В. Кочкин

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ТОНКИХ ПЛАСТИН И СТЕРЖНЕЙ С ПОМОЩЬЮ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАССОЙ

Аннотация. Описываются оригинальная методика и конструктивные особенности измерительной установки для определения модуля Юнга тонких пластин и цилиндрических стержней методом измерения частоты собственных колебаний колебательной системы с присоединенной массой, образованной из исследуемого образца и дополнительного груза заданной массы. Предлагаемый метод наиболее оптимален для реализации, поскольку он не требует дорогостоящего оборудования, прост в осуществлении и позволяет оперативно и с высокой точностью определять собственные частоты и рассчитать модуль упругости исследуемых образцов. Относительная погрешность измерения модуля нормальной упругости для типичного образца по предлагаемой методике не превышает 2,0 %. Для проверки достоверности определения модуля Юнга на описанной установке были проведены калибровочные измерения частот собственных колебаний опытных образцов с известным химическим составом. Полученные значения модуля Юнга для всех исследованных образцов с точностью до 4 % соответствуют табличным значениям.

Ключевые слова: методика, измерительная установка, модуль Юнга, колебательная система, присоединенная масса, линейная зависимость, тонкая пластина, цилиндрический стержень.

V. D. Krevchik, A. V. Rudin, S. V. Kochkin

DETERMINATION OF THE YOUNG'S MODULUS FOR THIN PLATES AND RODS BY VIBRATING SYSTEM WITH THE ASSOCIATED MASS

Abstract. The article describes and original method and constructive specifications of a measuring apparatus for determination of the Young’s modulus for thin plates and cylindrical rods by the method of measuring the oscillation frequency of the vibrating system with the associated mass, consisting of the sample under investigation and the an additional weight of certain mass. The suggested method the most optimal for realization due to the lack of need of expensive equipment, simplicity of implementation, operability and high precision of own frequencies determination and calculation investigated sample’s modulus of elasticity. The relative error in measuring the modulus of normal elasticity of a typical sample according to the suggested method does not exceed 2,0 %. In order to check the reliability of Young’s modulus determination using the said apparatus the authors conducted calibrating measurement of own oscillations frequencies of the prototypes of certain chemical compound. The obtained values of Young’s modulus for all investigated samples match the tabular values with up to 4% of accuracy.

Key words: methodology, design features, Young's modulus, vibrating system, associated mass, linear dependence, thin plate, cylindrical rod.

Введение

Из всех свойств, которыми обладают твердые тела, наиболее характерными являются механические свойства - прочность, твердость, пластичность, износостойкость и др. Именно благодаря этим свойствам твердые тела получили столь широкое практическое применение в качестве конструкционных, строительных, электротехнических, магнитных и других материалов, без которых немыслимо развитие машиностроительного производства. Влияние химического состава твердых тел на комплекс механических свойств можно достоверно оценить только при помощи специальных приборов и методов измерений упругих параметров. Упругое поведение твердых тел характеризуют упругие параметры. Они являются определяющими при отборе материала для конкретных целей. Поэтому их изучение очень важно как в теоретическом аспекте, так и в современном машиностроении.

1. Методы определения упругих параметров твердых тел

В настоящее время существует большое количество методов определения упругих параметров твердых тел. Экспериментальные методы определения модулей упругости можно разделить на две группы - статические и динамические [1].

Статические методы основаны на измерении напряжения и деформации. В настоящее время эти методы практически не применяются из-за невысокой точности.

Динамические методы дифференцируются на две основные группы: резонансные, в которых в образцах возбуждают продольные или поперечные собственные колебания, и импульсные, в которых упругая деформация возбуждается при прохождении через образец звуковой волны.

В лабораторной практике наиболее предпочтительными являются резонансные методы [2]. В резонансных методах в стержневых или плоских образцах длиной I и плотностью р с помощью пьезоэлектрических или магни-тострикционных систем возбуждают собственные продольные или изгибные колебания частотой / от 10 Гц до 25 кГц. По резонансной частоте / собственных колебаний рассчитывают модуль нормальной упругости Е (модуль Юнга) по известным выражениям [2, 3]:

А

Е = 4р£2/2 ; Е = с Р-г /2. (1)

И2

Недостатки резонансных методов обусловлены возбуждением в исследуемом образце нескольких резонансных гармоник, которые ошибочно принимаются за собственные частоты колебаний образца, а также резонансными свойствами источника колебаний, которые сложно учесть во время измерений. Резонансные методы на изгибных колебаниях также имеют ряд недостатков, обусловленных негармоническим характером вынужденных колебаний исследуемого образца на высоких частотах, резонансными гармониками вибратора, а также чисто визуальным способом регистрации условия резонанса образца, который определяется амплитудным методом, погрешность которого составляет 10 %.

2. Описание измерительной установки

В данной работе описываются оригинальная методика и конструктивные особенности измерительной установки для определения модуля Юнга тонких пластин и цилиндрических стержней методом измерения частоты собственных колебаний колебательной системы с присоединенной массой, образованной из исследуемого образца и дополнительного груза заданной массы. Предлагаемый метод наиболее оптимален для реализации, поскольку он не требует дорогостоящего оборудования, прост в осуществлении и позволяет оперативно и с высокой точностью определить собственные частоты и тем самым рассчитать модуль упругости исследуемых образцов. Прототипом предлагаемой измерительной установки является конструкция измерительной установки [4]. В качестве образцов используются металлические прямоугольные пластины длиной 100-300 мм, шириной 5-30 мм, толщиной 0,15-1,5 мм и тонкие цилиндрические стержни диаметром 0,5-1,5 мм, длиной 100300 мм.

Конструкция камеры-держателя приведена на рис. 1, а блок-схема экспериментальной установки - на рис. 2.

2

1

-------------------------0 Вых

Рис. 1. Конструкция камеры-держателя

Камера-держатель образована массивным опорным цилиндром 1, снабженным осевым каналом, через который вставляется изолированный от камеры токоввод 2. В верхней торцевой части камеры имеется цилиндрическое углубление, в которое вставляются электроизолирующая шайба 3, тонкий токопроводящий металлический диск 4 и датчик механических колебаний 5. В качестве датчика колебаний используется дисковый керамический пьезоэлектрический преобразователь (ВаТЮ3) с резонансной частотой от 4 до 7 МГц. Акустический контакт датчика 5 с исследуемым образцом 8 осуществляется через ступенчатую металлическую крышку 7, которая закрепляется с помощью прижимных болтов 6, снабженных спиральными пружинами,

предназначенными для исключения критической деформации и механического разрушения датчика.

Рис. 2. Блок-схема экспериментальной установки

Электрический контакт датчика 5 с электронным блоком осуществляется через коаксиальный ВЧ-кабель типа СР-50. Исследуемый образец 8 в виде тонкого длинного стержня или тонкой прямоугольной пластины закрепляется в зазоре между металлической крышкой 7 и прижимной ступенчатой цилиндрической крышкой 9, которая привинчивается к опорному цилиндру 1 с помощью прижимных болтов 10. Дополнительный груз 11 массой т0 выполнен в виде короткого цилиндра с боковой прорезью, в которую вставляется верхний свободный конец исследуемого образца. Положение дополнительного груза 11 на свободном конце образца фиксируется с помощью прижимного винта 12.

Предлагаемая конструкция камеры-держателя обеспечивает надежный акустический контакт датчика с исследуемым образцом и электрическую экранировку от внешних электромагнитных полей и механических воздействий, что существенно повышает чувствительность датчика. Периодические колебания, близкие к гармоническим, образуются в результате однократного отклонения свободного конца исследуемого образца от положения устойчивого равновесия. Дополнительный груз на свободном конце образца значительно снижает частоту собственных колебаний, повышает добротность колебательной системы и приближает колебания к гармоническим, что в конечном счете повышает точность измерений модуля Юнга исследуемых образцов.

3. Вывод рабочей формулы для определения модуля Юнга

Рассмотрим макет колебательной системы (рис. 3), образованной горизонтально расположенной тонкой упругой прямоугольной пластиной, плотностью р, длиной I, шириной а и толщиной И. Нижний конец пластины

жестко закреплен в массивной опоре.

В верхней точке свободного конца пластины закреплен дополнительный груз массой т0. Обозначим отклонение верхнего конца пластины от положения устойчивого равновесия через х. Запишем уравнение динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось Ох:

M = J є,

здесь

J = Jg + Jп ; M = —F - І:

dt2

'П

(2)

(З)

где М - модуль момента силы; J - момент инерции колебательной системы; Jп, Jo - момент инерции пластины и дополнительного груза соответ-

ственно относительно точки закрепления пластины; е - угловое ускорение колебательной системы; ф - угол отклонения пластины; Е - модуль силы, приложенной к свободному концу пластины.

Рис. 3. Макет колебательной системы

С учетом выражений (3) уравнение (2) примет вид

&2фф + —Е—- = 0. (4)

& —0 + —П

X

При малых значениях ф ^ 0 имеем ф — у , где х = 1 - величина прогиба пластины, которая определяется по известной формуле стрелы прогиба однородной балки [4]:

4Е /3 Рак3

Х = 4Е^-, тогда Е = Еа-1. (5)

Еак3 413

Подставляя (5) в выражение (4) и полагая, что при малых деформациях величина прогиба пластины пропорциональна углу отклонения пластины, т.е.

1 — I ф, получим

&2ф+ , Еак ' -ф=0. (6)

& 4((0 + —П )у

Полученное уравнение представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Момент сил трения и сопротивления при колебаниях пластины много меньше момента возвращающей силы, поэтому в уравнении (6) не учитывается. Из сравнения уравнения (6) с уравнением гармонического осциллятора [5] находим квадрат циклической частоты собственных колебаний пластины:

2 1 Еак3

«2 =---------------------------------------------, (7)

0 4 (— + —п К

2 1 2

где о>о = 2п/ , J = Jo + Jп = т0^0 +~ ті , / - частота колебаний, т = 1-1,

т - линейная плотность исследуемого образца.

Решая уравнение (7) относительно величины Е, окончательно находим

для данной установки при колебательном движении прямоугольной тонкой пластины. Тогда формула для расчета модуля Юнга окончательно примет вид

Полученная формула в точности совпадает с эмпирическим выражением (1) для модуля Юнга, определяемого по методике А. В. Панова [3].

Аналогичные расчеты для цилиндрического однородного стержня дают следующее выражение для модуля Юнга:

Порядок определения собственной частоты колебаний исследуемого образца следующий. Один конец исследуемого образца закрепляется между зажимом и крышкой пьезопреобразователя (см. рис. 1). Свободный конец образца приводится в свободное колебательное движение посредством его однократного отклонения от равновесного горизонтального положения. Полученные таким образом свободные (собственные) механические колебания исследуемого образца [3, 5] через прижимную металлическую крышку 7 воздействуют на пьезопреобразователь 5, который за счет прямого пьезоэлектрического эффекта преобразует механические колебания в электрические, которые затем через токоввод, ВЧ-разъем и коаксиальный кабель подаются на вход электронного усилителя. Электронный усилитель охвачен отрицательной обратной связью - системой автоматической регулировки усиления, которая позволяет получить на выходе слабо изменяющиеся по амплитуде синусоидальные сигналы электрических колебаний до необходимого уровня (—0,1 В), которые затем подаются на вход электронного осциллографа-мультиметра типа ОМЦ-20 (см. рис. 2). На экране осциллографа наблюдается непрерывная синусоида с монотонно убывающей амплитудой. Регулируя болтами 10 силу прижима образца к крышке 7, необходимо добиться, чтобы

E 16п2

E =------

(8)

3

При то = 0 и полагая, что масса пластины т = р^П = ріак, получим

3 h2

(9)

2

Введем обозначение 16п /3 = с, где с = 52,58 - постоянная величина

(Ю)

(11)

2

Здесь значение константы с = 64 п /9 = 89,3 (ё - диаметр стержня).

4. Порядок проведения измерений

полученная кривая была максимально приближена к синусоидальной. Кнопкой горизонтальной развертки осциллографа надо установить необходимую длительность развертки, обеспечивающей визуальное наблюдение отдельных синусоидальных колебаний на экране осциллографа. Электронный осциллограф снабжен блоком электронной памяти и частотомером, что позволяет фиксировать на экране синусоидальные колебания образца и отсчет частоты в цифровой форме. После получения устойчивой осциллограммы электрических колебаний на экране осциллографа осциллограмма фиксируется кнопкой «память», и осуществляется считывание величины частоты синусоидальных собственных колебаний образца в цифровой форме непосредственно с экрана осциллографа. Для нормальной работы осциллографа-мультиметра необходимо, чтобы изменение амплитуды сигнала в процессе измерения не превышало —10 %, а длительность установившегося режима колебаний содержала не менее десяти колебаний. Измерения частоты проводятся не менее 10 раз.

5. Оценка погрешности экспериментальных измерений

Относительная погрешность измерения модуля нормальной упругости исследуемого образца рассчитывалась по известной методике: = ЛЕ / Е,

где величину Е с учетом формул (7), (8) и (10) можно переписать в виде

г2

E - cJ

ah3

(11)

тогда

eE -

" f+fJ ?+[ As. f+f зAh '2

+

f 2 Af * . f.

(12)

где величину относительной погрешности момента инерции колебательной системы можно рассчитать по упрощенной формуле:

e j

AJ

J

2A£

~T

(13)

Действительно, выражение для момента инерции колебательной системы (см. выражение (7)) можно упростить, принимая во внимание, что относительная погрешность измерения массы дополнительного груза и линейной плотности исследуемого образца почти на порядок меньше относительной погрешности измерения остальных величин, т. е.

m0 + 3 т 1 £2 - к£2

(14)

Здесь величины 10 и I приблизительно равны, а к - постоянная величина. Тогда выражение (12) окончательно примет вид

5|" ]2 + f Aa I2 f з Ah 12+f

a

2 f f

2

(15)

Геометрические параметры типичных исследуемых образцов соответственно равны:

I = 150 мм; а = 15 мм ; к = 1,0 мм .

Абсолютные погрешности измерений геометрических параметров исследуемых образцов - длины, ширины и толщины пластины - соответственно равны:

Д1 = 0,5 мм ; Да = 0,05 мм ; Дк = 0,005 мм .

Типичное значение частоты собственных колебаний и абсолютная погрешность измерений частоты для исследуемых образцов соответственно равны:

Уср = 10 Гц; Лу = 0,05 Гц .

Подставляя найденные значения абсолютных погрешностей измерений геометрических параметров и частоты в (15), для величины относительной погрешности измерения модуля Юнга получим

51 0512+Г 00512+Г 30005 ?+Г 20,0512 = 1,9840-2.

еЕ =-11 11 11 11

Е ' 150) У 15 ) У 1 ) У 10

или в процентах:

ер % -1,98 %.

Таким образом, относительная погрешность измерения модуля нормальной упругости для типичного образца вышеописанным методом не превышает 2,0 %.

Для проверки достоверности определения модуля Юнга на описанной установке были проведены калибровочные измерения частот собственных колебаний опытных образцов с известным химическим составом - медного (МС) и алюминиевого стержней (АС), стальной (СП) и алюминиевой пластин (АП) в зависимости от длины образцов, а также от массы присоединенного груза. Результаты измерений приведены в табл. 1.

Таблица 1

І, мм a, мм h, d, мм т, г/мм mo, г І0, мм f Гц E, 109 Па

МС1 150 - 1,67 0,0213 11,82 148 8,97 117,59

АС2 150 - 1,65 0,0062 11,82 148 6,7 64,71

АП3 140 20,55 0,95 0,0496 63,54 146 6,74 79,28

СП1 100 14,6 0,45 0,0499 11,82 98 11,64 207,97

Полученные значения модуля Юнга для всех исследованных образцов с точностью до 4 % соответствуют табличным значениям [2, 3]. Данное отклонение, очевидно, обусловлено отклонением химического состава материалов исследованных образцов от химического состава эталонных материалов.

На рис. 4 показана графическая зависимость частоты собственных колебаний образца СП1 - прямоугольной пластины, изготовленной из трансформаторной стали от квадрата обратной длины исследуемой пластины.

/;Гц 1412108642-

0,0 2,0x10’5 4,0x10"5 6,0x10"5 8,0х10'5 1,0х10'4 1/1 1/“2

Рис. 4. Зависимость частоты собственных колебаний образца от квадрата обратной длины

Как видно из рис. 4, частота собственных колебаний исследуемой пластины СП1 линейно изменяется от квадрата обратной длины образца. Отклонение отдельных значений частоты от линейной зависимости не превышает

0.1.Гц, что составляет 1,25 %. Полученная линейная зависимость подтверждает справедливость выведенных аналитических выражений (8) и (10) для расчета модуля Юнга и коррелирует с аналогичными выражениями других авторов [2, 3].

Список литературы

1. Гуртов, В. А. Физика твердого тела для инженеров : учеб. пособие / В. А. Гуртов, Р. Н. Осауленко. - М. : Техносфера, 2007. - 520 с.

2. Лившиц, Б. Г. Физические свойства металлов и сплавов / Б. Г. Лившиц, В. С. Крапошин. - М. : Металлургия, 1980. - С. 288-303.

3. Кример, Б. И. Лабораторный практикум по металлографии и физическим свойствам металлов и сплавов / Б. И. Кример, Е. В. Панченко ; под ред. проф. Б. Г. Лифшица. - М. : Металлургия, 1966. - 248 с.

4. Рудин, А. В. Определение упругих параметров твердых тел методом возбуждения собственных колебаний / А. В. Рудин // Университетское образование (МКУО -2006) : сб. материалов X Междунар. науч.-метод. конф. (13-14 апреля, г. Пенза). -Пенза, 2006. - С. 496-498.

5. Красильников, В. А. Введение в физическую акустику : учеб. пособие / В. А. Красильников, В. В. Крылов ; под ред. В. А. Красильникова. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 400 с.

References

1. Gurto V. A., Osaulenko R. N. Fizika tverdogo tela dlya inzhenerov: ucheb. posobie [Solid-state physics for engineers: tutorial]. Moscow: Tekhnosfera, 2007, 520 p.

2. Livshits B. G., Kraposhin V. S. Fizicheskie svoystva metallov i splavov [Physical properties of metals and alloys]. Moscow: Metallurgiya, 1980, pp. 288-303.

3. Krimer B. I., Panchenko E. V. Laboratornyy praktikum po metallografii i fiziches-kim svoystvam metallov i splavov [Laboratory tutorial on metallography and physical properties of metals and alloys]. Moscow: Metallurgiya, 1966, 248 p.

4. Rudin A. V. Universitetskoe obrazovanie (MKUO - 2006): sb. materialov XMezhdunar. nauch.-metod. konf. [University education. Proceedings of the 10th International scientific methodologicval conference]. (13-14 aprelya, g. Penza). Penza, 2006, pp. 496-498.

5. Krasil'nikov V. A., Krylov V. V. Vvedenie vfizicheskuyu akustiku: ucheb. posobie [Introduction into physical acoustics: tutorial]. Moscow: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, 1984, 400 p.

Кревчик Владимир Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор, декан физикоматематического факультета, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Рудин Александр Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра физика, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Кочкин Сергей Вячеславович

кандидат технических наук, начальник управления инноваций и предпринимательства, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of physics and mathematics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)

Rudin Aleksandr Vasil'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of physics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)

Kochkin Sergey Vyacheslavovich Candidate of engineering sciences, head of innovations and entrepreneurship department, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)

УДК 531.7; 620.17.081 Кревчик, В. Д.

Определение модуля Юнга тонких пластин и стержней с помощью колебательной системы с присоединенной массой / В. Д. Кревчик, А. В. Рудин, С. В. Кочкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 110-119.