Критические нагрузки в задаче о потере устойчивости крепей цилиндрической формы до и за пределом упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ В ЗАДАЧЕ О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ КРЕПЕЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ДО И ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

Анвар Исмагилович Чанышев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Ольга Евгеньевна Белоусова

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, кандидат технических наук, научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: belousova_o@ngs.ru

Ольга Анваровна Лукьяшко

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, инженер, тел. (383)335-97-50, e-mail: lykola@yandex.ru

Решается задача о потере устойчивости цилиндрических оболочек (крепей цилиндрической формы) при совместном действии осевой сжимающей нагрузки, кручения и бокового давления. Для заданных размеров оболочки находятся комбинации нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости. Полученные комбинации таковы, что в предельных переходах они вырождаются в известные формулы отдельно для сжатия, кручения, внешнего давления. Эти комбинации рассматриваются для исследования устойчивости оболочек в их пластическом состоянии.

Ключевые слова: оболочки, устойчивость, сжатие, кручение, внешнее давление, пластичность.

CRITICAL LOADS IN THE PROBLEM ON INSTABILITY OF CYLINDRICAL SUPPORT IN PRE- AND POST-LIMIT OF ELASTICITY

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Phys-Math, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Olga E. Belousova

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Ph. D. Eng, Researcher, tel. (383)335-97-50, e-mail: belousova_o@ngs.ru

Olga A. Lukyashko

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Engineer, tel. (383)335-97-50, e-mail: lykola@yandex.ru

The authors solve the problem on stability loss in cylindrical shells under joint action of axial compression, torsion and lateral pressure. For the preset size shells, the combinations of loads that cause loss of stability are found. The combinations are such that in the limiting case they degenerate

in the known individual formulas for compression, torsion and external pressure. The applicability of the found combinations to analyzing stability of shells in plastic state is considered.

Key words: shells, stability, compression, torsion, external pressure, plasticity.

Рассматривается математическая модель сложного догружения предложенная в [1]. Суть модели следующая: имеется девиаторное пространство, в котором девиатор напряжений Da изображается виде вектора (рис.1) [2].

Аналогично в виде вектора изображается деви-атор деформаций. Согласно [1] вся область догружения на рис.1 представляется состоящей из трех подобластей: в области I соотношения между приращениями деформаций и приращениями напряжений имеют вид закона Гука:

DAs=,1 DAa; (1) 2ц

в области II существует ортогональный базис, по одному из направлений которого, граничащего с областью I, справедливо (1), а по другому ортогональному направлению, граничащему с областью III, справедливо соотношение

DAS=^ ^, (2)

2Цр

где DAe , DAu - приращения девиаторов, 2ц - упругий модуль сдвига, 2 ц -касательный модуль на диаграмме |DCT| ~ |De|, зависящий только от длины де-виатора Da, то есть от |DCT|: 2цр= 2ц (|DCT|). В области III справедливо (2). В этой математической модели раствор угла 2х, характеризующий область III, также зависит от |DCT |. Эти соотношения проверялись с использованием многочисленных экспериментальных данных, полученых при сложном нагружении (эксперименты Жукова А.М., Работнова Ю.Н.,Жигалкина В.М., Нахди и Роули, Будянского и др.). Получено удовлетворительное согласие теоретических и экспериментальных результатов.

Что объединяет области I и III? Это - то, что соотношения между приращениями напряжений и приращениями деформаций здесь одинаковы по виду (ср. (1) и (2)). Последнее означает возможность использования соотношений (2) в решениях задач потери устойчивости пластин и оболочек с однородным до-

Рис.1. Девиаторное пространство и три области догружения: I - область полной разгрузки, II - область частичной разгрузки, III - область полной догрузки

критическим состоянием по следующей схеме: в решении упругой задачи упругий модуль сдвига заменяется на касательный . Получаемые нагрузки

называются нижними критическими нагрузками [3].

Для обоснования предлагаемых решений используется гипотеза Ф. Шенли и Ю.Н. Работнова о продолжающемся в момент потери устойчивости нагруже-

~ гггО

нии, согласно которой тензор основных напряжений Т а получает приращение АТа, которое представимо в виде: АТа = 5Г® + АТ а, где - произвольная постоянная вариация тензора Т0, а АТа - приращение, вызванное искривлением поверхности оболочки, оно определяется с точностью до произвольного постоянного множителя. За счет этого обстоятельства можно всегда добиться того, что догрузка в каждой точке оболочки будет направлена в одну из трех областей, указанных на рис. 1.

Приведем некоторые моменты получения критических комбинаций нагрузок в оболочке, представленные в [4]. Имеем основную формулу:

- Ы(аО - + Х2 ^О) =

' 2_2

= {т2ж2 /12 )• (а + Яа2 + XX а3 + Ха4 + XX а5)+ (3)

Ы1 2

+

т2ж2Я2(Р\ + Хр2 + XX Ръ + Х304 + XX Р5)'

Она получена из дифференциальных уравнений задачи в предположении, что при воздействии на цилиндрическую оболочку комбинированных нагрузок

- внутреннего (внешнего) давления аО, осевого сжатия с0 и кручения т°у, образуются выпучины винтообразного характера: со = щбш(тлх/1 - пу/Я) ,

д 2с

2лЯ 2лЯ(

с- прогиб. Так как {С_0¡^у = |

х=0,1 О О

кдх2 у

dy = 0, то считается в [5], что

х=0,1

данное решение относится к случаю шарнирного опирания оболочки.

Относительно введенных обозначений отметим, что здесь а0 , а0, г0 -

' х ' У ХУ

мембранные напряжения в оболочке в момент потери устойчивости (они кон-

п1 I I

станты), к - толщина, I - длина, Я - радиус оболочки, X =-= — (1х = —

тжЯ 1у т

длина полуволны изогнутой поверхности по образующей, I = жЯ/п - длина полуволны вдоль дуги). Коэффициенты а1, а2, ..., Р5 определяются толщиной

цилиндра и типом теории, описывающей свойства материала.

12

Когда X >>1, то тогда из (3) следует

0

ху у/ I2 5 т2ж2Я2 Р5Х

2 2 Ър

- к( с0 - 2ХГ + Xа0) = т-Ж- Х4а, + , „ . (4)

Если (4) минимизировать по Я и т при чистом осевом сжатии (ах = -а,

а0у = т°ху = 0), то критическое напряжение окажется равным [4]

2

а.

а5 к

Р5

При попереченом внешнем давлении [4] а=

4ж 31 к^Я^

3а 5 к

Р.

5

В случае чистого кручения [4] г=

4

3а5

V 5 у

5 3

к

Хя( и \8

Р.

(5)

(6)

(7)

^5 У

3-\ I 3кЯ4

Приведем другие критические комбинации напряжений. Эти решения содержат в себе как частные решения (5) - (7).

1. Осевое сжатие и внешнее давление (т0у = 0). Разрешим (4) относительно

а,

а

у

2 2

т ж а5 2

-?-Я

¡к

V

а

т 2ж2 Я2 Р5Я Я2

(8)

Минимизируя (6) по Я , найдем

I

Я2

тж \

к

2а,

аХ ±

(аХ)2 +-12-а х Як Р

(9)

а.

0 . ж \2а5

ах=-2т жта~

аХ +

(а0)2 + — а5

(ах У Я2 к р

+

4а5 кЯ2 Р5

а+

(а0)2 + — а

{ах; Я2 к р

Отсюда, если а0 ф 0, то т = 1. Зависимость (8) - искомая.

2. Осевое сжатие и кручение (а0 = 0). Разрешив (4) относительно г0 , име

2 2

0 т ж 3 ем г0, =-^аЯ +

12

ху

2к1

2 5

+ ■

а„

2т2ж2 Я2 Р5Л 2Я

Минимизируя по Я аналогично

предыдущему, получим

г° = 2

ху 3

(2 2 V ах 6т ж а5

к1

2

4

а°х +

+^ х кЯ2 Р5

+

12а5 кЯ2/35

а0 +

+

х кЯ2 Р5

Отсюда в случае г0 ф 0 следует, что m=1 и как частные вытекают решения

(5), (7). у

С помощью этих формул можно оценить критические нагрузки крепей цилиндрической формы за пределом упругости с использованием [1].

0

1

2

3

2

5

4

а, кг см

леи» 2

¿1 ^

л * А А/ \ л 1 ^ \

л. А X ч\ \ N -X -Ъ

Л л А, > >-

£

ь

Л5О 200

№

ч \\\ \\\

\ \ * ^ \ л & \ ^5 —------

/ Ч-

4

Рис. 2. Диаграммы расчетных напряжений для оболочек, изготовленных из дюралюмина Д16Т и их сопоставление с экспериментальными данными

Рис. 3. Диаграммы расчетных напряжений для оболочек: линия 1- расчет по предложенной модели, линия 2 - расчет по деформа-ционнной теории пластичности, 3-по теории пластического течения, линия 4 -по нелинейной теории р,

4 - безразмерные параметры Направим девиатор догрузки ВДа в момент потери устойчивости оболочки в каждой ее точке в область III - область полной разгрузки. Тогда определяющие соотношения имеют вид (1). Это означает, что критические параметры оболочки будут определяться из решения упругой задачи. Соответствующие нагрузки называются верхними критическими нагрузками. Если направить девиатор догрузки Вда в область II, то критические нагрузки здесь будут меньше верхних. Направим, наконец, девиатор полной догрузки ВДа в момент потери устойчивости оболочки в область I. Тогда получаем нижние критические нагрузки. Приведенные ниже примеры решения задачи при чистом осевом сжатии оболочки (рис. 2) и при комбинированного действии на нее осевого сжатия и внутреннего давления (рис.3) показывают, что эти критические значения являются минимальными по величине из всех возможных.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Чанышев А.И. Об одной модели пластического деформирования горных пород при сложном нагружении (пространственный случай). // ФТПРПИ. - 1985. - №1.

2. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеальной пластичности. - МТТ. -1967. - № 2.

3. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука. - 1969.

4. Григолюк Э.И. О выпучивании тонких оболочек за пределами упругости. - Изв. АН СССР. - ОТН. - 1957. - № 10.

5. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука. - 1967.

© А. И. Чанышев, О. Е. Белоусова, О. А. Лукьяшко, 2015