CC BY
73
УДК 539.374
БЛОЧНЫЕ МОДЕЛИ ГЕОСРЕД И ИХ АНАЛИЗ
Анвар Исмагилович Чанышев
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Приводится обзор различных моделей геосред в применении к построению определяющих соотношений упругости, пластичности и разрушения. Отмечаются их недостатки, достоинства. Рассматривается сценарий построения блочных моделей геосред с первоначальной анизотропией.
Ключевые слова: модели геосред, упругость, пластичность, разрушение, анизотропия. ANALYSIS OF BLOCK MODELS OF GEOMEDIA Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Phys-Math, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
The paper reviews various models of geomedia in the context of construction of constitutive equations for elasticity, plasticity and failure. The author identifies advantages and disadvantages of the models. Scenario of constructing block models of initially anisotropic geomedia is considered.
Key words: geomedium model, elasticity, plasticity, failure, anisotropy.
Существуют различные модели деформируемых сред. На рис. 1 схематично представлена модель тела, состоящая из некоторых несгибаемых стержней с жесткостью E (E - модуль Юнга).
Понятно, что эта модель есть модель анизотропного тела, поскольку направления стержней ориентированы параллельно осям системы координат xOy и деформации могут происходить вдоль них. При сжатии или растяжении такой модели усилиями <rx, <у будем иметь деформации
-x <, ^У = < . (1)
Ex У Ey
Если жесткости Ex и Ey совпадают, то деформации sx и sy будут совпадающими при одних и тех же усилиях <x = <у. Далее рассмотрим сдвиг этой модели касательными усилиями туу. Если соединение стержней в узлах абсолютно жесткое, то в силу несгибаемости никакого сдвига не получится. Однако, если допустить, что стержни соединены между собой так, как показано на рис. 2 (вид сверху), то есть в этих стержнях просверлены отверстия, в которые вставлены болты, на которые надеты гайки и с помощью которых стержни ока-
зались прижатыми друг к другу нормальным давлением Р, то тогда возможен сдвиг. Для того, чтобы произошел сдвиг одних стержней относительно других, необходимо преодолеть усилие трения, равное
Р ■ к
(2)
'ху тр '
где к - коэффициент трения при вращении одного стержня относительно дру гого.
Т
ху
а
У
О
х
а
Т
ху
Рис. 1. Стержневая модель тела
Приложенную силу Р можно считать здесь величиной постоянной. Коэффициент трения к , как известно, зависит от сдвига у.
Раскладывая эту функцию в ряд по степеням у, получаем зависимость
"ху г"^ху'
где 2е - сдвиг у, ¡и - коэффициент пропорциональности.
(3)
Р
Р
Рис. 2. Болтовое соединение стержней (вид сверху)
Сочетая (1), (3), получаем двух константную стержневую модель тела. Особенностью этой модели тела является то, что сдвиг 2еху не зависит от нор-
мальных напряжений ах, а
у'
а,
У
т
ху
т
ху
т
ХУ
Другое дело, когда имеет место блочная модель среды, изображенная на рис. 3.
На рис. 3 ау - нормальная
нагрузка в плоскости контакта
касательная
х
1
блоков, т
нагрузка, трения кт
ху
есть коэффициент между блоками. В
Рис. 3. Блочная модель среды
а к
этом случае, также как в случае (2), имеем соотношение
(4)
не константа. Более того,
' ху ^ у тр •
Отличие от (2) состоит в том, что величина ау при сжатии, например, величина ау - отрицательна, при растяжении - положительна (чего не может быть при учете трения, трение предполагает прижатие одних блоков к другим!). Отметим, что в случае сжатия при условии (4) предельная сила трения тху получается в нелинейной зависимости от сдвига у даже при малых его значениях: тху = аау2вху =аауу, где а - коэффициент разложения к в ряд по степеням у.
Для того чтобы ситуацию вернуть в нормальное положение, необходимо допустить, что еще до приложения нагрузок ау, тху блоки на рис.3 прижаты
друг к другу некоторыми усилиями N (это могут быть межмолекулярные, межатомные силы, силы поверхностного натяжения!). За счет этих усилий (в направлении оси у) возникают деформации
д г N М = —, К
(5)
где К - модуль жесткости. Если теперь допустить, что в направлении нормали к контактам приложены еще усилия ау, то суммарно на этой площадке получим значение усилий N + ау, которое вызовет деформацию М + еу. Вычитая
из соотношения М + еу = N + ау/К соотношение (5), получим еу = ау/К , то
есть сюда не входит нагрузка N. С другой стороны, рассматривая предельную силу трения на этой площадке, имеем
тху = (N + ау )ктр . (6)
Если в (6) считать, что сила N много больше, чем оу, то тогда, пренебрегая оу по сравнению с N, получаем тху « Штр. Здесь, как в предыдущем случае (рис.2), считаем N константой или величиной, зависящей от сдвига у, получаем в итоге в упругости связь (3) и в случае необратимых деформаций зависимость тху = /(е ), не зависящую от напряжения оу и характеризующую изменение предельной силы трения тху от величины е. Схематичный график
этой зависимости представлен на рис. 4.
Несколько слов о существующих моделях блочных сред. Из всего многообразия выделим несколько моделей. Первая модель - модель С.А. Христиановича и Е.И. Шемякина [1,2]. В [1,2] постулируется, что в результате неупругого деформирования первоначально однородный и изотропный материал становится анизотропным. Если 1,2,3 - главные оси тензора напряжений и деформаций (предполагается, что оси тензоров в процессе
е
ху
Рис. 4. График изменения предельной силы трения тху с ростом е
нагружения совпадают), то эта анизотропия определяется законом вида:
Ле1 = а11Ло1 - а12Ло2 - а13Ло3, е = -^ЛО! + «22А^2 - а23А&3,
Ле3 = -а31Ло1 - а32Ло2 + а33Ло3.
Из этих соотношений составляются разности типа
Ле1 - Ле3 = (а11 + а31)Ло1 + (а32 - а12)Ло2 + (а33 + а13)Ло3 .
Величины Ло1 , Ло2 , Ло3 переписываются в виде: Ло1 =Ло + 2(ЛТ12 + ЛТ13)/3 , Ло2 = Ло + .... , где Ло = Ло1 + Ло2 +Ло3/3 , ЛТ12 = Ло1 - Ло2/2, ЛТ[3 =.....Предполагается, что величина приращения гидростатического напряжения Ло не влияет на приращения главных сдвигов и в том числе на величину ЛГ13 = Ле1 - Ле3, то есть комбинации податливостей вида а11 + а31 + а32 - а12 + а33 + а13 здесь зануляются и тогда получается, что приращение сдвига, например, на площадке максимального касательного напряжения ЛГ13 = Ле1 - Ле3 зависит не только от приращения собственного касательного напряжения ЛТ13, но и от приращений касательных напряжений на других площадках скольжения ЛТ12, ЛТ23 (анизотропия пластического состояния). При этом различаются состояния полной и неполной пластичности. В результате в пластическом состоянии в случае неполной пластичности материал площадками максимального касательного напряжения «режется» на призмы, а в случае
полной пластичности «режется» двумя системами площадок скольжения на некоторые элементы (блоки), грани которых совпадают по направлению с площадками Т1Ъ или Т12, или Т23. Особенность этой модели такова. Пусть на площадках ттах касательное напряжение Т13 больше предела упругости материала , то есть Т13 > Т. Понятно, что по непрерывности касательное напряжение тп будет больше предела упругости Т и на некоторых других площадках с нормалью п . Вопрос: почему эти площадки не «работают», то есть пластические сдвиги там не происходят?
В этом смысле более предпочтительней выглядят теории скольжения [3-5], где сдвиги происходят на всех площадках, где \тп\> Т8. Вопрос здесь один: почему здесь интегрируются (суммируются) сдвиги, относящиеся к площадкам с разными нормалями? Ведь сдвиг - по существу компонента вектора деформации % = ВуП^ (% - орты системы координат хОух). Как можно складывать векторы деформации (или их проекции) на площадках с разными нормалями П ?
Можно рассматривать блоки, связанные друг с другом упругой прослойкой [6-7]. Если к такой блочной среде приложить нагрузки, то основная деформация произойдет в прослойках, причем деформации здесь будут большие. А для больших деформаций, как известно, требуется учет порядка их изменений [8], т.е. в прослойках необходимо вводить не малые, а большие деформации.
Другой вариант блочной модели среды рассматривается в [9-10], где блоки перемещаются друг относительно друга за счет преодоления сил трения и где учитывается первоначальная анизотропия материала. Основным здесь является применение понятия «собственные состояния упругости».
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Христианович С.А. Деформация упрочняющегося пластического материала. // Известия РАН.- Механика твердого тела.- 1974.- № 2.
2. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния. - ЧММСС.- 1973. - Т. 4, № 4.
3. Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теории пластичности, основанная на концепции скольжения. - Механика. период. сб. перев. иностр. Статей. - 1962. - №1.
4. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности. // Механика. Новое в зарубежной науке. Сер. 7, Проблемы теории пластичности. - М.: Мир. - 1976.
5. Клюшников В.Д. Теория пластичности: современно е состояние и перспективы. - Изв. РАН. МТТ. - 1993. - № 2..
6. Сарайкин В.А Распространение низкочастотной составляющей волны в модели блочной среды. // ПМТФ. - 2009. - Т.50. - № 6.
7. Сарайкин В.А. Учет упругих свойств блоков в низкочастотной составляющей волны возмущений, распространяющейся в двумерной среде. // ФТПРПИ. - 2009. - № 3.
8. Мусхелишвили Н.И.Некоторые основные задачи математической теории упругости. - Москва. - 1966.
9. Чанышев А.И. Блочная феноменологическая механическая модель элемента деформируемой среды. Часть 1,2. // ФТПРПИ. - 1998.- № 4,5.
10. Чанышев А.И. Блочная феноменологическая механическая модель элемента деформируемой среды. Ч.З: Первоначально анизотропные среды. // ФТПРПИ. - 1999. - № 4.
© А. И. Чанышев, 2015
