Положительные и отрицательные направления векторов в полярной системе координат. Приложение к кругам Мора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОВ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ПРИЛОЖЕНИЕ К КРУГАМ МОРА

Анвар Исмагилович Чанышев

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, зам. директора по науке, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]

Известно, что орт на какой-либо числовой оси указывает на положительное направление вектора на этой оси (скалярное произведение вектора и орта совпадает по значению с длиной вектора!). Если скалярное произведение вектора и орта неотрицательно, то можно говорить о положительно направленных векторах по отношению к данному орту или противоположно направленных. Если ввести в рассмотрение полярные, цилиндрические, сферические координаты, то для положительно направленных векторов полагается, что полярный радиус положителен, для отрицательно направленных векторов координата на направляющий орт считается отрицательной. Данное определение имеет значение для интерпретации отрицательных касательных усилий на кругах Мора.

Ключевые слова: орт, скалярное произведение, положительная сторона, полярный радиус, круги Мора.

POSITIVE AND NEGATIVE DIRECTIONS OF VECTORS IN POLAR COORDINATE SYSTEM. APPLICATION TO MOHR'S CIRCLES

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]

A unit vector in a number axis is known to show positive direction of a vector in this axis (vector and unit vector dot product has the same value as the vector length!). When the vector and unit vector dot product has nonnegative value, the vector is either positively directed relative to this unit vector or they are opposite. With the polar, cylindrical and spherical coordinate systems introduced, it is assumed that the polar radius is positive for the positively directed vectors and the direction unit vector coordinate is assumed negative for negatively directed vectors. This definition is useful when interpreting negative tangential forces at Mohr's circles.

Key words: unit vector, dot product, positive side, polar radius, Mohr's circles.

Фундаментальными в механике являются вопросы векторного представления. В виде векторов представляются смещения, силы, векторы напряжений на площадке. Векторы могут быть противоположными по направлению. Рассмотрим несколько случаев описания векторов, противоположных по направлению.

Случай А. На рис. 1 представлены два противоположных по направлению вектора, имеющих одинаковую длину и расположенных на одной или двух параллельных прямых. Для описания вектора а введем в рассмотрение направляющий орт / и его длину. Тогда а— \а\1, противоположно направленный век-

I I —*■ —»■

тор - а представляется как -а = -ЩI , то есть в направлении / его координата отрицательна.

Рис. 1. Противоположно направленные векторы а я - а на прямой или параллельных прямых.

Случай Б. Здесь рассматривается расширение понятия положительно и отрицательно направленных векторов по сравнению со случаем А: для описания положительного направленных векторов на плоскости или в трехмерном пространстве вводится не один направляющий вектор l, а целый веер таких векторов (этот случай изображен на рис. 2). При этом вводится некоторый направляющий вектор S и говорится следующее: орты l направлены в положительную сторону, если они составляют с вектором S острый угол, и орты l направлены в отрицательную сторону, если они с вектором S образуют тупой угол. Это определение связано со знаком скалярного произведения векторов l и S. Оно для векторов а, направленных в положительную сторону, позволяет сделать следующую запись: а = Щ I, для векторов, направленных в отрицательную

сторону, получаем —а = -\а\ Î, где Î направлен в положительную сторону.

Рис. 2. Противоположно направленные векторы а я - а на плоскости или в трехмерном пространстве

Данная формулировка важна в понятиях «круги Мора»[1] потому, что там на диаграммах присутствует отрицательное значение полярного радиуса, выражающего значение касательного напряжения на площадках с нормалью п. Более того определение положительного и отрицательного направлений векторов позволяет здесь однозначно указать ориентации площадок, на которых они

действуют. Покажем это.Пусть в некоторой прямоугольной декартовой системе координат хОу2задан тензор напряжений Та. Для этой симметрической матрицы находятся собственные числа с^, сг2, <т3 и собственные векторы, определяющие преобразование при переходе от осей х, у, 2 к главным осям х:, х2, х3 тензора Та, в которых Та имеет диагональный вид. Орты этой системы координат обозначим как ех, в2, еъ. Считается, что направления ортов ех, в2, еъ выбраны так, что система координат х1Ох2 х3 является правой, как изображено на рис. 3.

Рис. 3. Система главных осей тензора напряжений Та и площадка с нормалью п, на которую действует вектор напряжений Коши рп

2

X

2

Далее рассматриваются произвольные площадки с нормалью n и на ней вектор напряжений Коши pn .Как известно,

Рп = °\пА + + , (1)

где n1, n2, n3 - направляющие косинусы нормали n. Вектор pn раскладывается на две составляющие - на направление Я и на направление касательной. При этом рп = тп + <ти. Отсюда дп = ап ■ п, где стп=рп-п или

2 2 2 = (7Л +cj2n2 + (2)

где точкой обозначается скалярное произведение векторов.

Что касается «положительного» направления для ап, то оно, очевидно, совпадает с направлением Я. Если стп > 0, то стп направлено по Я, в противном случае crw имеет отрицательное направление, т.е. направлено противоположно Я. Теперь, что касается тп.На рис 3. пунктиром изображен вектор, противоположный по направлению тп. Какое из направлений следует считать здесь положительным, а какое отрицательным? Соответственно для вектора тп, направленного в положительную сторону, проекция тп будет положительной, а для

вектора тп, направленного в отрицательную сторону, - отрицательной. Для этого определения существует орт ех.

Определение.Исходя из рассуждений относительно положительности направления на рис. 1,2, будем говорить, что векторы тп на площадке с нормалью п направлены положительно, если они направлены в сторону возрастания координаты в первом главном направлении тензора Тст и направлены отрицательно, если они направлены в сторону убывания координаты ^. Другими словами, векторы касательного усилия тп направлены в положительную сторону, если скалярное произведение векторов тп с единичным ортом первого главного направления тензора напряжений е1 положительно и направлено в отрицательную сторону, если скалярное произведение тп ■е1 <0.Так как тп = рп -<тпп,то скалярное произведение векторов тп и ех равно

2 2 2 2 2 = И(1-^1 ) - °2п2 - °ЪпЪ И = [(°1 - )п2 + (^1 - )щ И • (3)

Последнее равенство означает, что скалярное произведение векторов тп и ех положительно на всех площадках, на которых щ > 0. То есть, если площадка наклонена к оси х1 под острым углом, то вектор тп на этой площадке в силу ст1 > сг2 - аъ направлен положительно. Для площадок, на которых вектор нормалью Я составляет с ортом е} тупой угол (щ < 0 ), то на этих площадках вектор тп направлен в отрицательную сторону и его проекция считается отрицательной.

Это определение пригодно как при рассмотрении плоского напряженного состояния и плоской деформации, так и при анализе объемного напряженного состояния.

Рассмотрим систему уравнений для отыскания направляющих косинусов площадки, на которой считаются заданными величины сг„ и \тп |. С одной стороны имеем (2), с другой - уравнение, следующее из определения рп:

2,2 2 2,2 2,2 2 / л \

+ + °2П2 + °ЪпЪ • (4)

Кроме того, нормаль п, предполагается, имеет единичную длину:

9 9 9

п{ + Щ + Щ = 1. (5)

Из (3) - (5) получается решение [1]:

.2

Щ=—-—-^—И-П2= Щ = .... (6)

Так как левые части этих равенств неотрицательны, должны быть неотрицательными правые. Из неотрицательности правых частей следует диаграмма Мора, представленная на рис. 4.

Рис. 4. Диаграмма Мора, на которой полукруги для верхней ее половины характеризуются условием тп> 0, нижние полукруги определяются неравенством тп < О

Если говорить о решении (6), то для заданных значений сгп и ± тп здесь в общем случае имеют место одновременно 8 различных комбинаций направляющих косинусов: для пх>О имеем 4 значения ±п2 и ±п3, аналогичного

для п{ < 0. Эти восемь площадок образуют в совокупности октаэдр,он представлен на рис. 4 при значениях

°п = С^ + ^+С^/3, Тп=±у1 СТ12+0-|+СГ32- 3 .

Если рассмотреть направления вектора тп на гранях октаэдра в верхней части, то для случая <т2 - сг3 - 0, стх > 0 эти направления указаны на рис. 5, образуют острые углы с ортом ех (с осью Охх), на всех других площадках с пх < О (нижняя часть октаэдра) эти углы - тупые.Легко видеть на основании анализа системы (6), что октаэдры в общем случае вырождаются в призмы на окружностях, проходящих через точки сг3, сг2 на рис. 4; <т3, сг,; сг2, стх. Если мы находимся на окружности, проходящей через точки ег3, сг2, то тогда значения /-?р = О (вершины октаэдра, расположенные на оси х1 рис. 4, уходят в «бесконечность» при пх —> 0). Имеем призмы с образующими, параллельными оси х1, на гранях которых задается вектор напряжений Коши в виде рп - ст2п2е2 + ст3п3ё3, для которого стп = <т2п2 + сг3п3, тп ■ ех - 0. В этом исключительном случае положительным направлением вектора тп будем называть то, которое направлено в сторону возрастания координаты х2, т.е. то, при котором тп ■ е2 > 0 или

(<т2 - <т3 )/73 /72 > 0,откуда следует, что г„ положительно в силу ег, > <т2 > сг3 на тех площадках, на которых я2 > 0 и отрицательно там, где п2 < 0.

Рис. 5. Октаэдр с указанием направления действия касательных составляющих вектора напряжений Коши

Находясь на окружностях, проходящих через точки сг3, сг1 и а2, сг1, получаем п2 = 0, «з=0 и условие тп • ех на них соответственно преобразуется в

2 2

следующие выражения: (<у1 - сг3)и3и1 >0, (ст1- <у1)п1п1 > 0,то есть определение положительности направления тп сохраняется - в зависимости от значения направляющего косинуса п имеем положительные и отрицательные направления вектора тп.

Отметим, что при п2 =0 вершины октаэдра на рис. 5, расположенные на

оси х2, уходят при /72 —> 0 в «бесконечность», а при щ = 0 другие вершины октаэдра на рис. 5 расположенные на оси х3, так же уходят в «бесконечность» при щ —> 0.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969, 420 с.

© А. И. Чанышев, 2016