Численная схема и ее реализация для решения плоских и пространственных статических задач теории упругости в постановке Коши

Чанышев Анвар Исмагилович; Абдулин Ильгизар Маратович; Ефименко Лариса Леонидовна

УДК 539.3

ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА И ЕЕ РЕАЛИЗАЦИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОСТАНОВКЕ КОШИ

Анвар Исмагилович Чанышев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Ильгизар Маратович Абдулин

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт горного дела им. Н. А. Чинакала» СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, младший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru

Лариса Леонидовна Ефименко

Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, Каменская, 52, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, тел. (383)224-27-31, e-mail: efimenko.larisa@gmail.com

На примере численного конечно-разностного решения задачи о нахождении структуры массива пород и его напряженно-деформированного состояния по известным одновременно значениям вектора напряжений Коши и вектора смещений на его границе в виде плоскости показывается перспективность предлагаемого метода для решения подобных задач в других случаях (условия заданы на поверхности выработки). Приводится сравнение численного и известного аналитического решений.

Ключевые слова: напряжения, деформации, упругость, конечно-разностная схема, задача Коши.

NUMERICAL SCHEME AND IMPLEMENTATION FOR 2D AND 3D STATIC CAUCHY'S PROBLEMS OF ELASTICITY

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Phys-Math, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Ilgizar M. Abdulin

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Junior Researcher, tel. (383)335-97-50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru

Larisa L. Efimenko

Novosibirsk State University of Economics and Management, 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamenskaya St., Assistant Professor, Higher Mathematics Department, tel. (383)224-27-31, e-mail: efimenko.larisa@gmail.com

In terms of the finite-difference solution to the problem on structure, stresses and strains of rock mass by the known values of Cauchy's stress vector and displacement vector at the boundary of the rock mass represented by a plane, the authors illustrate applicability of the problem to solving

the other similar problems (conditions are set at the surface of an excavation). The numerical results and the known analytical solution are compared.

Key words: stresses, strains, elasticity, finite-difference scheme, Cauchy's problem.

Решается задача о нагружении полуплоскости некоторыми усилиями тху, <у. Причем на этой поверхности одновременно с нагрузкой измеряются

еще и смещения их, uy. Требуется по этим данным определить НДС самой полуплоскости. Если в ней есть какие-то дефекты в виде сосредоточенных сил, отверстий, включений, то дополнительно ставится еще и другая задача - определить их положения, интенсивности внутренних источников возмущений. С математической точки зрения задача выглядит так. Есть система координат xOy, изображенная на рис. 1.

> к У

< т 1—► тху Шу о \—*их x

Рис. 1. Исследуемая область деформирования

Есть граница полуплоскости у = 0. На этой границе задаются четыре независимые друг от друга функции:

Тху = /Лх) , ^у = ЛС*), их = /з(х) , иу = ЛСЮ . (1)

Внутри полуплоскости во всех ее точках справедливы уравнения равновесия:

д< дт

дх

+

xy

ду

дтху д<у

дх

ду

= 0,

0.

(2)

Кроме того в каждой точке полуплоскости предполагается выполненным закон Гука:

^х =

1 -V

E

<х -

уО+у)

-<v ■

E у'

2

S

у

у(1 + V) 1 -V

~ ' -<у ■

E у'

E

<х +

(3)

т

ху

^ 2ц

(рассматривается плоско деформированное состояние полуплоскости).

<

К соотношениям (1) - (3) необходимо добавить еще соотношения Коши:

ды,

=

д_ых

дх

£у =

у

ду

1

£ху = 2

ды

ды..л

х ^ у

ду дх

У

Задача найти НДС полуплоскости и ее содержимое.

Отметим, что здесь при решении задачи возможно использовать формулы Колосова-Мусхелишвили [1, 2]. Однако ниже рассматривается конечно-разностная реализация решения задачи с целью обобщения полученной схемы на трехмерный случай деформирования, где аналитических решений нет.

Говоря об актуальности рассматриваемой постановки задачи, следует сказать, что эта постановка в той или иной мере присутствует во многих проблемах геологии, геофизики, геомеханики в связи с поиском месторождений полезных ископаемых, определением структуры Земли, с обеспечением безопасности ведения горных работ и т.д.

Перепишем (1) - (4) в следующем виде. Введем обозначения:

1 + v

ах =

а

ау =

Е х у Е Тогда (3) можно перегруппировать как

а

у

тху

1±у

Е

х

ху

дыу _ (1 - 2у) " (1 -V)

а

V

дыл

у

1 - V дх

дых ду

2х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ды

ху

дх

1 -V ды,

ах =

+

V

ды

у

(5)

(6) (7)

1 - 2v дх 1 - 2v ду

Из (2) при этом следует

дх

ху

ду да„

дах

дх

дХху

(8)

^ ду дх

Будем рассматривать прямоугольник со сторонами х = + а, у = 0, у = -Ъ ( а, Ъ > 0). Введем сеточные функции а^, ых, ыу.

Поскольку на границе у = 0 заданы функции ых, ыу, хху, ау, то по этим данным находим производные вдоль границы:

дых дх

ы1+1 - ы1 К

дыу дх

ы,-

К

<

По заданным значениям <у, тху на границе у = 0 и через полученные производные (9) с помощью (5), (6) находим значения производных

диу / ду, дих / ду.

Используя разложения

диу =и-}-и-} -1 дих =и-]~и-] -1 ^ ду ку ' ду Иу '

находим значения функций их, иу на слое у = - ку (] = 0).

Зная диу / ду на границе у = 0 по формуле (7) находим <х на границе у = 0. Далее используем (8). По этим данным аналогично (10) находим тху ,<у на слое у = -ку. На слое у = -ку становятся известными смещения их, иу, напряжения тху ,<у. Ситуация таким образом повторяется. Производится спуск еще на один шаг ку по координате у вниз.

Замечание. В (9) производные дих / дх, диу / дх, относятся к точке ¡. Отсюда следует, что в силу определения (9), эти производные не вычисляются в точке ¡=Ы. Аналогично не вычисляются производные дтху /ду, д<у /ду. Это означает, что не вычисляются значения функций их, иу, тху, <у на слое у = -ку при

¡=Ы. Т.е. с каждым понижающим шагом по у сужается область значений по х. Поэтому для того, чтобы «опуститься» глубоко вниз по координате у необходимо иметь довольно широкую область «захвата» по оси х при у = 0.

В качестве проверки расчетной схемы использовалось аналитическое решение, полученное в [3]. Это решение при граничных условиях

Ах АН <7 = 0, т, = 0, и = —--, и, =

у ' ху ' х 2 , и2> у 2 , и2 '

х + Ь х + Ь

где А, Н, Ь - некоторые константы, характеризующие распределение смещений их, иу на указанной границе, представлено в [3]. В безразмерном виде

А ъ х Л у Л их Л иу л н у — = А, — = х, — = у, — = их, — = ил,, — = Н, Ь2 Ь Ь Ь х Ь у Ь

а = ^ = х2- у2 +1, ( = 2ху, у = х2 + у2 + 6уН + 3Ь 2, т = х2 + у2 + 2уН +1,. Ь

решение имеет вид:

Сх + Су =

С

У

С

4 А 1+ К

4 А 1 + К

а

а1 + ¡32

+ 2

(1 + иу)(а2 - 32) - 2жар (а2 + 32)2

у(а2 - (32) 4га(а2 - зр2)

4 А р

Тху 1 + К

(а2 + р2)2 (а2 + р2)3 ау и(р2 - за2)^

(а2 + р2)2 (а2 + р2)3

Ах 1+ К

Кг-6ун+а2-2у2 0л(я+2у)+н(х2 + у2)]а

—+8 у—

а2 + р2

(а2 + р2)2

и

у

А 1+ К

к[(у+н)а - хр]+зна+у(зх2 - у2 +1)

а2 + р2

2[(н+2 у)+н (х2 + у 2)](а2 - р2) (а2 + р2)2

При этом граничные условия при у = 0 переписываются в виде:

Ах Ан

Су = 0 > гху = 0 > их

х 2 +1

и

у х2 +1

В работе дается сравнение численного и аналитического решений на каждом шаге по у и по координате х. Показывается приемлемость излагаемого метода решения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мусхелишвили Н.Н. Некоторые основные задачи математической теории упругости, Москва, 1966г., 708 с.

2. Шваб А.А. Некорректные статические задачи теории упругости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1989. - № 6. - С. 98-106.

3. Чанышев А.И., Вологин Д.А. Определение напряженно-деформированного состояния и дефектности массива пород по данным измерений смещений на его поверхности. Ч. 1 // ФТПРПИ. - 2011. - № 4, С. 3-11.

<

>

<

>

<

>

<

>

<

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Абдулин Ильгизар Маратович, Ефименко Лариса Леонидовна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Абдулин Ильгизар Маратович, Ефименко Лариса Леонидовна

NUMERICAL SCHEME AND IMPLEMENTATION FOR 2D AND 3D STATIC CAUCHY’S PROBLEMS OF ELASTICITY

Текст научной работы на тему «Численная схема и ее реализация для решения плоских и пространственных статических задач теории упругости в постановке Коши»