CC BY
13
УДК 539.374
ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ПРИ КОСОМ ВНЕДРЕНИИ КЛИНОВИДНОГО ИНСТРУМЕНТА В ПЕРВОНАЧАЛЬНО АНИЗОТРОПНУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по науке, тел. (383)335-97-50; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, Каменская, 52, профессор, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Геннадий Михайлович Подыминогин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, младший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com
Рассматривается первоначально изотропная среда, пределы пластичности, деформационная теория пластичности, основанные на применении собственных тензоров упругости (модель Чанышева А.И.), клиновидный инструмент, внедряемый в среду под некоторым углом. В рамках жестко - пластической схемы находится предельная нагрузка. Исследуется влияние первоначальной анизотропии, угла заточки инструмента, угла внедрения инструмента на предельную нагрузку.
Ключевые слова: пластичность, предельная нагрузка, анизотропия, косое внедрение.
ULTIMATE LOAD AT ANGULAR PENETRATION OF A WEDGE-SHAPED TOOL INTO INITIALLY ANISOTROPIC SEMI-PLANE
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, D. Sc., Deputy Director for Science; Novosibirsk State University of Economics and Management, 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamenskaya St., Professor, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Gennady M. Podyminogin
Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Junior Researcher, tel. (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com
The initially isotropic medium, plasticity limits, deformation theory of plasticity are discussed based on the own elasticity tensors (A.I. Chanyshev's model); a wedge-shaped tool penetrates at a certain angle into a medium. The ultimate load is within the frame of the rigidly-plastic scheme. The influence of initial anisotropy, cutting edge angle, angle of tool penetration on the ultimate load is investigated.
Key words: plasticity, ultimate load, anisotropy, angular penetration.
Рассматривается первоначально анизотропная среда с законом Гука вида
sx = an<jx - axlGy ,
S y = -ai2<x + a22<y >
Sxy = a33Txy >
где хОу - исходная система координат, изображенная на рис. 1, а^ - упругие податливости (константы материала), £ - деформации, т^ - напряжения.
У
О
А
В^ У
С
в
1
Рис. 1. Косое внедрение клина в полуплоскость Рис. 2. Структура области I
х
В такую среду под некоторым углом а внедряется жесткий клин. Требуется найти предельную нагрузку для внедрения клина, необходимые условия для этого, определить зависимость предельной нагрузки от влияния первоначальной анизотро-
пии, то есть от значений констант а
и
Решение задачи. Прежде всего, определим уравнение пластического деформирования среды (1) с использованием [1]. Для этого введем в рассмотрение тензоры
напряжений ±а
й ^ =
а
\тху
Т —
тху
ау у
,0 0у
, деформаций Т£ —
£
у£ху
£
ху
г2 —
0 0 V0 1 у
т — ±
£у у
V1 0У
и тензорный базис вида:
(2)
Очевидно, что базис (2) является ортонормированным и ортогональным, если учесть, что скалярное произведение тензоров, например Та, Т£, определяется соотношением [2]:
Та,Те)—а1] £, (3)
где по повторяющимся индексам ведется суммирование. Для базиса (2) координаты тензоров Та, Т£ в нем равны
¿1 —ах > £ 2 —ау , — л/2 тху , ¿3 — тху > —£х _ „
(4)
В координатах (4) закон Гука (1) записывается в матричном виде:
, ^2 — £у, ^з — £
ху
fQ11 ' a11 ~ a12 0 1 f Si 1
Q 2 _ ~ a12 a22 0 • S2
Л J V0 0 a33 J V S3 J
или £ = ЛО.
Так как матрица Л - симметрическая, то ее собственные числа вещественные и равны:
д _ a11 + a22 1 2
+
a11 ~ a22 2
+ a12 , Д2 _
a11 + a22
2
a11 ~ a22 2
\2
+ a12 ' Д
a
33
(5)
Собственные векторы матрицы Л определяются как
b1 _ (cos(^2), ~ sin(ф/2), 0), b2 _ (sin(ф/2), cos(^/2), 0), b3 _ (0, 0,1), (6)
где
tC _
= 2an/an - a22 .
С применением (6), (7), (2) находим собственные тензоры закона Гука (1):
(7)
v
cos(^/2) 0 0 ~ sin (ф/2)
T2C _
7
V
sin (ф/ 2) 0
cosí
(Ф 2)J'
V _ 1 f0 1Л
3 "i 1 0 v1 0 y
■42
(8)
Многочисленные исследования по металлам, например [3], подтверждают такой факт, что собственные тензоры упругости являются собственными тензорами в пластичности. В [4] показывается, что этот факт является следствием того, что среда имеет определенную структуру и все процессы деформирования происходят в этой (одной и той же для всех процессов) структуре. Поскольку структура определяется собственными тензорами, то по этой причине их можно считать собственными для любых процессов.
Применим этот результат к (1). Запишем возможные критерии пластичности. Их выражения будут зависеть от кратности корней (5) характеристического уравнения |Л-ЛЕ\ = 0.
Пусть \ Ф Ф ^з. Если возможное направление пластических деформаций в
тензорном пространстве - направление орта , то тогда условием пластичности будет выражение:
5
C
ах • cos(^/2)-^ • sin(ф/2)| = S°,
(9)
о0
где о - критерий пластичности, определяется экспериментально.
Другое направление пластических деформаций может быть связано со скольжением материала вдоль плоскостей ху, ух. Тогда пластическое течение в тензорном
пространстве происходит вдоль орта Т^. В качестве условия пластичности получаем
S
с
Т
xy
_ S
0
(10)
2
1
oö
где 03 - критерии пластичности, определяется также экспериментально.
Другое условие пластичности может быть в случае Я \= Я 3, которое формулируется в виде:
)2 + (s3C)2 = Ш, (11)
где V2K - критерии пластичности в плоскости , S3 , являющийся радиусом
окружности, определяется экспериментально.
Попытаемся в рамках этих представлений решить задачу о внедрении жесткого гладкого клина в полуплоскость, изготовленную из материала (1).
Для определенности примем то, что имеет место третий случай кратности корней характеристического уравнения, то есть материал в пластичности имеет предел упругости (11).
Для решения задачи имеем уравнения равновесия:
(дах/дх)+(дТху/ду)= 0, (дТху/дх)+(дау/ду) = 0 (12)
и условие пластичности (11), переписанное в виде
ах • cosß/2)-ау • sin(ß2) = -V2K• sin20, тху = Kcos20, (13)
где 20 - некоторая неизвестная функция координат X, у. Кроме 20 введем в рассмотрение еще функцию а = сг(х, у) как
Gx • sinß/2)+ ау • cosß/2)= а. (14)
Из (13), (14) следует, что
ах = а • sin ß/2) -4lK • cosß/2) • sin20,
ау = а • cosß/2) +42.K • sinß/2)^ sin20, тху = Kcos20. (15)
Подставляя (15) в (12), получаем статически определяемую задачу для определения 0, а. Из полученной системы находим характеристики
Я 12 = (- ctg 20 ±7 ctg2 20 + sin ß )/ (л/2 sin (ß 2)) (16)
и соотношения на них в виде:
а - Ka/2 • ctgß • sin 20 + K42 • E(20, к)/sin ß = < ,<2, (17)
где E(20, к) - эллиптический интеграл 2-ого рода:
20
E(20, к) = JV1 — к sin21 • dt, к = 1 - sin ß,
о
<1, <2 - постоянные вдоль характеристик.
Отметим, что произведение угловых коэффициентов характеристик на основании (16) равно - ctg(ß2).
Далее решается задача для клина. Имеем две области деформирования: I и II, изображенные на рис. 1. В области II имеем две области простых напряженных со-
стояний, соединенных между собой центрированным полем. В области I имеем два простых напряженных состояния, отделенных друг от друга линией сильного разрыва.
Рассмотрим более подробно область I, изображенную отдельно на рис. 2.
Имеем треугольники ACB и DCB на рис. 2, прямая CB - граница раздела треугольников, угол наклона прямой CB к оси Ох как угол J.
Предполагаем, что в треугольнике ACB реализуется простое напряженное состояние, в котором
оу _ 0, Тху _ 0, Ох _ -42K • cos(^/2), (18)
Характеристики здесь имеют уравнения dy¡dx _ ±д/ctg(ф/2), через них и граничные условия на OB определяется решение (18).
Далее рассматривается треугольник DCB. Нормаль П к стороне клина DB составляет с осью х угол ~~р, то есть cos(n,х)_ sinр, cos(n,у)_ -cosp.
Предполагается, что в треугольнике DCB также реализуется простое напряженное состояние с постоянными напряжениями ох, о у, тху, удовлетворяющими
условиям: касательное усилие тп на грани клина DB равно нулю (клин - гладкий), на линии CB вектор напряжений Pcb непрерывен, выполняется критерий (11). Неизвестными величинами при этом считаются: угол J, значение О. Как результат имеем три уравнения для определения трех неизвестных напряжений.
По найденным значениям О и J в треугольнике DCB и, следовательно, на границе DB находим значение on на границе DB. То есть определяется нормальное
усилие на грани клина DB и сама сила FDB _ onDBn, необходимая для осуществления деформаций на рис. 2.
Что касается области II на рис. 1, то решение в ней строится аналогично классическому, приведенному, например, в [2].
В работе приводятся значения тех и других сил на гранях клина, исследуется влияние параметра ф, угла X, угла (, раствора угла клина на значения предельных нагрузок.
Выводы.
Решена задача о внедрении жесткого гладкого клина в первоначально анизотропную среду. Определены зависимости глубины внедрения клина от угла подачи инструмента, от параметров первоначальной анизотропии среды, от раствора угла внедряемого клина.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Чанышев А. И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ — Новосибирск, 1984. — Вып. 2. — С. 149—151.
2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности — М.: Наука, 1969. — 420 с.
3. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. — М.: Недра, 1979. — 301 с.
4. Чанышев А.И., Абдулин И.М. Деформирование и разрушение первоначально изотропных сред с условием нарушения прочности Мизеса // ФТПРПИ.-2006.-№4.-с. 17-30.
© А. И. Чанышев, Г. М. Подыминогин, 2017
