Научная статья на тему 'Предельная нагрузка при косом внедрении клиновидного инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость'

Предельная нагрузка при косом внедрении клиновидного инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
92
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПЛАСТИЧНОСТЬ / ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА / АНИЗОТРОПИЯ / КОСОЕ ВНЕДРЕНИЕ / PLASTICITY / ULTIMATE LOAD / ANISOTROPY / ANGULAR PENETRATION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Подыминогин Геннадий Михайлович

Рассматривается первоначально изотропная среда, пределы пластичности, деформационная теория пластичности, основанные на применении собственных тензоров упругости (модель Чанышева А.И.), клиновидный инструмент, внедряемый в среду под некоторым углом. В рамках жестко пластической схемы находится предельная нагрузка. Исследуется влияние первоначальной анизотропии, угла заточки инструмента, угла внедрения инструмента на предельную нагрузку.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Чанышев Анвар Исмагилович, Подыминогин Геннадий Михайлович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ULTIMATE LOAD AT ANGULAR PENETRATION OF A WEDGE-SHAPED TOOL INTO INITIALLY ANISOTROPIC SEMI-PLANE

The initially isotropic medium, plasticity limits, deformation theory of plasticity are discussed based on the own elasticity tensors (A.I. Chanyshev’s model); a wedge-shaped tool penetrates at a certain angle into a medium. The ultimate load is within the frame of the rigidly-plastic scheme. The influence of initial anisotropy, cutting edge angle, angle of tool penetration on the ultimate load is investigated.

Текст научной работы на тему «Предельная нагрузка при косом внедрении клиновидного инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость»

УДК 539.374

ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА ПРИ КОСОМ ВНЕДРЕНИИ КЛИНОВИДНОГО ИНСТРУМЕНТА В ПЕРВОНАЧАЛЬНО АНИЗОТРОПНУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ

Анвар Исмагилович Чанышев

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по науке, тел. (383)335-97-50; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, Каменская, 52, профессор, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Геннадий Михайлович Подыминогин

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, младший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com

Рассматривается первоначально изотропная среда, пределы пластичности, деформационная теория пластичности, основанные на применении собственных тензоров упругости (модель Чанышева А.И.), клиновидный инструмент, внедряемый в среду под некоторым углом. В рамках жестко - пластической схемы находится предельная нагрузка. Исследуется влияние первоначальной анизотропии, угла заточки инструмента, угла внедрения инструмента на предельную нагрузку.

Ключевые слова: пластичность, предельная нагрузка, анизотропия, косое внедрение.

ULTIMATE LOAD AT ANGULAR PENETRATION OF A WEDGE-SHAPED TOOL INTO INITIALLY ANISOTROPIC SEMI-PLANE

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, D. Sc., Deputy Director for Science; Novosibirsk State University of Economics and Management, 630099, Russia, Novosibirsk, 52 Kamenskaya St., Professor, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Gennady M. Podyminogin

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Junior Researcher, tel. (383)335-97-50, e-mail: podyminogin@gmail.com

The initially isotropic medium, plasticity limits, deformation theory of plasticity are discussed based on the own elasticity tensors (A.I. Chanyshev's model); a wedge-shaped tool penetrates at a certain angle into a medium. The ultimate load is within the frame of the rigidly-plastic scheme. The influence of initial anisotropy, cutting edge angle, angle of tool penetration on the ultimate load is investigated.

Key words: plasticity, ultimate load, anisotropy, angular penetration.

Рассматривается первоначально анизотропная среда с законом Гука вида

sx = an<jx - axlGy ,

S y = -ai2<x + a22<y >

Sxy = a33Txy >

где хОу - исходная система координат, изображенная на рис. 1, а^ - упругие податливости (константы материала), £ - деформации, т^ - напряжения.

У

О

А

В^ У

С

в

1

Рис. 1. Косое внедрение клина в полуплоскость Рис. 2. Структура области I

х

В такую среду под некоторым углом а внедряется жесткий клин. Требуется найти предельную нагрузку для внедрения клина, необходимые условия для этого, определить зависимость предельной нагрузки от влияния первоначальной анизотро-

пии, то есть от значений констант а

и

Решение задачи. Прежде всего, определим уравнение пластического деформирования среды (1) с использованием [1]. Для этого введем в рассмотрение тензоры

напряжений ±а

й ^ =

а

\тху

Т —

тху

ау у

,0 0у

, деформаций Т£ —

£

у£ху

£

ху

г2 —

0 0 V0 1 у

т — ±

£у у

V1 0У

и тензорный базис вида:

(2)

Очевидно, что базис (2) является ортонормированным и ортогональным, если учесть, что скалярное произведение тензоров, например Та, Т£, определяется соотношением [2]:

Та,Те)—а1] £, (3)

где по повторяющимся индексам ведется суммирование. Для базиса (2) координаты тензоров Та, Т£ в нем равны

¿1 —ах > £ 2 —ау , — л/2 тху , ¿3 — тху > —£х _ „

(4)

В координатах (4) закон Гука (1) записывается в матричном виде:

, ^2 — £у, ^з — £

ху

fQ11 ' a11 ~ a12 0 1 f Si 1

Q 2 _ ~ a12 a22 0 • S2

Л J V0 0 a33 J V S3 J

или £ = ЛО.

Так как матрица Л - симметрическая, то ее собственные числа вещественные и равны:

д _ a11 + a22 1 2

+

a11 ~ a22 2

+ a12 , Д2 _

a11 + a22

2

a11 ~ a22 2

\2

+ a12 ' Д

a

33

(5)

Собственные векторы матрицы Л определяются как

b1 _ (cos(^2), ~ sin(ф/2), 0), b2 _ (sin(ф/2), cos(^/2), 0), b3 _ (0, 0,1), (6)

где

tC _

= 2an/an - a22 .

С применением (6), (7), (2) находим собственные тензоры закона Гука (1):

(7)

v

cos(^/2) 0 0 ~ sin (ф/2)

T2C _

7

V

sin (ф/ 2) 0

cosí

(Ф 2)J'

V _ 1 f0 1Л

3 "i 1 0 v1 0 y

■42

(8)

Многочисленные исследования по металлам, например [3], подтверждают такой факт, что собственные тензоры упругости являются собственными тензорами в пластичности. В [4] показывается, что этот факт является следствием того, что среда имеет определенную структуру и все процессы деформирования происходят в этой (одной и той же для всех процессов) структуре. Поскольку структура определяется собственными тензорами, то по этой причине их можно считать собственными для любых процессов.

Применим этот результат к (1). Запишем возможные критерии пластичности. Их выражения будут зависеть от кратности корней (5) характеристического уравнения |Л-ЛЕ\ = 0.

Пусть \ Ф Ф ^з. Если возможное направление пластических деформаций в

тензорном пространстве - направление орта , то тогда условием пластичности будет выражение:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5

C

ах • cos(^/2)-^ • sin(ф/2)| = S°,

(9)

о0

где о - критерий пластичности, определяется экспериментально.

Другое направление пластических деформаций может быть связано со скольжением материала вдоль плоскостей ху, ух. Тогда пластическое течение в тензорном

пространстве происходит вдоль орта Т^. В качестве условия пластичности получаем

S

с

Т

xy

_ S

0

(10)

2

1

где 03 - критерии пластичности, определяется также экспериментально.

Другое условие пластичности может быть в случае Я \= Я 3, которое формулируется в виде:

)2 + (s3C)2 = Ш, (11)

где V2K - критерии пластичности в плоскости , S3 , являющийся радиусом

окружности, определяется экспериментально.

Попытаемся в рамках этих представлений решить задачу о внедрении жесткого гладкого клина в полуплоскость, изготовленную из материала (1).

Для определенности примем то, что имеет место третий случай кратности корней характеристического уравнения, то есть материал в пластичности имеет предел упругости (11).

Для решения задачи имеем уравнения равновесия:

(дах/дх)+(дТху/ду)= 0, (дТху/дх)+(дау/ду) = 0 (12)

и условие пластичности (11), переписанное в виде

ах • cosß/2)-ау • sin(ß2) = -V2K• sin20, тху = Kcos20, (13)

где 20 - некоторая неизвестная функция координат X, у. Кроме 20 введем в рассмотрение еще функцию а = сг(х, у) как

Gx • sinß/2)+ ау • cosß/2)= а. (14)

Из (13), (14) следует, что

ах = а • sin ß/2) -4lK • cosß/2) • sin20,

ау = а • cosß/2) +42.K • sinß/2)^ sin20, тху = Kcos20. (15)

Подставляя (15) в (12), получаем статически определяемую задачу для определения 0, а. Из полученной системы находим характеристики

Я 12 = (- ctg 20 ±7 ctg2 20 + sin ß )/ (л/2 sin (ß 2)) (16)

и соотношения на них в виде:

а - Ka/2 • ctgß • sin 20 + K42 • E(20, к)/sin ß = < ,<2, (17)

где E(20, к) - эллиптический интеграл 2-ого рода:

20

E(20, к) = JV1 — к sin21 • dt, к = 1 - sin ß,

о

<1, <2 - постоянные вдоль характеристик.

Отметим, что произведение угловых коэффициентов характеристик на основании (16) равно - ctg(ß2).

Далее решается задача для клина. Имеем две области деформирования: I и II, изображенные на рис. 1. В области II имеем две области простых напряженных со-

стояний, соединенных между собой центрированным полем. В области I имеем два простых напряженных состояния, отделенных друг от друга линией сильного разрыва.

Рассмотрим более подробно область I, изображенную отдельно на рис. 2.

Имеем треугольники ACB и DCB на рис. 2, прямая CB - граница раздела треугольников, угол наклона прямой CB к оси Ох как угол J.

Предполагаем, что в треугольнике ACB реализуется простое напряженное состояние, в котором

оу _ 0, Тху _ 0, Ох _ -42K • cos(^/2), (18)

Характеристики здесь имеют уравнения dy¡dx _ ±д/ctg(ф/2), через них и граничные условия на OB определяется решение (18).

Далее рассматривается треугольник DCB. Нормаль П к стороне клина DB составляет с осью х угол ~~р, то есть cos(n,х)_ sinр, cos(n,у)_ -cosp.

Предполагается, что в треугольнике DCB также реализуется простое напряженное состояние с постоянными напряжениями ох, о у, тху, удовлетворяющими

условиям: касательное усилие тп на грани клина DB равно нулю (клин - гладкий), на линии CB вектор напряжений Pcb непрерывен, выполняется критерий (11). Неизвестными величинами при этом считаются: угол J, значение О. Как результат имеем три уравнения для определения трех неизвестных напряжений.

По найденным значениям О и J в треугольнике DCB и, следовательно, на границе DB находим значение on на границе DB. То есть определяется нормальное

усилие на грани клина DB и сама сила FDB _ onDBn, необходимая для осуществления деформаций на рис. 2.

Что касается области II на рис. 1, то решение в ней строится аналогично классическому, приведенному, например, в [2].

В работе приводятся значения тех и других сил на гранях клина, исследуется влияние параметра ф, угла X, угла (, раствора угла клина на значения предельных нагрузок.

Выводы.

Решена задача о внедрении жесткого гладкого клина в первоначально анизотропную среду. Определены зависимости глубины внедрения клина от угла подачи инструмента, от параметров первоначальной анизотропии среды, от раствора угла внедряемого клина.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чанышев А. И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ — Новосибирск, 1984. — Вып. 2. — С. 149—151.

2. Качанов Л.М. Основы теории пластичности — М.: Наука, 1969. — 420 с.

3. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. — М.: Недра, 1979. — 301 с.

4. Чанышев А.И., Абдулин И.М. Деформирование и разрушение первоначально изотропных сред с условием нарушения прочности Мизеса // ФТПРПИ.-2006.-№4.-с. 17-30.

© А. И. Чанышев, Г. М. Подыминогин, 2017

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.