О зависимости предельных нагрузок в задаче о внедрении инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость от упругих параметров анизотропной среды. Ч. 2. Задача о клине Текст научной статьи по специальности «Физика»

О ЗАВИСИМОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК В ЗАДАЧЕ О ВНЕДРЕНИИ ИНСТРУМЕНТА В ПЕРВОНАЧАЛЬНО АНИЗОТРОПНУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ ОТ УПРУГИХ ПАРАМЕТРОВ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ. Ч. 2. ЗАДАЧА О КЛИНЕ

Анвар Исмагилович Чанышев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН) 630091, Новосибирск, Красный просп., д. 54, заведующий лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Ильгизар Маратович Абдулин

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН) 630091, Новосибирск, Красный просп., д. 54, заведующий лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Решается задача о вдавливании жесткого клина в жесткопластическую анизотропную полуплоскость. Исследуется влияние анизотропии среды на значение предельной нагрузки.

Ключевые слова: анизотропия, жесткий клин, жесткопластическая полуплоскость.

DEPENDING ON LIMIT LOADS IN THE PROBLEM FOR THE IMPLEMENTATION TOOL FROM ORIGINAL ANISOTROPIC HALF-PLANE ELASTIC PARAMETERS OF AN ANISOTROPIC MEDIUM. PART 2. PROBLEM ABOUT THE WEDGE

Anwar I. Chanyshev

Federal State-funded institution of science n.a. Chinakal Institute of mining Siberian branch Russian Academy of Sciences (IM SB RAS) 630091, Novosibirsk Red avenue., 54, head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Ilgizar M. Abdulin

Federal State-funded institution of science n.a. Chinakal Institute of mining Siberian branch Russian Academy of Sciences (IM SB RAS) 630091, Novosibirsk Red avenue., 54, head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Solving the problem of indentation of a rigid wedge in the rigid-anisotropic half-plane. Influence of anisotropy of the medium on the value of the limit load is investigated.

Key words: anisotropy, rigid wedge, rigid half-plane.

Решению задачи о внедрении жесткого клина в жесткопластическую полуплоскость посвящены работы [1-3]. Имеется решение Хилла, Ли и Таппера [1], имеется выражение предельной нагрузки в зависимости от предела упругости среды на сдвиг, угла заточки инструмента. Ниже рассматривается аналогичная задача, но для первоначально анизотропного материала полупло ско сти.

Несколько слов о предлагаемой схеме решения. В [1] расчетная схема решения для первоначально изотропного материала имеет вид рис. 1а.

Рис. 1. Две схемы расчета задачи о клине

Здесь есть граничная линия АС, связанная с выдавливаемым материалом, при внедрении клина с раствором угла 2у. Ее положение описывается из условия несжимаемости среды, выражающееся в равенстве площадей треугольников ОБО и ACG. График изменения предельной нагрузки р / 2к, действующей на грани клина БА, от угла у имеет вид параболы на рис. 2 (сплошная линия).

Рис. 2. Зависимость предельного давления от величины угла у

Другая (предлагаемая) схема решения пренебрегает изменением границы АС полуплоскости, она представлена на рис. 1б. Здесь имеет место следующая схема расчета: есть углубление, в виде двугранного угла, в которое вставлен инструмент в форме клина с тем же самым углом заточки. Дальше рассчитывается предельное давление и сила для того, чтобы получить указанное на рис. 1б распределение линий скольжения. На рис. 2 пунктиром отмечено решение по второй расчетной схеме. Отметим, что это решение не

предполагает несжимаемости среды и пригодно для расчета любых других моделей сред. Для первоначально изотропного тела оно имеет вид р / 2к = 1 + у,

где к - предел упругости на сдвиг.

Как следует из рис. 2 это решение дает несколько завышенное значение по сравнению с классическим, но также пригодно для оценки свойств режущего инструмента.

Используем теперь соотношения работы [1] для расчета предельной нагрузки в задаче о клине, но для первоначально анизотропного материала. Имеем закон Гука в системе координат х, у, z в виде

а = а е + а е ,

х 11 х 12 у5

а = а„£ + а 22е (1)

у 12 х 22 у ,

т = а33е ,

ху 33 ху

где ау - упругие жесткости. Имеем три вида условия пластичности для

этого материала. Рассмотрим первый случай, соответствующий разным

значениям собственных чисел матрицы упругих жесткостей. Условия пластичности имеют вид:

2 (2)

|S21 = \-sx sina + sy cosa

|Sj = V2

t

xy

= K,

где K2, K3- пределы прочности среды, tg2a = 2a12 l(a11 - a12).

У A V 1 b

\ХХ/ув V( ЛдхУлХлУ x

0

Рис. 3. Распределение поля характеристик в случае внедрения острого клина

Рис. 4. Распределение поля характеристик в случае внедрения тупого клина

Поля линий скольжения в этом случае представлены на рис. 3 и рис. 4. На

рис. 3 для случая tgg ctga, на рис. 4 для случая tgg> у/ ctg а.

Рассмотрим подробнее эти рисунки. В треугольнике ABP выполняется условие пластичности

sx sin a-sy cos a = -K2, (K2 > 0), в треугольнике BPC

t =-^ (K3 > 0).

Отметим, что массив пород, описываемый системой уравнений (1), представляет собой слоистую среду. В треугольнике ABP происходит необратимое деформирование слоев, в треугольнике BPC происходит движение слоев друг по другу, в треугольнике PCD (рис. 4) так же деформируется материал слоев.

Построение решения задачи для случая рис. 3 начинается с точки A, для которой t = 0, sy = 0. Дальше рассматривается характеристика AB с

уравнением

dy = -Jtga, (3)

ax

вдоль которой справедливо соотношение на характеристике: sx - у/ctga txy = h = const. (4)

Используя граничные условия задачи для точки A и условия пластичности в треугольниках ABP, BPC, находим

s K2 4Ctga K3 (5)

:-----------m---. (5)

sin a V2

Если ввести трение на контакте «инструмент-порода», то давление p на площадку PQ оказывается равным

Р = } \-K~ + ^1= (tgg+^ctga)\. (6)

1 - kfrtgg I sin- a/2 J

На рис. 5а приведена зависимость p / K2 от параметра a при значении

угла g = 150 и для различных значений отношения K3/ К2 = (1/2,1,2, 3). На

рис. 5б приведена зависимость p/K2 от параметра g при значении угла a = 300

и для различных значений отношения K3 / K2 = (1/2,1, 2, 3).

1.5

Р / К 2 5--

4.5--

Л-.

б)

3.5--

з--

2.5"

Ш-

К3 /К2 = 0.5

а = 30°

а

0.2

0.4

0.(5

Рис. 5. Зависимость р / К2 при различных значениях, а, у отношения параметров К3 / К2 указаны на графиках

3

У

Р / К 2

'15 ° / / /

/20 ° /30 ° /

' $ /

/ /а = 40 °

/ /

* г

/ / г *

К 3/ К 2

К

Рис. 6. Зависимость р/К2 от параметра —1

К 2

при различных значениях а, при у = 15 °

К 3

На рис. 6 приведена зависимость р / К2 от параметра - при значении

К

угла у = 15 ° и при различных значениях параметра а = 15°, 20°, 30°, 40°. Сила в направлении оси у для внедрения клина получается равной

Ру = Ш^у+рА-^- + К ^у + у1 с^а)1, (7)

у [бш- ^2 )

где р* - угол трения, Н - глубина погружения клина. Аналогичное выражение предельной силы имеет место и для рис. 4.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хилл Р. Математическая теория пластичности // ГИТТЛ, - 1956.

2. Друянов Б.А. Распределение напряжений под штампом с криволинейной подошвой // ПМТФ, № 6, 1961.

3. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж. Журнал, Т. 1, В. 3, 1961.

4. О зависимости предельных нагрузок в задаче о внедрении инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость от упругих параметров анизотропной среды. Ч. 1. Задача о штампе (настоящий сборник).

© А.И. Чанышев, И.М. Абдулин, 2012