О зависимости предельных нагрузок в задаче о внедрении инструмента в первоначально анизотропную полуплоскость от упругих параметров анизотропной среды. Ч. 1. Задача о штампе Текст научной статьи по специальности «Физика»

О ЗАВИСИМОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК В ЗАДАЧЕ О ВНЕДРЕНИИ ИНСТРУМЕНТА В ПЕРВОНАЧАЛЬНО АНИЗОТРОПНУЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ ОТ УПРУГИХ ПАРАМЕТРОВ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ. Ч. 1. ЗАДАЧА О ШТАМПЕ

Анвар Исмагилович Чанышев

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им. Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН) 630091, Новосибирск, Красный просп., д. 54, заведующий лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Ольга Евгеньевна Белоусова

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт горного дела им.

Н.А. Чинакала Сибирского отделения Российской академии наук (ИГД СО РАН) 630091, Новосибирск, Красный просп., д. 54, заведующий лабораторией разрушения горных пород, тел. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Решается задача о вдавливании жесткого штампа в жесткопластическую анизотропную полуплоскость. Исследуется влияние анизотропии материала на значения предельной нагрузки.

Ключевые слова: анизотропия, жесткий штамп, жесткопластическая полуплоскость.

DEPENDING ON LIMIT LOADS IN THE PROBLEM FOR THE IMPLEMENTATION TOOL FROM ORIGINAL ANISOTROPIC HALF-PLANE ELASTIC PARAMETERS OF AN ANISOTROPIC MEDIUM. PART 1. PROBLEM OF A STAMP

Anwar I. Chanyshev

Federal State-funded institution of science n.a. Chinakal Institute of mining Siberian branch Russian Academy of Sciences (IM SB RAS) 630091, Novosibirsk Red avenue., 54, head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]

Olga E. Belousova

Federal State-funded institution of science n.a. Chinakal Institute of mining Siberian branch Russian Academy of Sciences (IM SB RAS) 630091, Novosibirsk Red avenue., 54, head. Laboratory of rock, tel. 335-97-50, e-mail: [email protected]

The problem of indentation of a hard punch in the rigid anisotropic half-plane. The effect of anisotropy of the material on the values of limit load.

Key words: anisotropy, a hard punch, rigid half-plane.

Решению задачи о внедрении в жесткопластическую полуплоскость посвящены работы [1-3]. Имеются решения Прандтля, Хилла, имеется выражение предельной нагрузки в зависимости от предела упругости среды на сдвиг. Ниже рассматривается аналогичная задача, но для первоначально анизотропного материала полуплоскости.

Рассматривается плоское деформированное состояние. Закон Гука для среды в системе координат х, у, г имеем в виде:

s.

■■ЧЄх + auey,

' al2ex + a22eу,

(1)

t = a Є ,

xy 33 xy>

где аг} - упругие жесткости, деформация е = 0, напряжение с

определяется из каких-то более общих выражений для поддержания условия

е=°-

Задача заключается, во-первых, в определении уравнений пластичности для такой среды и, второе, в построении решения для определения предельной нагрузки при вдавливании в нее жесткого штампа.

При решении первой задачи введем следующие обозначения для тензоров напряжений Тс и деформации Те:

Ts =

t

V xy

s

Te =

Vexy

є

у J

T =

Введем в рассмотрение исходный тензорный базис Тх, Т2, Т3 с координатами

(10^ (0 0^ 1 (0 1 ^

Т = Т =——

V 0 0/ 2 10 1 У 3 л/2 ^1 0У

Скалярное произведение тензоров определяется здесь формулой

(Тс,те)=сЛ,

(2)

где по повторяющимся индексам производится суммирование.

Тензоры ТС,Те в базисе Тх, Т2, Т3 имеют разложения Тс = 8%, Те = Э0Т, где 8г°

7° - координаты.

Закон Гука (1) в базисе (2) можно записать в виде:

^ (ъ, ъ, о УПО^

Б0

0 2

S0

vS J

a12 a22 00

0

a

33 J

(3)

Исходя из (3), найдем собственные числа и собственные векторы матрицы упругих жесткостей. Имеем уравнение для определения собственных чисел:

А-Щ=0,

корни которого:

al1 + a22 2

+

al1 a22 I + a 2 1 = al1 + a22

2

2

al1 a22

2

+ a122 , l3 = a33 .

Для собственных чисел l, Я, собственные векторы Ъх, Ъ2 имеют вид: Ъ = (cosa,sina,0),

Ъ2 = (- sin a, cos a,0), (4)

2ar

где tg 2a = ■

12

al1 — a22

Собственный вектор Ь3 при этом равен: Ь3 =(0,0,1). Возвращаясь от собственных векторов к тензорам, имеем:

3

2

B1 = cosa-7j + sina-T2 + 0 • T3 =

v 0 sin ay

(- sina 0 ^

B2 =- sina-Tx+ cosa-T2 + 0 • T3 = , (5)

0 cosay

v1 0y

(6)

V21

Тензоры Ts, Te в новом базисе B1, B2, B3 имеют координаты

S1 = (TS,B1) = sxcosa+sysina, S2 = -sxsina+sycosa, S3 = V2t ,

W1 = (Te,B1) = excosa+eysina, W2 = -exsina+eycosa, W3 = 4lexy.

Отметим, что в силу определения собственных чисел имеем в упругости

S = 1А, S2 = lW2, S3 =ЯПз. (7)

Критерии пластичности такой среды зависят от кратности собственных чисел [4,5]. Если все числа различные: Я фЯ2 фЯ3, то критериями пластичности будут служить следующие выражения:

И = Ki, S2I = K2, S3 = K3, (8)

где K1, K2, K3 - критерии пластичности в направлениях тензоров B1, B2, B3.

Если два числа, например, Я, =Я3 равны, то условием пластичности такой среды будет служить выражение [4,5]:

VSF+sF=k . (9)

Если три числа будут совпадать, то критерием пластичности будет служить выражение [4,5]:

a/s12 + s 22 + s32 = к, (10)

где K - экспериментально определяемая величина, константа материала.

Отметим, что переход материала в неупругое состояние предсказывается формулами (8), (9), (10) потому, что, как следует из (5), собственные тензоры B1, B2, B3 не зависят в упругости ни от напряжений, ни от деформаций и изменения напряжений и деформации по ним происходят в соответствии с (7), то есть без эффекта Пуассона.

Вторая задача решается с применением формул (8), (9), (10) и гипотезы о том, что собственные тензоры, определенные в упругости, остаются собственными и в пластичности [4,5].

Приведем решение задач о вдавливании жесткого штампа. В случае S2 = K2, S3 = K3 решение задачи для штампа имеет вид:

2K2 + K3Vsin2a

s=—2——------------, (11)

cosa

где tga определяется (4). При этом необходимо приложить к вертикально вдавливаемому штампу силу P = sy 2a, где 2a - ширина, штампа.

На рис. 1а приведена зависимость — от параметра а при отношении —

К2 К2

=0,1- линия 1, при отношении -^=1 - линия 2, при отношении —3=5- линия 3.

К2 К2

На рис.1б показана зависимость от параметра при а = Р - линия 1, при

а = — - линия 2, при а = — - линия 3.

4 6

и, рад.

ь.

к2

с К

Рис. 1а. Зависимость — от параметра а при отношении —-=0,1- линия 1,

—2 К2

—— при отношении —1 =1 - линия 2, при отношении —1 =5- линия 3.

—2 —2

Рис. 1б. Зависимость — от параметра — при а = Р - линия 1, при а = Р -

К2 —2 6 ’ ^ 4

линия 2, при а = Р - линия 3

6

В случае a = ж/4, K2 = К3 =42к критическое давление будет равно

Sy =-6К,

в то же время в решении Прандтля Sy =-(ж + 2)К.

В случае Я, =Я3 критическое давление определяется формулой

sv = -2К cosa+2Kctg2a sin a + K— [e(1, m2)- E(-1, m2)],

2cosa

где E- эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, m2 = 1-sin2a, tga определяется (4).

Учитывая определение E(m2), получаем приближенно

s =-2Кcosa+2Kctg2asina—Кж +—Кж (1 -sin2a)+.... (12)

y 2cosa 8cosa

Из (12) при а = р4 следует, что а =т:!(2+р), где т:!

^І2K 2 а,

(решение

совпадает с решением Прандтля). На рис. 2 показана зависимость от угла а .

K

а

у

K

а, рад.

а,

Рис. 2. Зависимость — от угла а

K

В случае 1=1 =1 критическое давление получается равным

а =^.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Прандтль Л. О твердости пластических материалов и сопротивлении резанию. Теория пластичности // Сб. статей - Москва. - ИИЛ. - 1963. - С. 70-79.

2. Хилл Р. Математическая теория пластичности // ГИТТЛ . - 1956.

3. Прагер В. Проблемы теории пластичности // Физматгиз. - 1958.

4. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. - 1984. - № 4.

5. Чанышев А.И. О пластичности анизотропных сред // ПМТФ. - 1984. - № 5.

© А.И. Чанышев, О.Е. Белоусова, 2012