CC BY
91
УДК 539.374
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Л. А. ГАЛИНА В ПОСТАНОВКЕ КОШИ
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ильгизар Маратович Абдулин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, младший научный сотрудник лаборатории разрушения горных пород, тел. (383)335-97-50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru
Рассматривается упругопластическая задача для выработки кругового сечения с заданными на ее границе смещениями. Для случаев полного и неполного охватов упругопластической границей контура выработки построено решение, не использующее данные на «бесконечности», позволяющее оценивать упругопластическое напряженное и деформированное состояния по данным на поверхности скважины и по свойствам среды.
Ключевые слова: напряжения, деформации, упругость, пластичность, упругопластическая граница, задача Коши.
GALIN'S PROBLEM IN THE CAUCHY FORMULATION
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Physics and Mathematics, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com
Ilgizar M. Abdulin
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk 54 Krasny prospect, Junior Researcher, Rock Failure Laboratory, tel. (383)335-97-
50,
e-mail: i.m.abdulin@mail.ru
The elastoplastic problem for a circular cross-section tunnel with the pre-set boundary displacements is under consideration. For the cases of incomplete and complete enveloping of the tunnel boundary by elastoplasticity, the authors construct the solution free of the data "at infinity", which allows assessment of the elastoplastic stresses and strains based on the data obtained on well surface and by the properties of the medium.
Key words: stress, strain, elasticity, plasticity, elastoplastic boundary, Cauchy problem.
Известно, что около отверстий образуется зона повышенных напряжений. При достижении напряжениями некоторой заданной величины материал возле отверстия переходит в неупругое состояние. Основная задача - получить распределение напряжений, деформаций, перемещений в области неупругости, найти границу, отделяющую область неупругости от области упругости.
Решению этой проблемы посвящено множество работ [1-10].
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть в направлении оси 2 деформация отсутствует ( б2 = 0 ), а в плоскости хОу задано сечение выработки в виде кругового отверстия радиуса а (рис. 1).
Пусть контур выработки свободен от напряжений:
<^=0, *гв\г=а=0- 0)
Пусть в зоне пластических деформаций справедливо условие пластичности Треска:
1тг-о- 9 ^ + 4 ^ = 2т5 , > 0), (2)
где Тх - предел упругости, сг1? сг2,сгз - главные напряжения,^ >сг2 >0"3, <т2 = <т2 , г, ср - полярные координаты, кроме того, выполняется условие соосности тензоров напряжений и деформаций:
2т 2е
_ т(р ^^
Пусть в направлении 2-го главного направления связь между напряжениями и деформациями - упругая, что соответствует известному предположению Хаара-Кармана для случая неполной пластичности [11]:
или, в силу условия £2=0, выражению
а2=у(а1+а3). (5)
Будем считать также, что исследуемый материал подчиняется закону упругого изменения объема:
(СТ1+СТ2+СТ3)(1-2У)
---= £1+е2+е3, (6)
Ь
где Е - модуль Юнга, V - коэффициент Пуассона.
Подставляя (5) в (6) и используя условие £2 ~ 0 > находим
1 3 2 О
Е
где 2 О =--модуль сдвига.
1 + 1/
Далее, используя уравнения равновесия сГу = 0 и условие
пластичности (2), имеем известную [12] гиперболическую систему уравнений с двумя характеристиками, совпадающими с направлениями действия максимального касательного напряжения, и двумя соотношениями на них, связывающими среднее напряжение и угол, задающий направление главных осей тензоров напряжений или деформаций (оси по условию (3) совпадают). Используя это обстоятельство и граничные условия (1), находим, что напряжения в области пластичности определяются однозначно выражениями
г
стг = 2тs In —
а
v<p=-2tS +2rsln-.
Y a
r
(8)
При этом однако неизвестно до какой границы распространяется это решение (8). Чтобы определить ее, будем считать, что на границе выработки г-а известно также распределение перемещений в виде:
'= =Ф), иЛ__ =р{ср\ (9)
Ы„
где иг - радиальное, и^- тангенциальное перемещение, ср - полярный угол, ос, ¡3 - заданные функции.
Для отыскания смещений, а по ним деформаций еГ(р, перепишем
условия (3), (7) в терминах перемещений иг, и Имеем
ды
дг ды„
r иг ди
г +_г
/
+--
г гд(р
г
V
l-2ln-
a j
г, (1-2 v)
G
ди,
+
um
г
(10)
гд(р дг
Первое уравнение в (10) - по существу (7), второе уравнение - есть (3) при условии тг(р = 0, определяющее равенство sr(p = 0.
Используя (10), получим сейчас уравнения отдельно для нахождения смещений ur , uf соответственно. Возьмем от первого уравнения (10)
производную д / г дер, а от второго - производную д I дг и вычтем из первого уравнения второе. В результате имеем
2 ди„
1 д2и
+
<р
д2и,
и 1 ди
+--— = 0.
.2 г дг
(11)
г д(р rz д(рдг- г' Используя второе уравнение (10) (заменяем через него производную дыг / тд(р), получаем отсюда
1 ди<р
д2и
<р
д2и,
и,
дгл
2д 2
г д(р
+
г дг
= 0.
(12)
В это уравнение не входит иг , т.е. оно в чистом виде определяет
смещение и . Из (12) непосредственно следует принадлежность этого
уравнения к гиперболическому типу с двумя вещественными характеристиками, совпадающими с логарифмическими спиралями.
2
г
Следующий шаг - продифференцируем первое уравнение (10) по т , а от второго уравнения возьмем производную д / г дер , после чего вычтем из первого уравнения второе. В результате находим
д2иг 1 д2иг 1 диг иг 2т8(\-2у)
+ = -^ (13)
дг2 г2 д(р2 г дг г2 гО Это - неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка для определения смещения ит. Его решение ищем в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного. Частное решение неоднородного уравнения есть
частное , л л ^ в
(1 - 2у)
иг -у4г1пг,где А--. (14)
С
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее (13), имеет вид (12). Дальнейшая задача заключается в написании общего решения однородного дифференциального уравнения (12). Будем отыскивать решения (12) в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от «своего» аргумента:
и9=КШ<р). (15)
Отметим, что принятию этого выбора благоприятствует вид граничных условий задачи (9). Подставляя (15) в (12), находим уравнение
2 — —
ё(Ф) /I г Г _
Здесь штрихами обозначаются производные. Слева в (16) стоит функция переменной ср, справа — переменной г.
Очевидно, что должна быть периодической функцией угла ср (период должен совпадать с 2л-). По этой причине положим
g\<P)= к2г g(<P) '
где к - целое число.
Тогда функция g((p) определится как
g(<p) = Q eos к(р + С2 sin к(р, (17)
где Ci, C2 - произвольные постоянные. Для определения функции f имеем уравнение
2
f + lm-QzhJL = 0. (18)
Г г
Будем искать решение (18) в виде
f = r\
где X - постоянное число.
Для Я из (18) получаем значения:
112 =±Vl-к2.
Если к = 0, то
А
/ = Д г + — {DbD2- константы), (19)
если к = ±1, то
/ = Д1п r + D2, (20)
в противном случае (\к\ > 2 ) числа X получаются комплексными (чисто мнимыми) и решение f записывается в виде:
f(r) = D1 cosln r^1 + D2 sin In r^1 (21)
потому, что
Л к2 1 1п г^к 2 1 п/к2-Ни г г = е = е
Аналогичное описание дается общему решению однородного дифференциального уравнения, соответствующего (13). Таким образом, показано, что по данным измерений смещений на поверхности выработки определяется напряженно-деформированное состояние в области пластических деформаций, включая упругопластическую границу.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Галин Л.А. Плоская упруго-пластическая задача. ПММ, 1946, Т. 10, в. 3
2. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче Л.А. Галина. ПММ, 1957, Т. 2.
3. Эрлихман Ф.М. Определение перемещений в задаче Л.А. Галина. ДСС, Новосибирск, ИГ СО АН СССР, 1970, в. 4.
4. Аннин Б.Д. Одна плоская упруго-пластическая задача при экспоненциальном условии текучести. Инж. журнал МТТ, 1966, №3.
5. Савин Г.Н., Парасюк О.С. Влияние неоднородного напряженного поля на пластическую зону возле отверстия. ДАН УССР, 1948, №3.
6. Черепанов Г.П. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей. ПММ, 1964, Т. 28, в. 1.
7. Остросаблин Н.И. Определение смещений в задаче Л.А. Галина. ДСС, Новосибирск, ИГ СО АН СССР, 1973, в. 14.
8. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упруго-пластической плоскости, ослабленной отверстием. ПММ, 1987. Т. 51. №5. С. 314-322.
9. Чанышев А.И., Имамутдинов Д.И. Решение упруго - пластической задачи о протяженной цилиндрической выработке. ФТПРПИ. - 1988.-№5
10. Остросаблин Н.И. Плоское упругопластическое распределение напряжений около круговых отверстий. - Новосибирск: Наука, 1984. - 113 с.
11. Христианович С. А., Шемякин Е. И. К теории идеальной пластичности / Изв. АН СССР, МТТ . 1967. - № 5. - С 86-97.
12. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1969. — 420с.
Г
© А. И. Чанышев, И. М. Абдулин, 2014
