Задача об определении положения динамического источника возмущений по данным измерений смещений на поверхности (плоская деформация) Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 622.83

ЗАДАЧА ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ СМЕЩЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ (ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ)

Анвар Исмагилович Чанышев

Институт горного дела им. Н.А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный просп., 54, доктор физико-математических наук, заместитель директора по научной работе, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]

Михаил Николаевич Петров

Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, студент, тел. (383)335-97-50, e-mail: petrovmn.93 @mail.ru

Рассматривается динамическая задача для полупространства с неизвестным источником возмущения внутри. На поверхности полупространства во времени измеряются вертикальное и два горизонтальных смещения. При известных значениях упругих характеристик среды определяются положение источника и интенсивность его действия. Приводится пример решения задачи.

Ключевые слова: уравнения упругости, источник возмущения, задача Коши.

PROBLEM ON LOCATION OF DYNAMIC EXCITATION SOURCE BY USING SURFACE DISPLACEMENT MEASUREMENTS

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Dr Physics and Mathematics, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]

Mikhail N. Petrov

Novosibirsk State University, 630090, Russia, Novosibirsk, 2 Pirogova St., Student, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]

The authors solve the dynamic problem on a half-space with an unknown excitation source inside it. The displacement of the half-space surface in one vertical and two horizontal directions is measured. With the known elastic characteristics of the medium, it is possible to locate the excitation source and to estimate its intensity.

Key words: Cauchy problem, dynamics, half-space, excitation source.

Рассматривается задача об источнике динамического возмущения земной поверхности. Смысл задачи следующий: есть заглубленный в землю источник, который посылает сигналы, на поверхности земли есть приемники, измеряющие смещения в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Известны не только точечные измерения смещений, известны смещения как функции координат земной поверхности х, у и времени t. В предположении,

что поверхность земли свободна от напряжений, требуется определить координаты источника, интенсивность его возмущения и, кроме того,

характеристики его движения, если есть, например, движущийся пробойник в грунте и требуется найти его положение. Относительно среды предполагается, что известна её плотность, все константы упругости (модуль Юнга, коэффициент Пуассона).

Отметим, что решению поставленной задачи посвящено множество работ, например [1-2], но все они в какой-то степени рассматривают предложенную ситуацию как обратную задачу. То есть имеют в виду фиксированный источник, его интенсивность, затем происходит подбор указанных параметров так, чтобы вычисленные смещения на поверхности земли совпадали бы с экспериментально измеренными, для этого применяется метод наименьших квадратов. Изложенную здесь ситуацию мы изучаем не как обратную, а как задачу Коши. В чем суть этой постановки и каков метод её решения, поясним на следующем упрощенном примере. Будем рассматривать не пространственную картину, а случай плоской деформации. В системе координат хО у, имеем границу с уравнением у- О, на которой заданы нормальное напряжение <уу, касательное т^, нормальное смещение иу , касательное их . Все эти величины считаются заданными функциями координаты х и времени г:

о-у = сгу0,0, т^ = 7^0,0, иу = иу О,*1), их = их0,0-

У

ху

ху

У'

(1)

Для решения задачи имеем: уравнения равновесия

' ху

дх дт

ду

ху доу

+ — = Р

ху

д\

аг2 д\

я2

(2)

соотношения закона Гука:

Е

<7,

\-у)8

х+У£у

(\ + у)(\-2У)

=~-.Е _ К+С1 ~у)£У2_

(\ + у)(\-2у)

Е

Т = -Р

(3)

соотношения Коши:

дил

дх

ди

у

ду

'ху

1 (дих + диу

2 ду дх

(4)

)

X

Задачу будем решать конечно-разностным методом. Вычисления начнем вести с границы у = О , углубляясь вниз. Пусть время соответствует некоторому значению ¿0 . Для этого времени на всей границе известны

д2и д2Му

ускорения —, —-—. Прежде всего определим все основные величины на

дГ дГ

границе у = 0. Поскольку из (1) на границе у = 0 известно перемещение их, то в силу первого соотношения (4) на этой границе в момент времени г0 становится известной деформация ех . Поскольку при у-0 известно напряжение ау , то в силу второго соотношения (3) на этой границе становится известной деформация Еу. Далее, в силу первого соотношения (3) при известных деформациях ех,еу становится известным напряжение <хх. В силу первого соотношения (3) при известном напряжении тху при у-0 становится известной деформация е . Время г здесь пока всюду фиксировано и равно ¿0 • Это означает, что на границе у = 0 становятся известными все величины - все компоненты тензора напряжений - ах,ау,тху , все компоненты тензора деформации - ех,е е неизвестной остается только величина поворота:

1 диу дих

^ = (5)

2 дх ду

Однако и она определяется в силу того, что на границе = 0 будет

ди

известной производная ——, а это означает в силу определения деформации

дх

сК=? ди1

, что становится известной производная: ^^ = 2s--—. Отсюда, зная

ду дх

ди дих

——,—-, находим при у-yj искомую компоненту вектора поворота coz .

дх ду

Следующий шаг - опускаемся на величину h по оси y вниз. Для этого нам потребуются уравнения (1). Поскольку известны зависимости иу =uy(x,t), их =ux(x,t), то на границе ,у = 0 находим вторые производные

от этих функций по времени t. В конечно-разностном виде имеем:

д2их

dt2

n+l 2uZ+un~l д2ил

t=tQ+nT

2 ' т dt

unv+l-2unv+un~l y y . (6)

r2

t=t§+nr

Теперь обратимся к первому уравнению (2). Поскольку известно

Л 5сгх

напряжение <хх при у = 0, то известна производная —- в момент времени

дх

дт

г = ¿о • Из первого уравнения (2) находим —— и, поскольку г известно при

ду

у = О , находим т^ на слое у = -И для времени t = t0 . Рассматривая аналогично второе уравнение (2), находим сту на слое у = -к для времени t = t0 . Из определения деформации ву (вторая формула (4)) находим смещение иу на слое у = -И в момент времени 1 = . Из определения

ди

деформации е (третья формула (4)) через производную —— на границе

дх

у = 0 находим смещение их на слое у = -И. Теперь на слое у = -И уже становятся известными величины сту,тху,их,иу и ситуация повторяется. По первой формуле (4) находим деформацию £х . По второй формуле (3) находим при известном <уу величину £ , затем <тх . Далее находим деформацию е и величину поворота со2 при у = -к.

Точно также поступаем и для других времен. То есть считаем на слое у--к все компоненты тензоров напряжений и деформаций в моменты времени г = ?0 = + 2т ..л = +пт.

Дальнейшая задача - опуститься на слой у = -2к. Здесь мы должны опять использовать уравнения равновесия (2). На слое у = -И имеем смещения их в моменты времени г = + г,? = + = + Зт и т.д. На этом слое требуется составить вторую производную от смещения их . Это

д2их

возможно сделать в момент времени г = + т:

&2

9 10

их - 2 их + их

т2

Следовательно, для слоя у = -И мы должны брать все напряжения, деформации, отнесенные к моменту времени г = + т . Поскольку известно

7 5СГХ

напряжение ах щжу = -п, то известна производная —- в момент времени

дх

дт

t = t0 + т. Из первого уравнения (2) находим —— и, поскольку т известно

ду

при у = -И, находим тху на слое у = -2к для времени t = t0+т. Аналогично предыдущему находим все величины ( сгх,сгу,тху , £х,£у,£ху ), включая их, иу, иг на этом слое. Повторяем все эти расчеты для всех других времен. Далее опускаясь на слой у = -3к мы также должны определить вторые

производные от их,иу по времени г в момент времени t = t0+2т. На слое у = -2Л составляем производную

д2их

а2

9 1

2

т

/=/0+2 г

Процесс таким образом повторяется. Для проверки расчетной схемы был составлен следующий тест: пусть в начале системы координат х0у имеется цилиндрический источник возмущения. Закон деформирования среды вокруг источника описывается уравнением:

д2и I ди и 1 д2и

9+-^---7 = (?)

дг1 Г дг г1 а1 дГ

где а2 =-———^-, р - плотность, Е - модуль Юнга, V - коэффициент

р( 1 + у)( 1 - 2 у)

Пуассона.

Решение (7) отыскиваем методом разделения переменных:

И = /('ЖО- (8)

Подставим (8) в (7), проводим преобразования и приравниваем левую и правую части некоторому параметру -Л2 , получаем соответствующие уравнения для нахождения функций /(г)^(7). Функция g(t) имеет вид:

g(t) = Сх о,оъ(аАх) + С2 эт(аЛг). Полагая g(t) = 0 при? = 0, находим, что Сх = 0 и g(t) = С2 &т(а?а) . Для функции f(r) получаем дифференциальное

2 2 2 уравнение Бесселя г /"(г) +//'(г) + (Я г -1)/(г) = 0, общее решение

которого есть линейная комбинация двух функций Бесселя 1-го и 2-го родов. Для анализа возьмем функцию смещения и в виде:

и = Сх Зх (Лг) 8ш( а Ах), (9)

где ^(Лг) - функция Бесселя 1-го рода. Тогда

и . . , , .^(Лг) бс= — = ЛСХ $щаЛ1) , ^ г Л

8Г=^ = ли, (Лг) - зт(аЛО,

в дг Лг МЛг) (Ю)

аг = --—— [(1 - у)Л/0 (Лг) - (1 - 2у)Л ~^]сх (аМ),

(1 + 1/)(1 - 2 у) Лг

стт =---[уЛ/0 (Лг) - (1 - 2у)Л ^^]СХ ът(аАл).

* (\ + у)(\-2у) 04 У v ^ Лг 1 ^

Задача следующая: пусть на границе у = Н заданы функции (10). Требуется по предложенному выше алгоритму найти распределения (9), (10) для всех значений г,ср или перейдя к декартовым координатам для х,у.

В работе создана программа численного счета, производится сравнение численного и аналитического решений.

Таким образом, разработан алгоритм решения динамической задачи по определению источника возмущений по заданным напряжениям и смещениям на границе тела. Построен тестовый пример, проведено сопоставление расчетных и аналитических зависимостей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. 2 изд. Новосибирск: Сибирское Научное Издательство 2009.

2. Тимофеев В. Ю. Использование космических технологий (GPS) для изучения движений Горного Алтая [Текст]/ В. Ю. Тимофеев, Д. Г. Ардюков [и др.]// Активный геофизический мониторинг литосферы Земли: материалы 2-го междунар. Симп., Новосибирск, 12 - 16 сентября, 2005. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. - с.186-189

© А. И. Чанышев, М. Н. Петров, 2014