Деформационная теория разрушения горных пород и ее анализ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 539.3

DOI: 10.18303/2618-981X-2018-6-257-265

ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД И ЕЕ АНАЛИЗ

Анвар Исмагилович Чанышев

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник; Новосибирский государственный университет экономики и управления, 630099, Россия, г. Новосибирск, ул. Каменская, 52, зав. кафедрой математики и естественных наук, тел. (383) 335-97-50, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Ильгизар Маратович Абдулин

Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный пр., 54, научный сотрудник, тел. (383) 335-97-50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru

Строятся определяющие соотношения разрушения горных пород деформационного типа, связывающие полные напряжения с полными деформациями. Предполагается, что в процессе разрушения главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают (первоначально изотропная среда). Рассматривается собственный тензорный базис для металлов, включающий в себя шаровой тензор и девиатор. Данный базис не является собственным для горных пород. В результате поворота этого базиса в плоскости, проходящей через шаровой тензор и девиатор, достигается такое его положение, при котором повернутый базис становится собственным для горных пород. Этот факт проверяется с применением данных опытов Став-рогина А.Н. С использованием указанного представления разработаны определяющие соотношения разрушения горных пород при плоской деформации. Показывается, что система дифференциальных уравнений задачи гиперболического типа с четырьмя соотношениями на них, связывающими такие величины как среднее напряжение, максимальное касательное напряжение, угол, задающий главные оси тензора напряжений, угол поворота. Показывается, что граничные условия искомых функций определяются через заданные на границе вектор напряжений Коши, и вектор перемещений.

Ключевые слова: горные породы, разрушение, деформационная теория, паспортные зависимости, характеристики, соотношения на характеристиках, полные напряжения, полные деформации.

DEFORMATION THEORY OF ROCK DESTRUCTION AND ITS ANALYSIS

Anvar I. Chanyshev

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, D. Sc., Chief Researcher; Novosibirsk State University of Economics and Management, 52, Kamenskaya St., Novosibirsk, 630099, Russia, Head of Mathematics and Natural Sciences Department, phone: (383)243-94-75, e-mail: a.i.chanyshev@gmail.com

Il'gizar M. Abdulin

Chinakal Institute of Mining SB RAS, 54, Krasny Prospect St., Novosibirsk, 630091, Russia, Researcher, phone: (383)335 97 50, e-mail: i.m.abdulin@mail.ru

The article presents constructed defining relations of rock destruction of deformation type connecting the total stresses with total deformations. It is assumed that in the process of destruction the principal axes of stress and deformation tensors coincide (initially an isotropic medium). The authors consider a proper tensor basis for metals, which includes the spherical tensor and the devia-

tor. This basis is not proper for rocks. As a result of the rotation of this basis in the plane passing through the spherical tensor and the deviator, the basis is in the position in which the rotated basis becomes proper for the rocks. This fact is verified using A.N. Stavrogin experimental data. With the help of the data the defining relations of the rock destruction with plane deformation are developed. It is shown that the differential equations system of a problem of a hyperbolic type with four relations on them connects such quantities as the average voltage, the maximum shear stress, the angle specifying the principal axes of the stress tensor and the angle of rotation. It is shown that the boundary conditions of the sought functions are determined through the Cauchy stress vector and the displacement vector given at the boundary.

Key words: rocks, destruction, deformation theory, passport dependence, characteristics, relations on characteristics, total stress, total deformation.

Введение

В механике деформируемого твердого тела различаются теории, в которых связываются напряжения и деформации (теории деформационного типа), и теории, связывающие приращения напряжений с приращениями деформаций (теории типа пластического течения). Для описания разрушения горных пород возможно построение теорий как деформационного типа, так и теорий типа пластического течения. Вариант теории типа пластического течения предложен в [1]. Ниже рассматривается теория разрушения деформационного типа. Для наглядности здесь будет исследован лишь случай плоского деформированного состояния.

Деформационная теория разрушения для плоской деформации

Таким образом вводится прямоугольная декартова система координат xOyz, вдоль оси z предполагается, что деформация отсутствует (sz = 0), перемещение uz = 0, другие смещения u и v зависят только от координат x, y [2]. Для того чтобы деформация sz была равной нулю, необходимо приложение вдоль оси z соответствующие нагрузки ст z. Будем считать, что эта зависимость

определяется из какой-то более общей модели деформирования и разрушения горных пород чем та, которая будет исследоваться ниже.

Для формулировки соотношений между напряжениями и деформациями используем двумерные аналоги тензоров напряжений и деформаций Тст и Ts :

Т =

1ст

wx "xy

VхХУ стy J

T =

ux °xy Vsxy sy J

(1)

где

du

s x = T", s y =

dx

dv

dy''

Sxy 2

du dv dy dx j

(2)

1

Рассмотрим тензорный базис

'1 0л

т - 1

v0 1 у

T2

V2

1 о

V0 -Ъ

Тз

V2

0 1

V1 0У

(3)

Базис (3) является собственным для упругих деформаций металлов. При-

Е

чем вдоль орта Т собственное число 2к = --—--, вдоль ортов Т2 и Т3

эти числа равны 2ц -

E

(1 + V)

О - 2V )(1 + V )

(корень характеристического уравнения кратный,

имеет кратность 2). Базис (3) не является собственным для горных пород. Так, изменение объема, измеряемое величиной вх + ву, не пропорционально «гида х +а у

ростатическому» сжатию, измеряемому величиной —-——. И, кроме того,

объем зависит от приложения касательных напряжений. Далее вводятся единичные орты

Т

1

V2

1 0~

V0 1 у

, D - T2cos2e + T3sin29,

где tg 2e

2х

xy

а xy

tg 2 (1, x), e - угол между первым направлением для тензо-

ра Та и осью Ох. Предполагаем, что главные оси тензоров Та и Тв совпадают

т. е.

e - Q, где tg2Q - 2sxy/(еx - еy ).

(4)

Далее следует поворот тензорного базиса Т1, D вокруг начала координат на некоторый угол ф*, при котором вдоль нового базисного орта

Tm - Т cos ф* - Dsin ф*

связь между проекциями тензоров Ta, Te на этом направлении станет линейной (пропорциональной). Тогда вдоль орта

T - T1 sin ф* + D cos ф*

связь между проекциями будет нелинейной, но не зависящей от положения тензоров Ta, Te в данном тензорном пространстве, что подтверждается обработкой экспериментальных данных [3], проведенной в [4].

В итоге в упругости получаются следующие зависимости:

О

т

8| + 83

72

8| -83 . СОБ ф*--1 .— 3 Б1П ф*

-1« - -

т

2 к т 2 к

72

. 72

"|-"3 •

СОБ ф*--1 г- 3 Б1П ф*

л/2

о,

81 + 83

72

8| - 83 Б1П ф* + 1 .— 3 СОБ ф*

^ - ^

2ц 2ц

72

"1 +"3

. 72

"| - "3

Б1П ф* + 1 г- 3 СОБ ф*

72

(6)

где характеристическая связь О/ - — Б} отражает упругое состояние горной

2ц

породы на рис. 1 при сдвигах.

мОр а

-М_^

Рис. 1. Диаграмма изменения напряжения Б/ с ростом деформации О/. Угол х характеризует модуль спада на запредельной стадии деформирования

горных пород

Ниже исследуется запредельное деформирование горных пород. Помимо зависимости (5) предполагается еще и выполненным соотношение:

Б

О р -О/

2ц*,

(7)

где Ор - предельная деформация на рис. 1, 2ц* - модуль спада на этом рисунке. Из (7) следует, что

„ 8| + 83 . 8| — 83

О/ - 1 3 Б1П ф* + 1 3

72

72

гл Б/

соб ф*-о^ - 1

2ц*

Отметим, что в (5)-(8) cti, sl5 s2 - главные напряжения и деформации

соответственно.

С применением (5)-(8) получаем соотношения

Si + s3 л/2" _ .

s = —-3 = —Qnsinф* + Act-BT ,

2 2 p

в -e ^ (9)

r = Sl—— = — Q p cos ф* - Bct + CT,

. cos2 ф* sin2 ф* sln2ф*

где A =-1---—, B =

1 1 --+ —

ц* k

„ sin2 ф* cos2 ф*

C =-1---—, ct, s -

2k 2ц*

2к 2 4

средние напряжение и деформация, Т, Г - максимальное касательное напряже ние и сдвиг так, что

(10)

стх = ст + Т соб29, сту =ст- Т соб29, т ^у = Т Бт29, е х = е + Г соб29, е у = 8-Г соб29, 8 Ху = Г Бт29.

Характеристики и соотношения на них

Далее используются уравнения равновесия

дст ^т 5т дст у

^ + = 0, —^ + ^ = 0 (11) дх ду дх ду

и уравнения совместности деформаций, записанные в виде

де х де ху дж2 5еу де ху дж

, (12)

ду дх дх дх ду ду

Подставляя в (11), (12) соотношения (10), (9), получаем в итоге систему четырех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для отыскания неизвестных функций ст = ст(х,у), Т = Т(х,у), 9 = 9(х,у),

ж2 = ж2 (х, у). Присоединяя к системе выражения полных дифференциалов искомых функций, определяем условия гиперболичности этой системы уравнений (эллиптическая, параболическая, гиперболическая система уравнений). Если

обозначить "Л = —, то характер системы зависит от наличия вещественных кор-

ёх

ней характеристического уравнения

Л4^4 + Л3^3 + Л2т\2 + Л1ц + Л0 = 0, (13)

где коэффициенты Л4, А3, А2, Аь А зависят от многих параметров и, в частности, от угла 0 , от коэффициентов системы уравнений (9).

При определении корней (9) будем исходить из следующего предположения: если у этого уравнения есть вещественные характеристики, то они должны быть симметричны относительно первого главного направления. Т.е., если сделать в (13) замену

Л = tg (0 + р), (14)

то относительно Р должны получить биквадратное уравнение. Это легко проверяется при подстановке (14) в (13). В результате при обозначении

к = (15)

вместо (13) приходим к следующему биквадратному уравнению относительно угла Р

В4к4 + В2к2 + В0 = 0, (16)

где

В4 = а - ЬБт2ф*, В2 = -2

1

2Г

— + Ь соБ2ф*

Во = а + Ь Бт2фн,

а

■1. Ь

1

1

2ц* 2к 2ц* 2к Корнями этого уравнения служат выражения

к

1,2,3,4

= +

42

2

1

2 Г Т + Ь соБ2ф* 1 ¡а + Ь Бт2ф*

а - 1 -Ь Бт2ф* V а - ЬБт2ф*

+

+

42

2

1

2 Г Т + Ь соБ2ф* ¡а + Ь Бт2ф*

а- -Ь Бт2ф* V а - ЬБт2ф*

Легко видеть вещественность этих корней.

Таким образом получаются четыре вещественные характеристики. Запишем теперь соотношения на них. В результате имеем

к

Т(А + 2В + С)к2 + (А + 2В - С)Т + 2Г йъ - 2к(СТ - Г)йТ +

+2Т

ВТ (к2 +1) + (СТ - Г)(к2 -1) й0 - Т (1 + к2) = 0

или с учетом (16) получаем

( ™ 2 В соБ2р +

V

Г-СТ

ё ст + ёТ +

2Т

Бт2р

( ™ ВТ Л

сов2Вч--

V Г-СТ)

ё 9-

Т

, ч —ёж = 0.

(Г- СТ) б1И2Р 2

Рис. 2. Характеристические линии запредельной деформации, выходящие из границы области

Решение любой задачи при разрушении горных пород состоит в движении вдоль характеристик (13) так, как показано на рис. 2.

Отметим, что исследованию запредельного деформирования горных пород посвящено множество работ, например, [5-15]. В этих работах параметры разрушения, включая критерии прочности, не связываются с поведением материалов в упругости, в пластичности. Как правило, эти величины носят характер аппроксимаций экспериментальных данных. Мы же предполагаем, что существует связь между упругим поведением материалов и их неупругим. Эта связь осуществляется через одну и ту же (неизменную в процессе деформирования!) структуру среды. Единство структуры выражается в том, что собственные тензоры для всех этих состояний не меняются с ростом деформации. Поэтому предложенные нами соотношения не являются в чистом виде аппроксимациями результатов тех или иных опытов.

Заключение

1. Построена модель запредельной деформации горных пород деформационного типа.

2. Определены характеристики системы дифференциальных уравнений разрушения, соотношения на характеристиках.

3. Граничные значения искомых функций ст, Т, 9, ж находятся однозначно путем задания на границе одновременно и вектора напряжений Коши, и вектора смещений. Поскольку значения искомых функций находятся однозначно

и определитель системы уравнений (17) на характеристиках не обращается в ноль, то отсюда следует еще такой вывод: справедлива теорема единственности решения задач запредельного деформирования горных пород.

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ (№ 18-0500757 А).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чанышев А. И., Абдулин И. М. Характеристики и соотношения на характеристиках на запредельной стадии деформирования горных пород // ФТПРПИ № 5 - 2008, C. 27-41.

2. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. - Москва: Гостехиздат, 1956. - 324 с.

3. Ставрогин А. Н., Тарасов Б. Г. Экспериментальная физика и механика горных пород. С.-П.: Наука, 2001. 344 с.

4. Чанышев А. И. Построение паспортных зависимостей горных пород в допредельной и запредельной областях деформирования // ФТПРПИ. - 2002. - №5.

5. Петухов И. М., Линьков А. М. Механика горных ударов и выбросов. - М.: Недра, 1983, 280 с.

6. Оловянный А. Г. Механика горных пород. Моделирование разрушений. - СПб.: ООО «Издательско-полиграфическая компания «КОСТА», 2012. - 280 с.

7. Tarasov B. G., Randolph M. F. Frictionless shear at great depth and other paradoxes of hard rocks // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2008. 45 (3), pp. 316328.

8. Tarasov B. G. Fan-structure shear rupture mechanism as a source of shear rupture rockbursts // Journal of the Southern African Institute of Mining and Metallurgy, 114(10), pp. 773-784.

9. Tarasov B. G., Guzev M. A., Sadovskii V. M., Cassidy, M. J. Modelling the mechanical structure of extreme shear ruptures with friction approaching zero generated in brittle materials // International Journal of Fracture 207(1), 2017. pp. 87-97.

10. Hoek E., Bieniawski Z. T. Brittle fracture propagation in rock under compression // International Journal of Fracture, Volume 26, Issue 4, December 1984, pp. 276-294.

11. Hoek E., Martin C. D. Fracture initiation and propagation in intact rock - A review // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering Volume 6, Issue 4, August 2014, pp. 287-300.

12. Rafiei Renani H., Martin C.D., Hoek E. Application of the Christensen Failure Criterion to Intact Rock // Geotechnical and Geological Engineering, Volume 34, Issue 1, 1 February 2016, P.297-312.

13. Christensen R.M. Materials failure theory and applications, change is coming // Journal of Engineering Materials and Technology, Transactions of the ASME. Volume 139, Issue 4, 2017, 041005

14. Christensen R.M. Perspective on Materials Failure Theory and Applications // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. Volume 83, Issue 11, 1 November 2016, 111001.

15. Meng F., Zhou H., Wang Z., Zhang C., Li S., Zhang L., Kong, L. Characteristics of Asperity Damage and Its Influence on the Shear Behavior of Granite Joints // Rock Mechanics and Rock Engineering. Volume 51, Issue 2, 1 February 2018, pp. 429-449.

REFERENCES

1. Chanyshev, A.I., Abdulin, I.M. (2008j Harakteristiki i sootnosheniya na harakteristikah na zapredel'noj stadii deformirovaniya gornyh porod [Characteristics and ratios on the characteristics at the outermost stage of rock deformation], FTPRPI, 5. pp. 27-41. [in Russian].

2. Kachanov, L.M. (1956) Osnovy teorii plastichnosti [The fundamentals of the theory of plasticity]. - Gostekhizdat. [in Russian].

3. Stavrogin, A.N., Tarasov, B.G. (2001) Eksperimental'naya fizika i mekhanika gornyh porod [Experimental physics and mechanics of rocks] S.-P.: Nauka [in Russian].

4. Chanyshev, A.I. (2002) Postroenie pasportnyh zavisimostej gornyh porod v dopredel'noj i zapredel'noj oblastyah deformirovaniya [Construction of passport dependencies of rocks in the near and beyond regions of deformation], FTPRPI, 5. [in Russian].

5. Petukhov, I.M. & Linkov, A.M. (1983). Mekhanika gornykh udarov I vybrosov [Mechanics of mountain impacts and emissions]. Moscow: Nedra [in Russian].

6. Olovyannyj, A.G. (2012) Mekhanika gornyh porod. Modelirovanie razrushenij. [Mechanics of rocks. Modeling of destructions] - SPb.: OOO «Izdatel'sko-poligraficheskaya kompaniya «KOSTA. [in Russian].

7. Tarasov, B.G., Randolph, M.F. (2008) Frictionless shear at great depth and other paradoxes of hard rocks // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 45 (3), pp. 316-328.

8. Tarasov, B.G. (2014) Fan-structure shear rupture mechanism as a source of shear rupture rockbursts. // Journal of the Southern African Institute of Mining and Metallurgy, 114(10), pp. 773784.

9. Tarasov, B.G., Guzev, M.A., Sadovskii, V.M., Cassidy, M.J. (2017) Modelling the mechanical structure of extreme shear ruptures with friction approaching zero generated in brittle materials // International Journal of Fracture 207(1), pp. 87-97.

10. Hoek, E., Bieniawski, Z.T. (1984) Brittle fracture propagation in rock under compression // International Journal of Fracture, Volume 26, Issue 4, pp. 276-294.

11. Hoek, E., Martin, C.D. (2014) Fracture initiation and propagation in intact rock - A review // Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering Volume 6, Issue 4, pp. 287-300.

12. Rafiei Renani H., Martin, C.D., Hoek, E. (2016) Application of the Christensen Failure Criterion to Intact Rock // Geotechnical and Geological Engineering, Volume 34, Issue 1, pp. 297312

13. Christensen, R.M. (2017) Materials failure theory and applications, change is coming // Journal of Engineering Materials and Technology, Transactions of the ASME. Volume 139, Issue 4, 041005

14. Christensen, R.M. (2016) Perspective on Materials Failure Theory and Applications // Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME. Volume 83, Issue 11, 111001.

15. Meng, F., Zhou, H., Wang, Z., Zhang, C., Li, S., Zhang, L., Kong, L. (2018) Characteristics of Asperity Damage and Its Influence on the Shear Behavior of Granite Joints // Rock Mechanics and Rock Engineering. Volume 51, Issue 2, pp. 429-449.

© A. H. Hanumee, H. M. ASdynun, 2018