CC BY
90
УДК 539.42
Модель разрушения анизотропных горных пород при сложном нагружении
В.И. Карев, Д.М. Климов, Ю.Ф. Коваленко, К.Б. Устинов
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия
Предложена модель деформирования и разрушения слоистых горных пород, обладающих анизотропными прочностными свойствами. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование влияния величины и ориентации главных напряжений относительно плоскостей напластования горных пород на их прочность и геометрию разрушения. В условиях сложного истинно трехосного напряженного состояния рассмотрены два возможных механизма разрушения: по плоскостям напластования, являющимся плоскостями ослабления, и по плоскостям, на которых достигается критическое значение комбинации напряжений типа Кулона-Мора с коэффициентом сцепления и углом внутреннего трения, характеризующими породу в целом. Для описания перехода деформирования горных пород в неупругое состояние были использованы критерий, учитывающий возможность реализации двух указанных механизмов, и полуэмпирический критерий, аналогичный критерию текучести Хилла для анизотропных сред, учитывающий влияние нормальных напряжений. Проведено экспериментальное изучение деформационных и прочностных свойств горных пород из продуктивных пластов двух нефтегазовых месторождений — Федоровского и Талаканского. Исследования проводились с использованием испытательной системы трехосного независимого нагружения, разработанной в Институте проблем механики РАН. Горные породы испытывались по двум группам программ нагружения, соответствующим условиям сжатия с боковым поджатием (аналогично кармановской схеме) и условиям обобщенного сдвига (при неравенстве и немонотонности всех трех главных напряжений). Получены полные кривые деформирования. Результаты исследования показали хорошее качественное соответствие экспериментальных результатов и теоретических оценок. Показана возможность на основе испытаний конкретных горных пород определять значения параметров, входящих в предложенную модель.
Ключевые слова: горная порода, анизотропия прочности, критерий разрушения, истинно трехосные испытания
Fracture model of anisotropic rocks under complex loading
V.I. Karev, D.M. Klimov, Yu.F. Kovalenko, and K.B. Ustinov
Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia
A deformation and fracture model has been put forward for stratified rocks with anisotropic strength properties. The effect of the principal stress magnitude and orientation relative to the rock bedding planes on the rock strength and fracture geometry is studied theoretically and experimentally. Two possible fracture mechanisms under true triaxial stress states are considered: along bedding planes of weakness, and along planes with a critical combination of Mohr-Coulomb stresses with the cohesion coefficient and internal friction angle typical of the whole rock. Rock transition to inelastic deformation is described using a criterion accounting for the occurrence of the two above mechanisms, and a semi-empirical criterion analogous to Hill's yield criterion for anisotropic media which accounts for the effect of normal stresses. The deformation and strength properties of rocks are studied in experiments on samples from productive strata of the Fedorovskoe and Talakanskoe oil and gas fields. The investigation was performed using an original triaxial independent loading test system. Rocks were tested in two groups of loading programs corresponding to compression with lateral confinement (similar to the Karman scheme), and to generalized shear (with all three principal stresses being unequal and nonmonotonic). Full stress-strain curves were obtained. The experimental and theoretical results are in good qualitative agreement. The possibility to determine the model parameter values is shown in tests on particular rocks.
Keywords: rock, strength anisotropy, fracture criterion, true triaxial tests
1. Введение
Большинство осадочных горных пород имеет слоистую структуру, что приводит к анизотропии их прочностных свойств и, как следствие, к зависимости проч-
ности пород от направления действия приложенных к ним напряжений. При этом возможны различные механизмы разрушения. Рассмотрены два возможных механизма разрушения: по плоскостям напластования,
© Карев В.И., Климов Д.М., Коваленко Ю.Ф., Устинов К.Б., 2016
являющимся поверхностями ослабления, и по плоскостям, где достигаются напряжения, превышающие прочность породы в целом.
Приведены результаты экспериментов по исследованию зависимости прочностных свойств слоистых образцов горных пород (песчаников) из коллекторов нефтяных месторождений от ориентации осей главных напряжений относительно слоистости в условиях истинно трехосного нагружения. Опыты проводились с использованием испытательной системы трехосного независимого нагружения, разработанной в ИПМех РАН, на кубических образцах с гранью 40 мм, вырезанных под разными углами наклона к плоскостям напластования.
Результаты исследования показали хорошее качественное соответствие экспериментальных результатов и теоретических оценок.
Обнаруженные эффекты имеют большое практическое значение для определения оптимальных режимов бурения и эксплуатации нефтяных и газовых скважин.
2. Физические основы модели прочности слоистых пород
Слоистая текстура неизбежно приводит к анизотропии физических и механических свойств. При отсутствии дополнительных элементов текстуры, не связанных со слоистостью, таких как ориентированные системы трещин, слоистость горных пород обуславливает наличие выделенного направления (перпендикулярного слоям) и трансверсальную изотропию свойств, описываемых тензорными величинами. Так, для свойств, описываемых тензорами второго ранга (теплопроводность, фильтрация, тепловое расширение и др.), компоненты тензоров выражаются через две независимые константы (характеризующие соответствующие свойства в плоскости слоистости и по нормали к ней). Компоненты тензора упругости (четвертого ранга) выражаются через пять независимых постоянных.
Однако ряд важных свойств, прежде всего прочность, не обладают тензорной природой. Нетензорный характер зависимости прочности от направления действующих напряжений непосредственно наблюдается в экспериментах, например [1-3]. Для описания зависимости прочности анизотропных пород от приложенных напряжений в разное время было предложено достаточно много критериев (например, [1, 4-9] и приведенные там обзоры), анализ которых не входит в задачу настоящей работы.
Нетензорный характер зависимости прочности (или в более широком смысле — перехода в неупругую область) пород от направления действия напряжений вызван наличием, по крайней мере, двух механизмов разрушения: либо по плоскостям, где комбинация касательного и нормального напряжений достигает критичес-
кого для породы в целом значения, либо по плоскостям ослабления, связанным со слоистой структурой.
При наличии системы плоскостей ослабления с нормалью п наиболее подходящим критерием разрушения по указанным плоскостям представляется критерий ку-лоновского типа [7-9]
т = / К). (1)
Здесь т и стп — касательное и нормальное напряжения, действующие на площадке с нормалью п. Линейной аппроксимацией (1) будет
т = тс Рс, (2)
где тс, рс — коэффициент сцепления и угол внутреннего трения для плоскостей ослабления. Здесь и далее сжимающие напряжения считаются положительными.
Нормальные и касательные т напряжения выражаются через компоненты тензора напряжений в лабораторной системе координат следующим образом (например, [10]):
(3)
(4)
Р1 = • (5)
Здесь р1 — компоненты вектора напряжения, действующего на площадке с нормалью п в плоскости ослабления; щ — направляющие косинусы нормали в лабораторной системе координат. В системе координат, связанной с главными напряжениями, критерий (2) выражается через их значения путем последовательной подстановки (3)-(5) в (2):
Cn = Cijninj ,
Г 2 2 2 2 т = V Pl + Р2 + Рз - Cn ,
сЩ2 + ст2«| + a3n32 - (a1n12 + с2я| + a3n32)2 =
= тс + (CT1«12 + tf2«22 + a3«32 ) tg Pc •
(6)
Конкурирующим механизмом разрушения является разрушение по площадкам, соответствующим наиболее неблагоприятной комбинации нормальных и сдвиговых напряжений. Данный механизм реализуется, если вдоль плоскостей ослабления комбинация напряжений T-cn tg рс оказывается недостаточной для инициации разрушения (например, в случае сжатия по нормали к слоистости). В качестве критерия, описывающего реализацию данного механизма, логично использовать критерий Кулона-Мора [11] в терминах главных напряжений, имеющий вид
1+ sin р0 2x0cos р0
с --
J1--с3--
1- sin р0 1- Sinp0 либо критерий Друкера-Прагера [12]
-^(сц - СТ3)2 + (СТ1 - СТ2)2 + (СТ2 - )2 -
- В(с1 +с2 + с3) - A > 0. (8)
Здесь т0, р0 — коэффициент сцепления и угол внутреннего трения среды; ci (i = 1, 2, 3) — главные напряжения. Параметры A, B связаны с т0, р0 посредством вы-
-> 0,
(7)
ражений
А =
2т<)^ Ро „эт р0
(9)
Тз ' л/3
Результаты, получаемые на основе использования критериев (7) и (8), близки, и выбор определяется скорее соображениями удобства, чем точностью.
Согласно рассмотренной модели переход материала в неупругую область происходит по тому из механизмов, для которого раньше достигаются условия разрушения: либо по плоскостям ослабления (6), либо по плоскостям, соответствующим наиболее неблагоприятной комбинации касательных и нормальных напряжений (7) или (8).
От традиционных критериев перехода материала в неупругую область (критериев текучести) рассмотренные критерии отличаются наличием зависимости либо от среднего напряженного состояния, либо от нормального давления. При обнулении параметра р0 в (7) и (8) последние переходят в критерии Треска-Сен-Венана и Мизеса соответственно.
Рассмотренное описание, безусловно, идеализировано, поскольку предполагает дискретное переключение механизмов разрушения. Однако очевидно, что вблизи точек переключения возможна реализация обоих механизмов с той или иной вероятностью, зависящей от случайного распределения прочности, отклонения угла напластования от среднего значения и т.д. Более того, возможно взаимодействие механизмов, когда на микроуровне последовательно реализуется один из них, а на макроуровне наблюдается некоторый гибрид.
3. Критерий Хилла и его модификации
Для анизотропных (ортотропных) материалов Хил-лом [13] (см. также [14]) предложен критерий перехода в пластичность, записываемый в системе координат, связанной с осями ортотропии, следующим образом:
Р(°22 - °зз)2 + - )2 + н(стп - а22)2 + + 2La223 + 2Мст|1 + 2Nст122 -ст2у > 0.
(10)
Здесь сту — приведенный предел текучести; постоянные F, G, Н, L, М, N выражаются через пределы текучести по каждому из направлений: _2 ( , , , Л
(11)
Величины с совпадающими индексами соответствуют пределам текучести при растяжении вдоль соответствующих осей, величины с несовпадающими индексами — сдвиговым пределам текучести. Данный критерий содержит 6 параметров (параметр сту введен для удобства и из окончательного выражения исключается) и позволяет описать различие перехода в неупругую область при различных углах приложения нагрузки — точно для направлений, соответствующих осям орто-тропии (посредством параметров F, G, Н), для направлений, расположенных под углом 45° к осям (посредством параметров L, М, №), и приближенно для произвольного направления с помощью плавной аппроксимации по формуле (10).
Для трансверсально изотропной среды с плоскостью изотропии с нормалью п3 количество параметров в (10) сокращается до трех:
Р = G =СТу
1
2 ст
узз
_2 ( н = сту
■н=Т
1
л
-"у11
у 33
(12)
L = М =
^ = -
2а2,,' 2ст2
= Р + 2Н.
у13 2 у 12
Естественным обобщением для данного закона является добавление в выражение (10) членов, учитывающих посредством дополнительных параметров В1, В3 влияние нормальных напряжений на величину критического сдвигового напряжения [15]. Константы Б1; В3 характеризуют свойства среды и определяются экспериментально. Для единообразия с представлением Дру-кера-Прагера (8) удобнее перед добавлением указанных членов извлечь из частей выражения (10) квадратные корни и без нарушения общности положить сту = 1: (Р(СТ22 -СТ33)2 + Р(СТц -СТ33)2 + Н(СТц -СТ22)2+
+ 2Мст23 + 2Мст321 + 2(Р + 2Н) ст122 )1/2 -- (В1СТ11 + В1СТ22 + В3СТ33)-1 > 0. (13)
В данной записи константы конкретизированы для трансверсально-изотропного тела. Критерий (13), таким образом, находится в таком же отношении к критерию Хилла (10), как критерий Друкера-Прагера к критерию Мизеса и критерий Кулона-Мора к критерию Треска-Сен-Венана.
Критерий (13), с одной стороны, можно рассматривать как обобщение критерия Хилла, в который он переходит при Б1 = 0, а с другой стороны — как обобщение критерия Друкера-Прагера, в который он переходит при Б1 = В, Н = F, М = 4F.
Следует отметить, что имеющихся 5 параметров Н, М, Б1, Б3) в общем случае недостаточно для описания перехода в неупругое деформирование при нагру-жении по трем траекториям (вдоль, по нормали и под углом 45° к слоистости) при разных латеральных напряжениях.
Сходные с (13) модификации критерия Хилла предлагались в работах [16, 17] для учета различия пределов текучести при растяжении и сжатии. В предлагаемых критериях отсутствовал знак радикала и накладывалось ограничение на коэффициенты Bt такое, чтобы их сумма равнялась нулю. Данное ограничение вводилось для обеспечения несжимаемости при использовании критерия в качестве потенциала для ассоциированного закона течения. При использовании подобного критерия для описания разрушения (либо перехода в неупругую область деформирования) таких материалов, как горные породы (а также грунты, бетоны, керамики, композиты), указанное ограничение лишено физического обоснования.
Для многих групп слоистых пород [3] пределы прочности вдоль и по нормали к слоистости либо совпадают, либо различаются незначительно. В этом случае число констант в критерии (13) сокращается до трех: F = H, M, B1 = B3 = B.
Далее для описания перехода материала (горной породы) в неупругое состояние будут использоваться два критерия — комбинированный критерий (6), (8) и критерий (13).
4. Установка, материалы
Опыты проводились с использованием испытательной системы трехосного независимого нагружения ИСТИН, созданной в Институте проблем механики РАН [18], позволяющей изучать деформационные, прочностные и фильтрационные свойства горных пород путем испытаний образцов породы кубической формы с ребром 40 или 50 мм. Примененная в конструкции нагружающего узла оригинальная кинематическая схема дает возможность испытывать образцы по истинно трехосным программам нагружения.
Для изучения на установке ИСТНН зависимости деформационных и прочностных свойств слоистых горных пород от направления прикладываемых к ним нагрузок был использован керновый материал, отобранный из продуктивных пластов Федоровского (6 образцов) и Талаканского (6 образцов) нефтяных месторождений. Керновый материал обладал ярко выраженной горизонтальной слоистостью. Из него были изготовлены кубические образцы с гранью 40 мм. Образцы вырезались под углами 0о, 30о, 45°, 90о относительно нормали к плоскости напластования.
5. Программы нагружения и результаты испы1тани0
Испытания проводились по двум типам программ нагружения. Для испытаний по первому типу нагружения образцы вырезались так, чтобы одна из граней совпадала с плоскостью напластования. Образцы пред-
варительно обжимались всесторонним напряжением до одного из уровней (P1 = 2 МПа, P2 = 10 МПа, P3 = = 20 МПа), после чего по одной из осей (оси 3, параллельной напластованию) осуществлялось нагружение до перехода в неупругую область. Особенность испытаний состояла в том, что все три испытания при различных значениях всестороннего обжатия образца реа-лизовывались на одном и том же образце в рамках одного опыта. Иными словами, каждый опыт состоял из трех циклов нагружения образца.
В ходе нагружения велся постоянный мониторинг вертикальной деформации образца и вычислялся текущий касательный модуль Юнга в вертикальном направлении. Образец нагружался в вертикальном направлении до тех пор, пока касательный модуль Юнга в верти-
Деформация sz -103
Деформация sz -103
Рис. 1. Кривые деформирования образца Ф8 на первом (a), втором (б) и третьем (в) циклах нагружения
кальном направлении не уменьшался по сравнению с максимально зарегистрированным на данном цикле испытаний примерно на 70-75 %. Затем образец на первом и втором циклах разгружался в вертикальном направлении до величины текущего всестороннего обжатия, а на третьем цикле нагружение образца проводилось вплоть до разрушения образца.
Рис. 2. Кривые деформирования образца Т3 из Талаканского месторождения на втором цикле нагружения
Рис. 3. Программа нагружения образцов, моделирующая изменение напряжений на контуре горизонтальной скважины
На рис. 1 для каждого из трех циклов приведены кривые деформирования образца Ф8, отобранного из коллектора Федоровского нефтяного месторождения в Западной Сибири. Образец был вырезан под нулевым углом к нормали к плоскости напластования.
На рис. 2 для сравнения показаны результаты испытания образца Т3 из Талаканского нефтяного месторождения для второго цикла нагружения.
При испытаниях по второму типу нагружения в качестве программы нагружения образцов было выбрано изменение напряжений на контуре горизонтальной скважины, которая является предельным случаем наклонной скважины, при понижении давления на ее забое. Программа испытаний образцов показана на рис. 3.
100
80
60
5 40 х
X
с*
Он § 20 К
-4 0 4
Деформация 8г • 1
..........."V /'
•Ж , 1 \ / 1 у 1 Л
1 / \ ' / 1 / 1 ' / '' / / / -81
/ / / / / / / / у I - -е2 ....£3
-4 0 4
Деформация 8г -103
Рис. 4. Схематическое изображение напряжений, действующих в окрестности горизонтальной скважины
Рис. 5. Кривые деформирования образца из Федоровского месторождения, вырезанного под углом 0° (а), 30° (б), 45° (в)
60
С
^ 40 ь
3 20
: \ ?[
1 1 / ; I /
^ / г/ 1 Г\
1 * 11 ; ч * ч*Л — - - 82 — - 83
-8 -4 0 4 8 Деформация 8,-103
Рис. 6. Кривые деформирования образца из Талаканского месторождения, вырезанного под углом 30°
Изображенные на нем напряжения ах, а2, а3 — величины напряжений, прикладываемых к образцу в ходе опыта по осям 1, 2, 3 установки. Они отвечают главным напряжениям а0, а^, аг, действующим в окрестности необсаженной горизонтальной скважины на грунтовый скелет в окружном, вертикальном и радиальном направлениях соответственно (рис. 4). Из рис. 4 ясно, что углы, под которыми образцы вырезались относительно нормали к плоскости напластования, соответствуют углам между максимальным напряжением ах и плоскостью напластования.
На рис. 5 показаны кривые деформирования трех образцов из коллектора Федоровского месторождения, вырезанных под углами 0°, 30° и 45° и испытанных по программе, показанной на рис. 3.
На рис. 6 показаны кривые деформирования образца из коллектора Талаканского месторождения, вырезанного под углом 30° и испытанного по программе на рис. 3.
Зависимости разрушающего напряжения для пород Федоровского месторождения от величины бокового поджатия для первого типа нагружения представлены на рис. 7. Зависимости разрушающего напряжения ах от угла наклона образца к напластованию ф при испы-
Рис. 8. Зависимости разрушающего напряжения ах от угла наклона образца к напластованию ф при испытаниях по программе второго типа для Федоровского месторождения: 1 — эксперимент, 2 — расчет по модели Друкера-Прагера, 3 — разрушение по площадкам ослабления, 4 — расчет по комбинированному критерию, 5 — расчет по модифицированному критерию Хилла
таниях по программе второго типа представлены на рис. 8.
Для обобщенного критерия Хилла значения параметров F = 1.10-10"3, Н = 3.88-10"3, М = 6.28 10 3, Бх = = 1.93 • 10-2, Б3 = 2.30 • 102 подбирались методом наименьших квадратов для наилучшего согласования зави-
Рис. 9. Значения разрушающих напряжений для образца Т3 для различных уровней бокового обжатия
Рис. 7. Значения разрушающих напряжений для образца Ф8 для различных уровней бокового обжатия: точки — эксперимент, линия — расчет, совпадающий по обеим моделям
Рис. 10. Зависимости разрушающего напряжения ах от угла наклона образца к напластованию ф при испытаниях по программе второго типа для Талаканского месторождения
симостей с экспериментальными данными для обоих групп экспериментов. Аналогично для комбинированного критерия (6), (8) значения параметров следующие: тс = 28 МПа, tgрс = 0.079, В = 0.199, А = 17.6.
На рис. 9, 10 представлены аналогичные графики для Талаканского месторождения при следующих значениях параметров: F = 3.83 • 10-4, Н = 5.71 • 10-4, М = = 2.20-10-3,В1 = 2.50 • 10-3,В3 = 1.1440-2,тс = 17.6 МПа, tg рс = 0.137, В = 0.154, А = 25.5.
6. Заключение
Используемые критерии позволяют описать рост критического напряжения при увеличении бокового поджатия, уменьшение критического напряжения с приближением оси образца к 30°-45° по отношению к напластованию, уменьшение критического напряжения при сжатии по напластованию по сравнению со сжатием по нормали к напластованию (соответственно точки М и N на рис. 2 — только для модифицированного критерия Хилла).
Качественно последний из упомянутых феноменов можно объяснить исходя из предположения о существовании двух механизмов разрушения (6), (8), если допустить возможность взаимодействия механизмов. Так, при действии максимального сжимающего напряжения по нормали к напластованию разрушение, по-видимому, полностью определяется механизмом максимальной комбинации нормальных и касательных напряжений — площадки ослабления оказываются выключенными благодаря действию нормальных к ним сжимающих напряжений. При действии максимального сжимающего напряжения вдоль слоистости разрушение, зародившись на площадках с наиболее благоприятной комбинацией нормальных и касательных напряжений, может вызывать сдвиговые напряжения на площадках ослабления, которые в данном случае не сжаты столь большими напряжениями и способны вызвать разрушение. В результате может возникнуть процесс взаимодействия механизмов, приводящий к снижению критического напряжения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 16-11-10325).
Литература
1. Singh M, Samadhiya N.K., Kumar A., Kumar V., Singh B. A nonlinear criterion for triaxial strength of inherently anisotropic rocks // Rock Mech. Rock Eng. - 2015. - V. 48. - No. 4. - P. 1387-1405.
2. Климов Д.М., Карев В.И., Коваленко Ю.Ф., Устинов К.Б. Механи-
ко-математическое и экспериментальное моделирование устойчивости скважин в анизотропных геосредах // Изв. РАН. МТТ. -2013.- № 4. - С. 4-12.
3. Климов Д.М., Карев В.И., Коваленко Ю.Ф., Устинов К.Б. О разру-
шении осадочныж горныж пород в условиях сложного трехосного напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - N° 5. - С. 1521.
4. Mogi K. Fracture and flow of rocks under high triaxial compression // J. Geophys. Res. - 1971. - No. 76. - P. 1255-1269.
5. Hoek E., Brown E.T. Practical estimates of rock mass strength // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 1997. - V. 34. - No. 8. - P. 1165-1186.
6. Barton N. The shear strength of rock and rock joints // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1976. - V. 13. - No. 9. - P. 255279.
7. Goodman R.E. Introduction to Rocks Mechanics. - New York: John Wiley and Sons, 1980.
8. Barton N. A Model Study of Behavior of Steep Excavated Rock Slopes.
PhD Thesis. - London: University of London, 1971.
9. Barton N. From Empiricism, through Theory, to Problem Solving in Rock Mechanics. Harmonizing Rock Engineering and the Environment // Proc. 12th ISRM Int. Congress on Rock Mechanics / Ed. by Q. Qian, Y. Zhou. - Beijing, China, 2011. - P. 3-17.
10. Kachanov L.M. Foundations of the Theory of Plasticity. - AmsterdamLondon: North-Holland Publishing Company, 1971. - 496 p.
11. Coulomb C.A. Essai suruneapplication des regles des maximis et minimis а quelquesproblemes de statiquerelatifs, а l'architecture // Mem. Acad. Roy. Div. Sav. - 1776. - V. 7. - P. 343-387.
12. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis for limit design // Quart. Appl. Math. - 1952. - V. 10. - No. 2. - P. 157165.
13. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. - New York: Oxford University Press, 1983.
14. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.
15. Caddel R.M., Raghava E.S., Atkins A.G. A yield criterion for aniso-tropic and pressure dependent solids such as oriented polymers // J. Mater. Sci. - 1973. - V. 8. - P. 1641-1646.
16. Shih C.F., Lee D. Further developments in anisotropic plasticity // J. Eng. Mater. Tech. - 1978. - V. 100.3. - P. 294-302.
17. Valliappan S., Boonlaulohr P., Lee I.K. Non-linear analysis for anisotropic materials // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1976. - V. 10. - No.3.-P. 597-606.
18. Karev V.I., Kovalenko Yu.F. Triaxial Loading System as a Tool for Solving Geotechnical Problems of Oil and Gas Production // True Triaxial Testing of Rocks. - Leiden: CRC Press. Balkema, 2013. -P. 301-310.
Поступила в редакцию 30.06.2016 г.
Сведения об авторах
Карев Владимир Иосифович, д.т.н., зам. дир. ИПМех РАН, [email protected] Климов Дмитрий Михайлович, акад. РАН, гнс ИПМех РАН, [email protected] Коваленко Юрий Федорович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ИПМех РАН, [email protected] Устинов Константин Борисович, д.ф.-м.н., снс ИПМех РАН, [email protected]
