К вопросу определения упругопластических свойств материала пласта по результатам испытаний образцов керна Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ключевые слова:

испытание

образцов,

напряжение,

деформация,

упругопластические

свойства,

критерий

пластичности.

Keywords:

testing of samples, stress, deformation, elastic properties, plastic-yield criterion.

УДК 622.023.25:622.143.1 А.Л. Ковалёв, Ю.Ф. Коваленко

К вопросу определения упругопластических свойств материала пласта по результатам испытаний образцов керна

В последнее время происходит осознание важности учета геомеханического фактора в процессе разработки нефтегазовых залежей, а также решающей роли физического эксперимента на керне для определения упругопластических свойств материала пласта и наполнения тем самым фильтрационно-прочностных геомеханических моделей. В статье анализируются некоторые результаты испытаний керна ряда объектов разработки, выполненных на испытательном стенде независимого трехосного нагру-жения (ИСТНН) в ИПМех РАН по договорам с ООО «Газпром ВНИИГАЗ».

Кинематика нажимных плит установки ИСТНН обеспечивает независимое на-гружение образца по трем осям по любой заданной программе с одновременным замером осевых деформаций. Испытанию подвергают выпиливаемые из керна образцы породы - кубики с длиной ребра 4-5 см. В качестве стандартных для определения упругопластических свойств материала пласта приняты так называемые трехосные испытания. Их проводят в три цикла. Вначале каждого цикла напряжения обжима по всем трем осям доводят до одинаковой величины: 2 МПа - в первом цикле, 10 МПа - во втором и 20 МПа - в третьем. Затем напряжение по двум осям фиксируется, а по третьей увеличивается, в идеале - до разрушения образца. Иногда в целях экономии кернового материала в первых двух циклах образец доводят лишь до появления признаков скорого разрушения, затем разгружают и испытывают повторно в следующем цикле.

Кривые деформирования (рис. 1) имеют три характерных участка: 1) нелинейный, обусловленный закрытием микротрещин при нагружении образца относительно поверхностных условий; 2) линейный, по которому определяются упругие параметры материала; 3) нелинейный, обусловленный переходом материала в пластическое состояние и разрушением образца (по нему определяются параметры пластики и разрушения). При определении упругих свойств материала используют, как правило, простую изотропную линейную модель, характеризующуюся двумя константами -модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V:

^ = -^К- Чст2 +стз)];

Е

е2 = -1[СТ2- ЧСТ3 +СТ1)]; (1)

Е

63 = -1[СТз - У(СТ1 +СТ2)].

Е

Здесь е, и с, - деформация и напряжение вдоль 1-й оси.

Константы в системе (1) достаточно легко могут быть определены путем обработки 2-го участка кривых деформирования трехосных испытаний, например, при помощи метода наименьших квадратов (воспроизведение эксперимента такой моделью показано на рис. 1 утолщенными линиями, обозначенными с наращением т).

Известно, однако, что пласты осадочных пород в силу генезиса очень часто характеризуются анизотропией свойств (не только прочностных) вдоль и поперек напластования. Для описания подобной анизотропии упругих свойств разработана трансверсально-изотропная модель [1], в которой фигурируют уже, как минимум,

о Ы

к 2

л „ § <ч

з а ® 5 й Й

Й I 2 ^

к & о а о К о с

(и

£ «

&

X

Образец П-3, цикл 3

\ \ / V

1 /

1 у Г Оси: _ -2 - -3 —-1т ~ — 2т — Зт 1

/

1 ,

У //

10 12 14 16

Деформация, хЮОО

Рис. 1. Кривые деформирования по результатам трехосных испытаний и воспроизведение их линейного участка изотропной упругой моделью:

1, 2, 3 - эксперимент; 1т, 2т, 3т - модель

четыре константы - по модулю Юнга и коэффициенту Пуассона вдоль каждого из названных направлений:

1 ( ) у'

е1 = е (ст1- устзЬ е Ст2'

уч 1 е2 =--(ст. + ст3) л--ст2

2 17< 1 3 17< 2

Е'

Е'

(2)

К ^ У'

= е +стз)-еГ

Здесь константы со штрихом определяют упругие свойства породы поперек напластования, без штриха - вдоль напластования.

Наличие анизотропии упругих свойств можно достаточно легко выявить путем «прозву-чивания» образцов керна ультразвуком вдоль соответствующих осей. И возникает вопрос: насколько достоверно параметры трансверсально-изотропной модели могут быть определены по результатам трехосных испытаний? Отметим, что алгоритм решения этой задачи методом наименьших квадратов не намного сложнее алгоритма для случая изотропного материала.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, были использованы результаты трехосных испытаний образцов керна продуктивных отложений одного из газоконденсатных месторождений. Ультразвуковое «прозвучивание» этих образцов показало, что скорость продольных волн поперек напластования (вдоль оси керна)

систематически ниже, в среднем на 20 %, скорости распространения таких волн вдоль напластования, т.е. налицо заметная анизотропия упругих свойств.

По результатам трехосных испытаний определены параметры изотропной и транс-версально-изотропной моделей упругого деформирования. На рис. 2 сопоставляются модули Юнга и коэффициенты Пуассона этих моделей: по горизонтальным осям графиков отложены значения параметров изотропной модели, определенные по каждому циклу испытаний всех образцов; по вертикальным осям -определенные по совпадающим циклам пары параметров трансверсально-изотропной модели соответственно поперек и вдоль напластования. (Отметим, что во всех рассмотренных трехосных испытаниях ось максимального нагружения совпадала с осью керна, т.е. образцы максимально нагружались поперек напластования.)

Можно видеть, что наблюдается практически полное совпадение и модуля Юнга, и коэффициента Пуассона изотропной модели с аналогичными параметрами трансверсально-изотропной модели поперек напластования. В то же время корреляция между параметрами изотропной модели и параметрами трансверсально-изотропной модели вдоль напластования практически отсутствует. Более

а

^

и о я я а н (Я и я

2 л

о 2

25000 20000 15000 10000 0

5000 -5000 10000

о о щГГ □

из*

г

1 Г

с эо < о о ис о о

о 8 о о °о о 1 А

о п

§ 2,0 13

ю

3 1 1,5 н 8

ЛI °>5

■в! 3 т в

<3 Я п « 8 0 а и

X

Й-0,5 £

-1,0 -1,5

-2,0

о

о —— эи (9° о

о

Ъ-а=1 О С Л-СР- —сг-

о о

о о

о р

о о

^ т о с^ ^ т

,-н ,-н ,-н ,-н <М ^

Модуль Юнга изотропный, МПа

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Коэффициент Пуассона изотропный, б/р б

О вдоль напластования □ поперек напластования

Рис. 2. Сопоставление определений упругих параметров для изотропной и трансверсально-изотропной сред (трансверсально-изотропная среда по ультразвуку): а - модуль Юнга; б - коэффициент Пуассона

20000

| 15000

с о а

8 10000 я о я

--

о

5000

I

я

я -5000

л

!-10000

о

Го о

^ с о о 0 о с

о

о < 0 о с? о о о о

с о о

л к о

8 = й

с

£ •и

§1,1

В 0,9

& 0,7

о £

2 0,5

т н

I 0,3 л 5Т и

3 0,1

-0,1 -0,3

-0,5

с о

о \ о 3

о V О э

Л о \ 0 % О

о

п о

о о

0,065 0,115 0,165 0,215 0,265 0,315

Модуль Юнга изотропный, МПа

Коэффициент Пуассона изотропный, б/р б

О вдоль напластования □ поперек напластования

Рис. 3. Сопоставление определений упругих параметров для изотропной и трансверсально-изотропной сред (изотропная среда по ультразвуку): а - модуль Юнга; б - коэффициент Пуассона

а

0

а

того, некоторые значения последних параметров явно выходят за пределы допустимого диапазона (а некоторые из них - и за диапазоны представленных графиков).

Интересно отметить, что похожий результат получен и при обработке испытаний образцов керна продуктивных пластов трех других месторождений, ультразвуковое «прозвучива-ние» которых свидетельствовало об изотропии упругих свойств (рис. 3).

Представленные результаты позволяют сделать вывод о том, что с наибольшей точностью по результатам трехосных испытаний можно определить значения Е и V вдоль оси, на которой создается максимальное напряжение. Упругие параметры вдоль других двух осей, на которых закрепляется напряжение первоначального обжима, определяются весьма недостоверно. Таким образом, трехосные испытания позволяют более-менее уверенно определять упругие свойства лишь вдоль одной из осей, и, следовательно, эти испытания подходят в полной мере только для изотропного материала. Отметим, что сомнения в достаточности трехосных испытаний для всестороннего и полного определения упругопластиче-ских свойств материала пласта высказываются и в ряде опубликованных работ (см. далее).

Обратимся теперь к другому виду испытаний образцов керна - физическому моделированию напряженно-деформированного состояния (НДС) на стенке скважины. Этот вид

Рис. 4. Напряжения, действующие в окрестности скважины

испытаний предложен специалистами Института проблем механики (ИПМех РАН). Идея эксперимента заключается в создании в образце напряжений, аналогичных возникающим на стенке скважины в процессе ее освоения и эксплуатации при упругом деформировании материала. Этот подход сродни упрощенному прочностному расчету, когда рассчитывается поле напряжений при упругом деформировании, и затем в какой-либо из точек по критерию пластичности проверяется, останется ли материал в упругом состоянии. В физическом эксперименте вместо этого фиксируются напряжения, при которых произошло разрушение образца, и определяется соответствующее им давление на забое скважины. Образец по осям нагружается в соответствии с напряжениями, действующими в окрестности скважины в цилиндрической системе координат, -осевым с2, радиальным ог и тангенциальным с0 (рис. 4). Материал пласта считается изотропным, в простейшем случае тензор эффективных напряжений, действующих в пласте, - рав-нокомпонентным (т.е. боковое горное давление равно вертикальному). Первоначально образец нагружается одинаково по трем осям, что соответствует состоянию пробуренной скважины, в ствол которой залит буровой раствор, по плотности соответствующий весу вышележащих пород (рис. 5, см. [0; А]). На стенке скважины имеется корка, препятствующая гидродинамической связи ствола скважины

Рис. 5. Программа нагружения образцов при моделировании НДС на стенке скважины

с пластом. Затем имитируется постепенное уменьшение плотности бурового раствора. При этом осевое напряжение остается неизменным, радиальное - снижается, тангенциальное -растет (последние два процесса симметричны) (см. [А; В] на рис. 5). При достижении радиальным напряжением нуля буровой раствор удаляется из ствола и устанавливается гидродинамическая связь между стволом и пластом. Далее начинают синхронно понижаться давления на забое скважины и в окружающем пласте (как результат отбора флюида при отсутствии потерь давления в пласте). При этом радиальное напряжение остается равным нулю, тангенциальное продолжает расти, и растет осевое напряжение, но в два раза медленнее тангенциального (см. [В; С] на рис. 5).

Если рассматривать данный эксперимент в рамках модели идеальной пластичности, то до момента разрушения образца его состояние следует считать упругим. Однако воспроизвести эксперимент моделью линейной упругости не получается, поскольку экспериментальные кривые деформирования начинают сильно отклоняться от линейности задолго до разрушения образца (рис. 6).

Тем не менее, идея подбора моделей, способных адекватно воспроизвести подобные испытания, представляется плодотворной. Далее рассказано о попытке воспроизвести эти испытания двумя простейшими известными моделями нелинейной упругости [2, 3]. В обеих моделях модуль Юнга представляется функцией

наименьшего главного напряжения. Если ранжировать, как это принято, главные напряжения в порядке убывания, то наименьшее из них следует обозначить индексом 3. В рассматриваемом эксперименте таковым по абсолютной величине будет радиальное напряжение.

1

е, =

1 Е (Стз)

1

е2 =-

Е(стз) 1

[ст, - у(ст2 +СТ3)];

[ст2 - у(стз +ст,)];

[СТ3 - у(ст, +ст2)].

Е (Стз)

Для модели I [2] Е (ст3) = Е0 ст". Для модели II [3] Е(ст3) = Еа + Е0ст".

(3)

(4)

(5)

Здесь Еа, Е0 и а - постоянные коэффициенты.

Глядя на формулы (3)-(5), априори можно отметить, что при использовании таких моделей для обработки результатов трехосных испытаний в каждом из циклов Е останется постоянным, поскольку на обрабатываемом втором участке кривых деформирования минимальным главным напряжением будет постоянное напряжение обжима. Возвращаясь к моделированию НДС на стенке скважины, нетрудно заметить, что при достижении радиальным напряжением нулевого значения модель I обратит Е также в ноль, т.е. деформации станут бесконечными, что нефизично. Очевидно, модель II служит попыткой исправить такую не-физичность: в ней вводится постоянный член,

<3 80

<N"70 к

о о

Образец XXX, цикл У

60

50

30

20

10

Деформация, хЮОО

Рис. 6. Воспроизведение физического моделирования НДС на стенке скважины моделью линейной упругости: расшифровку легенды см. на рис. 1

0

которому должен быть равен Е при нулевом значении минимального главного напряжения. (Оговоримся, что, хотя теоретически радиальное эффективное напряжение на стенке скважины должно выводиться в ноль, в реальных экспериментах по физическому моделированию НДС на стенке скважины этого никогда не происходит (в силу технических возможностей установки), поэтому и модель I не выходит за рамки физичности.)

Задача подбора параметров указанных моделей решалась так же, как и при адаптации линейных моделей: методом наименьших квадратов, с тем отличием, что итоговая система уравнений получалась нелинейной. Для

ее решения использовался метод Ньютона. Воспроизведение эксперимента моделями I и II показано на рис. 7. Можно отметить, что изгибы модельных кривых деформирования совпадают по направлению с изгибами экспериментальных кривых. При этом лучшее по формальному признаку (сумме квадратов отклонений расчетных и фактических деформаций) воспроизведение эксперимента моделью II в ряде мест расходится с экспериментом сильнее, чем воспроизведение моделью I. Нетрудно заметить и общий дефект: итоговое приращение модельной тангенциальной деформации превышает экспериментальное; приращение модельной радиальной деформации, напротив,

80 " 70 60

5 50

и £

6 40 §

К

30 20 10 0

!§ 80 70

к

I 60

с

(и

Й 50

и £

140 К

30 20 10 0

Образец XXX, цикл У

__

ч\ И

/7

/ Оси:

-2 -3

—— 1т 2т

—— 3т

Образец XXX, цикл У

10 12

Деформация, хЮОО

7 ^ ____ 1

Оси:

Л / -2 -3

У — 1т 2т

— 3т

-4

-2

б

10 12

Деформация, хЮОО

Рис. 7. Воспроизведение физического моделирования НДС на стенке скважины моделями нелинейной упругости: а - модель I; б - модель II (расшифровку легенды см. на рис. 1)

а

меньше экспериментального. Таким образом, воспроизведение ни той, ни другой моделью нельзя считать хорошим.

Следует отметить, что в силу нелинейности система уравнений (3) применительно к модели II имеет больше одного решения. На рис. 8 показаны две ветви возможных решений - зависимостей функционала (суммы квадратов отклонений Е) от свободного члена Еа в уравнении (5). Левая ветвь в положительной области этого параметра не имеет оптимума (минимума), в нуле она совпадает с решением

для модели I. В отрицательной области происходит асимптотическое снижение функционала, в ходе выполненных расчетов минимум достигнут не был. Правая ветвь имеет минимум, меньший минимума для модели I (эксперимент на базе именно этого решения воспроизведен ранее, см. рис. 7а).

На рис. 9 приведены зависимости Е от наименьшего главного напряжения в моделях I и II. Можно видеть, что при подходе этого напряжения к нулю Е в модели II не стремится к свободному члену в его зависимости, а устремляется

н 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400

1300

-1000

4000

9000

14000

19000

24000 Е

Рис. 8. Две ветви оптимизации при определении параметров зависимости модуля Юнга от наименьшего главного напряжения (модель II)

14 20000

16000

12000

8000

4000

ШНШЖШии, г(/г«кшашии шсш(«««ши '/тшшшшш (((«((СО

О модель I о модель II

20 40 60 80 100 120 140 160

Минимальное главное напряжение, МПа

Рис. 9. Зависимости модуля Юнга от наименьшего главного напряжения в моделях I и II

0

0

в окрестность нуля. Это происходит из-за полученного в решении отрицательного значения коэффициента при наименьшем главном напряжении. В самом нуле модуль Юнга модели II не определен из-за отрицательного значения показателя степени при наименьшем главном напряжении.

Отметим также, что коэффициент Пуассона в моделях I и II получился очень низким -шесть-семь сотых. Таким образом, и параметры исследованных моделей нелинейной упругости получились не совсем физичными.

Вернемся, однако, к теме недостаточности трехосных испытаний для всестороннего и полного определения упругопластических свойств материала пласта. Х.Ф. Кристенсен с коллегами [4] поднимают вопрос о правомерности неучета промежуточного главного напряжения при моделировании перехода материала пласта в пластическое состояние. Как известно, по трехосным испытаниям строятся круги Мора и определяются параметры критерия Кулона-Мора: когезия и угол внутреннего трения. Также по этим испытаниям может быть построен график, именуемый паспортом прочности, в координатах «минимальное главное напряжение - максимальное главное напряжение». На этот график наносятся точки, соответствующие моменту разрушения образца в каждом из циклов трехосных испытаний. Ни критерий Кулона-Мора, ни паспорт прочности не учитывают промежуточного главного напряжения. Да и в самих трехосных испытаниях это напряжение можно считать отсутствующим, поскольку в данном случае промежуточное и минимальное главные напряжения равны между собой.

Чтобы исследовать этот вопрос, упомянутые ученые [4] выполнили серию экспериментов - как трехосных, так и многоосных (авторское название) - на образцах песчаника из двух объектов. Эксперименты чем-то походили на охарактеризованные ранее эксперименты по физическому моделированию НДС на стенке скважины, и в них промежуточное главное напряжение не всегда совпадало с минимальным.

Впоследствии на паспорта прочности, построенные по результатам указанных трехосных испытаний, были нанесены данные, полученные в ходе многоосных испытаний аналогичных образцов. Проанализировав материал,

исследователи заметили: если данные в многоосных испытаниях получены при условии равенства промежуточного и минимального главных напряжений, то соответствующие точки хорошо ложатся на паспорт прочности; в противном случае, когда такого равенства не наблюдалось, точки ложатся заметно выше линии паспорта прочности. Объяснив феномен неучетом обычным критерием Кулона-Мора промежуточного главного напряжения, они предложили модифицированный критерий Кулона-Мора, принимающий в расчет промежуточное напряжение.

Далее с обычным и модифицированным критериями Кулона-Мора на фильтационно-прочностной модели была выполнена серия расчетов для прискважинной области. Сопоставление однотипных расчетов с разными критериями показало существенно большее развитие зоны пластических деформаций при использовании обычного критерия Кулона-Мора (что и логично, учитывая, как ложились данные многоосных испытаний на паспорт прочности).

Авторы настоящей статьи решили проверить указанный феномен на материале опытов ИПМех РАН. На рис. 10 показаны паспорта прочности двух образцов керна пласта-коллектора одного из газоконденсатных месторождений, построенные по результатам трехосных испытаний. Позднее на графики нанесены точки, соответствующие моменту разрушения однотипных образцов в процессе моделирования НДС на стенке скважины. Можно наблюдать практически идеальное попадание этих точек на линию паспорта прочности, притом что разрушение образцов в экспериментах моделирования НДС на стенке скважины происходит при существенном различии промежуточного и минимального главных напряжений. Подобный результат следует и из опытов ИПМех РАН на образцах керна из других объектов.

Не ставя ни в коей мере под сомнение результаты зарубежных коллег, авторы, однако, осмеливаются утверждать, что стандартный критерий Кулона-Мора (без учета промежуточного главного напряжения) вполне применим для моделирования перехода в пластическое состояние материала пласта большого числа реальных нефтегазовых залежей.

а б

о трехосные испытания о моделирование НДС

Рис. 10. Паспорта прочности по результатам трехосных испытаний двух образцов с нанесением точки разрушения соответствующих образцов в процессе моделирования НДС на стенке скважины: а - образец I; б - образец II

***

Подводя итог, в качестве основного вывода следует указать на необходимость продолжить исследования для получения возможности определения по результатам физического моделирования параметров трансверсально-изотропного материала и воспроизведения нелинейных эффектов в прискважинных областях. Некоторые отмеченные недостатки существующих методик и моделей должны послужить стимулом к этому.

Однако и существующие модели должно признать адекватными для решения практических задач. Так, при расчете просадок влиянием прискважинных областей можно пренебречь.

В остальных же частях обширных геологических массивов, подверженных деформациям, разноосность напряжений не столь высока, потому здесь вполне применима модель линейной упругости.

Упругие деформации в прискважинных областях достаточно малы, даже при отклонении их от линейности. В то же время модели, основанные на критерии Кулона-Мора (применимость его стандартной версии подтверждена в статье) и имеющие линейную упругую составляющую, обеспечивают вполне достоверный прогноз возникновения и развития зон пластической деформации, что в данном случае более важно.

Список литературы

1. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. -

2-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. лит., 1977. - 416 с.

2. Kulhawy F.H. Stress deformation properties

of rock and rock discontinuities / F.H. Kulhawy // Engineering Geology. - 1975. - № 9. - P. 327-350.

3. Santarelli F.J. Analysis of borehole stresses using pressure-dependent linear elasticity /

F.J. Santarelli, E.T. Brown, V. Maury // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. - 1986. -№ 23 (6). - P. 445-449.

4. Christensen H.F. Impact of the intermediate principal stress on rock strength: Polyaxial testing and numerical simulations /

H.F. Christensen, N.K. Loe, B. Plischke et al. - http://www.researchgate.net/ publication/238050261 (24.06.2015).